3.1 Exponencial

Seja $a>0$ um número positivo, fixo, chamado base. Definamos primeiro, para todo número natural $n\in\mathbb{N}$ ,

\exp_{a}(n){:=}a^{n}=a\cdot a\cdots a\,\quad\text{($n$ vezes)}\,.

(Em particular, $a^{1}=a$ .) Assim obtemos uma função

	$\displaystyle\exp_{a}:\mathbb{N}$	$\displaystyle\to(0,\infty)$
	$\displaystyle n$	$\displaystyle\mapsto a^{n}\,,$

que satisfaz às seguintes propriedades: para todo $m,n\in\mathbb{N}$ ,

	$\displaystyle a^{m}a^{n}$	$\displaystyle=a^{m+n}\,,$		(3.1)
	$\displaystyle(a^{m})^{n}$	$\displaystyle=a^{m\cdot n}\,.$		(3.2)

Se $b>0$ for uma outra base,

(a\cdot b)^{n}=a^{n}b^{n}\,.

(3.3)

O nosso objetivo é de estender essa função à reta real toda:

	$\displaystyle\exp_{a}:\mathbb{R}$	$\displaystyle\to(0,\infty)$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto a^{x}\,.$

Faremos essa extensão passo a passo, com o seguinte objetivo em mente: que as relações (3.1)-(3.3) sejam sempre satisfeitas, também para variáveis reais.

Por exemplo, como definir $a^{0}$ ? Para (3.1) ser satisfeita com $m=0$ , $n=1$ ,

a=a^{1}=a^{1+0}=a^{1}\cdot a^{0}=a\cdot a^{0}\,.

Daí, simplificando por $a$ na última expressão, vemos que é preciso definir

a^{0}{:=}1\,.

Podemos em seguida definir a exponencial dos inteiros negativos, $a^{-n}$ . Usando de novo (3.1) com $m=-n$ , temos

a^{n}a^{-n}=a^{n-n}=a^{0}=1\,.

Logo, vemos que $a^{-n}$ precisa ser definida como:

a^{-n}{:=}\frac{1}{a^{n}}\,.

O mesmo raciocínio pode ser aplicado em geral: se $a^{x}$ já foi definido para $x>0$ , então o único jeito de definir $a^{-x}$ é como:

a^{-x}{:=}\tfrac{1}{a^{x}}\,.

Estamos por enquanto com uma função

	$\displaystyle\exp_{a}:\mathbb{Z}$	$\displaystyle\to(0,\infty)$
	$\displaystyle n$	$\displaystyle\mapsto a^{n}\,.$

Façamos um primeiro esboço, isto é, representemos alguns pontos de coordenadas $(n,a^{n})$ , $n\in\mathbb{Z}$ , no plano cartesiano (nessa figura, $a=2$ ):

Já podemos observar que para valores de $n$ positivos grandes (aqui $a=2$ ),

2^{1}=2\,\quad 2^{2}=4\,,\quad 2^{3}=8\,\quad 2^{4}=16\,,\quad 2^{5}=32\,,% \quad 2^{6}=64\,,...

Como cada elemento dessa sequência é o dobro do anterior, ela diverge exponencialmente rápido. Por outro lado, para valores de $n$ negativos grandes, a sequência converge exponencialmente rápido para zero:

2^{-1}=0.5\,,\quad 2^{-2}=0.25\,,\quad 2^{-3}=0.125\,,\quad 2^{-4}=0.0625\,,% \quad 2^{-5}=0.03125\,...

Agora que $a^{x}$ foi definida para os valores de $x$ inteiros, vejamos como definir $a^{x}$ para os semi-inteiros $x\in\{\dots,-\frac{5}{2},-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2},% \frac{5}{2},\dots\}$ . Por exemplo, se $x=\tfrac{1}{2}$ , já que $(a^{\frac{1}{2}})^{2}=a$ por (3.2), vemos que $a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$ . Para definir $a^{x}$ para $x=\frac{m}{2}$ , $m\in\mathbb{Z}$ , usemos também (3.2). Quando $m>0$ ,

a^{\frac{m}{2}}{:=}(a^{\frac{1}{2}})^{m}=\sqrt{a}^{m}\,,

e quando $m<0$ ,

\quad a^{-\frac{m}{2}}{:=}\frac{1}{a^{\frac{m}{2}}}\,.

