2.4 Composição, contradomínio e imagem

Suponha que se queira obter o valor de $\operatorname{sen}(\pi^{2})$ com uma calculadora. Como uma calculadora possui em geral as duas funções $(\cdot)^{2}$ e $\operatorname{sen}(\cdot)$ , calculemos primeiro o quadrado de $\pi$ , e em seguida tomemos o seno do resultado:

\pi=3.1415...\stackrel{{\scriptstyle(\cdot)^{2}}}{{\longmapsto}}\pi^{2}=9,8696% ...\stackrel{{\scriptstyle\operatorname{sen}(\cdot)}}{{\longmapsto}}% \operatorname{sen}(\pi^{2})=-0.4303...

O que foi feito foi compor duas funções.

Sejam $f$ e $g$ duas funções reais. Definemos a composição de $f$ com $g$ como a nova função $f\circ g$ definida por

\boxed{(f\circ g)(x){:=}f(g(x))\,.}

Isto significa que para calcular $x\mapsto(f\circ g)(x))$ , calculamos primeiro $g(x)$ ,

x\mapsto g(x)\,,

e em seguida aplicamos $f$ :

x\mapsto g(x)\mapsto f(g(x))\,.

Exercício 2.21.

Sejam $f(x)=x^{2}$ , $g(x)=\frac{1}{x+1}$ , $h(x)=x+1$ . Calcule

(f\circ g)(0)\,,(g\circ f)(0)\,,(f\circ g)(1)\,,(g\circ f)(1)\,,f(g(h(-1)))\,,% h(f(g(3)))\,.

Como foi observado no exercício anterior, $f\circ g$ é em geral diferente de $g\circ f$ .

Às vezes será necessário considerar uma função complicada como sendo uma composta de funções mais elementares:

Exemplo 2.20.

A função $x\mapsto\sqrt{1+x^{2}}$ pode ser vista como a composta

x\mapsto 1+x^{2}\mapsto\sqrt{1+x^{2}}\,,

que significa que $\sqrt{1+x^{2}}=f(g(x))$ , com $g(x)=1+x^{2}$ e $f(x)=\sqrt{x}$ . Observe que podia também escrever

x\mapsto x^{2}\mapsto 1+x^{2}\mapsto\sqrt{1+x^{2}}\,,

que dá a decomposição $\sqrt{1+x^{2}}=f(g(h(x)))$ , onde $h(x)=x^{2}$ , $g(x)=x+1$ , $f(x)=\sqrt{x}$ .

Exercício 2.22.

Para cada função $f$ a seguir, dê uma decomposição de $f$ como composição de funções mais simples.

1.

$\operatorname{sen}(2x)$
2.

$\frac{1}{\operatorname{sen}x}$
3.

$\operatorname{sen}(\tfrac{1}{x})$
4.

$\sqrt{\frac{1}{\tan(x)}}$

Exercício 2.23.

Considere

f(x){:=}\begin{cases}x+3&\text{ se }x\geq 0\,,\\ x^{2}&\text{ se }x<0\,,\end{cases}\quad\quad g(x){:=}\begin{cases}2x+1&\text{ % se }x\geq 3\,,\\ x&\text{ se }x<3\,.\end{cases}

Calcule $f\circ g$ e $g\circ f$ .

Lembramos que uma função é sempre definida junto com o seu domínio:

	$\displaystyle f:D$	$\displaystyle\to\mathbb{R}$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto f(x)\,.$

Em “ $f:D\to\mathbb{R}$ ”, o “ $\mathbb{R}$ ” foi colocado para indicar que qualquer que seja $x$ , $f(x)$ é sempre um número real. Em outras palavas: a imagem de qualquer $x\in D$ por $f$ é um número real. Vejamos em alguns exemplos que esse conjunto “ $\mathbb{R}$ ” pode ser mudado por um conjunto que represente melhor a função.

Exemplo 2.21.

Considere

	$\displaystyle f:\mathbb{R}$	$\displaystyle\to\mathbb{R}$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto x^{2}\,.$

Como $x^{2}\geq 0$ qualquer que seja $x\in\mathbb{R}$ , vemos que a imagem de qualquer $x\in\mathbb{R}$ por $f$ é positiva. Logo, podemos rescrever a função da seguinte maneira:

	$\displaystyle f:\mathbb{R}$	$\displaystyle\to[0,\infty)$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto x^{2}\,.$

Quando uma função for escrita na forma

	$\displaystyle f:D$	$\displaystyle\to C$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto f(x)\,,$

para indicar que qualquer $x$ em $D$ tem a sua imagem em $C$ , diremos que um contradomínio foi escolhido para $f$ . Em geral, não existe uma escolha única para o contradomínio.

Exemplo 2.22.

