5.1 O Teorema do valor intermediário

Funções contínuas possuem propriedades muito particulares. Considere por exemplo uma função contínua num intervalo fechado, $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ . Então, ao $x$ variar entre $a$ e $b$ , o gráfico de $f$ corta qualquer reta horizontal intermediária, de altura $h$ entre $f(a)$ e $f(b)$ , pelo menos uma vez:

Teorema 5.1 (Teorema do Valor Intermediário).

Seja $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ uma função contínua, tal que $f(a)<f(b)$ . Então para todo $h\in[f(a),f(b)]$ , existe $c\in[a,b]$ tal que $f(c)=h$ . Uma afirmação parecida vale quando $f(a)>f(b)$

Exercício 5.6.

Para cada função abaixo, estude a propriedade do valor intermediário (isto é, fixe uma reta de altura $h$ e vê se o gráfico de $f$ corta a reta).

1.

$f:[-1,2]\to\mathbb{R}$ , $f(x){:=}x^{2}$ .
2.

$g:[-1,1]\to\mathbb{R}$ , $g(x){:=}\begin{cases}\frac{|x|}{x}&\text{ se }x\neq 0\,,\\ 0&\text{ se }x=0\,.\\ \end{cases}$
3.

$h:[0,2]\to\mathbb{R}$ , $h(x){:=}\begin{cases}2x-1&\text{ se }0\leq x<1\,,\\ 2x-3&\text{ se }1\leq x\leq 2\,.\\ \end{cases}$

O Teorema do valor intermediário pode ser usado para a resolução numérica de equações:

Exemplo 5.8.

Considere a função $f(x){:=}\tfrac{1}{2}-x^{2}-x^{5}$ , no intervalo $[-1,1]$ . Como $f$ é contínua e muda de sinal entre $-1$ e $+1$ , $f(-1)=\frac{1}{2}>0$ , $f(+1)=-\frac{3}{2}<0$ , o Teorema do Valor Intermediário implica que deve existir pelo menos um ponto $x_{*}\in[-1,1]$ tal que $f(x^{*})=0$ .

Como calcular $x_{*}$ ? Por definição, $x_{*}\in[-1,1]$ é solução da equação do quinto grau:

x^{5}+x^{2}-\tfrac{1}{2}=0\,,

Como não existe um método geral para a resolução de tais equações, vejamos um método que, sem ser exato, fornece pelo menos uma aproximação de $x_{*}$ .

A ideia é de localizar $x_{*}$ usando recursivamente o Teorema do Valor intermediário. Para começar, observemos que como $f(0)>0$ , $f(1)<0$ , $f$ muda de sinal também no intervalo $[0,1]$ , o que implica que $x_{*}\in[0,1]$ .

Calculemos então o valor de $f$ no meio do intervalo $[0,1]$ e observemos que $f(\frac{1}{2})>0$ . Portanto, $f$ muda de sinal entre $\frac{1}{2}$ e $1$ , o que implica que $x_{*}\in[\frac{1}{2},1]$ . Em seguida, $f(\frac{3}{4})<0$ implica que $f$ muda de sinal entre $\frac{1}{2}$ e $\frac{3}{4}$ , isto é, $x_{*}\in[\frac{1}{2},\frac{3}{4}]$ . Continuando assim, obtemos uma sequência decrescente de intervalos encaixados, cada um contendo $x_{*}$ :

[0,1]\supset[\tfrac{1}{2},1]\supset[\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}]\supset\cdots

Os tamanhos dos intervalos decrescem exponencialmente rápido: o primeiro tem tamanho $1$ , o segundo tamanho $\frac{1}{2}$ , etc., o $n$ -ésimo tem tamanho $2^{-n}$ . Logo, qualquer ponto do $n$ -ésimo intervalo dá uma aproximação de $x_{*}$ com uma precisão de $2^{-n}$ .

O método descrito acima, que consiste em usar o Teorema do Valor intermediário a cada etapa, é chamado de método da bisseção.