Assim, o gráfico anterior pode ser acrescentado dos pontos da forma $(\tfrac{m}{2},a^{\frac{m}{2}})$ :

Repetindo esse processo, $a^{x}$ pode ser definido para os pontos da forma $\tfrac{m}{4}$ , $\tfrac{m}{8}$ , $\tfrac{m}{16}$ , etc, obtendo assim uma função definida para qualquer $x$ da forma $\tfrac{m}{2^{k}}$ . Esses reais são chamados de racionais diádicos.

Observe que a medida que $k$ aumenta, os racionais diádicos $\tfrac{m}{2^{k}}$ vão enchendo a reta real: diz-se que eles formam um conjunto denso na reta.

Mas todos os racionais diádicos são racionais, e existem muitos (!) reais que não são racionais… Daremos a idéia da última (e mais delicada) etapa da construção de $a^{x}$ para qualquer real $x$ . Procederemos por aproximação, observando que qualquer real $x$ pode ser cercado por dois diádicos, digamos $z_{-}$ e $z_{+}$ , arbitrariamente próximos um do outro.

Exemplo 3.3.

Por exemplo, $\pi=3.141592\dots$ é irracional ¹¹ 1 A irracionalidade de $\pi$ foi provada pela primeira vez por Johann Heinrich Lambert em $1761$ ., e é possível obter aproximações pegando sucessivamente diádicos com $k=0,1,2,\dots$ ,etc.:

	$\displaystyle 3=\frac{3}{2^{0}}$	$\displaystyle<\pi<\frac{4}{2^{0}}=4$
	$\displaystyle 3=\frac{6}{2^{1}}$	$\displaystyle<\pi<\frac{7}{2^{1}}=3.5$
	$\displaystyle 3=\frac{12}{2^{2}}$	$\displaystyle<\pi<\frac{13}{2^{2}}=3.250$
	$\displaystyle 3.125=\frac{25}{2^{3}}$	$\displaystyle<\pi<\frac{26}{2^{3}}=3.250\,\quad\text{etc.}$

Assim, podemos sempre achar um diádico, ou maior ou menor do que $\pi$ , cujo valor numérico é arbitrariamente perto de $\pi$ .

Assim, para qualquer irracional $x$ , é possível escolher uma sequência decrescente de diádicos $z_{n}^{+}$ que tende a $x$ , $z_{n}^{+}\searrow x$ , e uma sequência crescente de diádicos $z_{n}^{-}$ que tende a $x$ , $z_{n}^{-}\nearrow x$ .

Vemos então que os valores de $a^{z_{n}^{-}}$ e $a^{z_{n}^{+}}$ se aproximam de um valor comum, que será usado para definir o valor de $a^{x}$ .

Observe que essa construção usa implicitamente, pela primeira vez, a idéia sutil de limite, que será apresentada no próximo capítulo: qualquer real $x$ pode ser aproximado por uma sequência $z_{n}$ de racionais diádicos:

x=\lim_{n\to\infty}z_{n}\,.

Como $a^{z_{n}}$ já foi definida para cada $z_{n}$ da sequência, $a^{x}$ é definida como

a^{x}{:=}\lim_{n\to\infty}a^{z_{n}}\,.

Pode ser mostrado que a função $x\mapsto a^{x}$ obtida satisfaz às propriedades (3.1)-(3.3). Por exemplo, se $y$ é um outro real, aproximado pela sequência $w_{n}$ , $y=\lim_{n\to\infty}w_{n}$ , então $x+y$ pode ser aproximado pela sequência $(z_{n}+w_{n})$ , logo

a^{x+y}=\lim_{n\to\infty}a^{z_{n}+w_{n}}=\lim_{n\to\infty}a^{z_{n}}a^{w_{n}}=(% \lim_{n\to\infty}a^{z_{n}})(\lim_{n\to\infty}a^{w_{n}})=a^{x}a^{y}\,.

Todas as operações acima são corretas, mas precisam ser justificadas.

AQUI Assim conseguimos definir a função exponencial na base $a>0$ como uma função definida na reta real inteira:

	$\displaystyle\exp_{a}:\mathbb{R}$	$\displaystyle\to(0,\infty)$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto a^{x}\,.$

Ela foi construida de maneira tal que as seguintes propriedades sejam satisfeitas: $a^{0}=1$ ,

$\displaystyle a^{x}a^{y}$	$\displaystyle=a^{x+y}$	(3.4)
$\displaystyle(a^{x})^{y}$	$\displaystyle=a^{xy}$	(3.5)
$\displaystyle\frac{a^{x}}{a^{y}}$	$\displaystyle=a^{x-y}$	(3.6)
$\displaystyle(ab)^{x}$	$\displaystyle=a^{x}b^{x}\,.$	(3.7)

Todas as funções exponenciais com base $a>1$ têm gráficos parecidos:

Observe que todos os gráficos passam pelo ponto $(0,1)$ , e que $x\mapsto a^{x}$ é estritamente crescente:

x<y\quad\Leftrightarrow\quad a^{x}<a^{y}\,.

Para os valores $a<1$ , basta usar uma simetria: Para $a=\frac{1}{2}$ por exemplo, podemos observar que

\exp_{{\frac{1}{2}}}(x)=(\tfrac{1}{2})^{x}=2^{-x}=\exp_{2}(-x)\,.

Portanto, o gráfico de $x\mapsto(\frac{1}{2})^{x}$ é obtido a partir do gráfico de $x\mapsto 2^{x}$ por uma simetria pelo eixo $y$ . Em geral, o gráfico de $x\mapsto(\frac{1}{a})^{x}$ é obtido a partir do gráfico de $x\mapsto a^{x}$ por uma simetria pelo eixo $y$ :

Temos também que quando $0<a<1$ , $x\mapsto a^{x}$ é estritamente decrescente:

x<y\quad\Leftrightarrow\quad a^{x}>a^{y}\,.

Exercício 3.1.

Esboce os gráficos das funções $1-2^{-x}$ , $3^{x-1}$ , $(\tfrac{3}{2})^{-x}$ , $-(\frac{3}{2})^{|x|}$ .

Com mais funções, resolvem-se mais (in)equações:

Exemplo 3.4.

Resolvamos

3^{x}+3^{-x}=2\,.

Multiplicando por $3^{x}$ em ambos lados e agrupando os termos obtemos $(3^{x})^{2}-2\cdot 3^{x}+1=0$ . Chamando $z=3^{x}$ , essa equação se torna $z^{2}-2z+1=0$ , cuja única solução é $z=1$ , isto é, $3^{x}=1$ . Logo, $S=\{0\}$ .

Exercício 3.2.

Resolva:

1.

$5^{x}+25\cdot 5^{-x}=26$
2.

$(2^{x})^{2}=16$
3.

$2^{x+1}-16\leq 0$
4.

$3^{x}>\tfrac{1}{9}$
5.

$(2^{x}-2)(\tfrac{1}{5^{x}}-1)<0$
6.

$2^{2x+1}\geq 5^{1-x}$

Observação 3.1.

Para se acostumar com a as mudanças de escala entre os valores de $10^{n}$ para $n$ grande positivo e $n$ grande negativo, sugiro assistir o pequeno filme clássico de Charles e Bernice Ray Eames de $1968$ : Powers of Ten (Potências de dez). Se encontra por exemplo em: http://www.youtube.com/watch?v=0fKBhvDjuy0.

Observação 3.2.

Lembramos que a base de uma exponencial é sempre estritamente positiva. De fato, definir a exponencial para bases negativas, por exemplo $a=-1$ , daria problemas já para definir $(-1)^{1/2}$ , que corresponde a $\sqrt{-1}$ , que não é definido nos reais. Observe também que a base $a=0$ não é interessante, mas mesmo assim daremos um sentido a “ $0^{0}$ ” no Capítulo 6.