Como, $x\mapsto\operatorname{sen}x$ é uma função limitada, podemos escrever

	$\displaystyle\operatorname{sen}:\mathbb{R}$	$\displaystyle\to[-10,+10]$		(2.2)
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto\operatorname{sen}x\,.$

Mas podemos também escolher um contradomínio menor:

	$\displaystyle\operatorname{sen}:\mathbb{R}$	$\displaystyle\to[-1,+1]$		(2.3)
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto\operatorname{sen}x\,.$

Acontece que $[-1,+1]$ é o menor contradomínio possível (ver abaixo).

Seja $f:D\to C$ . Para cada $x\in D$ , lembremos que $f(x)\in C$ é chamado de imagem de $x$ , e o conjunto imagem de $f$ é definido como

\boxed{\operatorname{Im}(f){:=}\{f(x):x\in D\}\,.}

Por definição, $\operatorname{Im}(f)\subset C$ é um contradomínio, e é também o menor possível. Para cada $y\in\operatorname{Im}(f)$ , existe pelo menos um $x\in D$ tal que $f(x)=y$ , cada $x$ com essa propriedade é chamado de preimagem de $y$ . Cada ponto $x\in D$ possui uma única imagem em $C$ , um $y\in C$ pode possuir uma preimagem, mais de uma preimagem, ou nenhuma preimagem.

Exemplo 2.23.

Considere a função seno na reta. Ao $x$ percorrer a reta real, $\operatorname{sen}x$ atinge todos os pontos do intervalo $[-1,1]$ . Logo, $\operatorname{Im}(\operatorname{sen})=[-1,1]$ . Qualquer $y\in[-1,1]$ possui infinitas preimagens, por exemplo, todos os pontos de $\{k\pi,k\in\mathbb{Z}\}$ são preimagens de $y=0$ . O ponto $y=2$ , por sua vez, não possui nenhuma preimagem (não existe $x\in\mathbb{R}$ tal que $\operatorname{sen}x=2$ ).

Exercício 2.24.

Calcule o conjunto imagem das seguintes funções:

1.

$-2x+1$ , $D=\mathbb{R}$
2.

$-2x+1$ , $D=[-1,1]$
3.

$x^{p}$ ( $p$ ímpar)
4.

$x^{p}$ ( $p$ par)
5.

$\tfrac{1}{x}$ , $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$
6.

$\tfrac{1}{x}$ , $D=(0,\infty)$
7.

$x^{2}+1$ , $D=\mathbb{R}$
8.

$1-x^{2}$ , $D=\mathbb{R}$
9.

$x^{2}+2x$ , $D=(-\infty,0)$
10.

$\tan x$ ,
11.

$\operatorname{sen}x$ , $D=[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$
12.

$\cos x$ , $D=(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})$
13.

$\tfrac{1}{3}\operatorname{sen}x$ , $D=\mathbb{R}$
14.

$\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{4}\operatorname{sen}x)$ , $D=\mathbb{R}$
15.

$\frac{1}{x^{2}+1}$ , $D=\mathbb{R}$
16.

$\begin{cases}x+1&\text{ se }x\geq 0\\ \tfrac{1}{2}(x-1)&\text{ se }x<0\end{cases}$

Faça a mesma coisa com as funções do Exercício (2.4).

Exercício 2.25.

Se $f(x)=\frac{2x}{x^{2}+25}$ , calcule $\operatorname{Im}(f)$ . Para cada $y\in\operatorname{Im}(f)$ , determine se $y$ possui uma única preimagem ou mais.

2.4.1 Bijeção, função inversa

Diremos que uma função $f:D\to C$ é bijetiva (ou simplesmente: $f$ é uma bijeção) se

1.

$\operatorname{Im}(f)=C$ (isto é, se $f$ atinge cada ponto do seu contradomínio), e se
2.

qualquer $y\in C$ possui uma única preimagem, i.e. existe um único $x\in D$ tal que

$f(x)=y\,.$ (2.4)

Quando uma função é bijetiva, é possivel definir a sua função inversa, $f^{-1}:C\to D$ , onde para todo $y\in C$ , $f^{-1}(y)$ é definido como a única solução $x$ de (2.4). A função inversa tem as seguintes propriedades:

\boxed{\forall x\in D,\,(f^{-1}\circ f)(x)=x\,,\quad\text{ e }\forall y\in C,% \,(f\circ f^{-1})(y)=y\,.}

Exemplo 2.24.

Considere a função do Exemplo 2.8: $f(x)=\tfrac{x}{2}+1$ com $D=[0,2)$ . Então $\operatorname{Im}(f)=[1,2)$ , e $f:[0,2)\to[1,2)$ é uma bijeção:

Como $y=\tfrac{x}{2}+1$ , a função inversa obtém-se isolando $x$ : $x=2(y-1)$ . Logo, $f^{-1}:[1,2)\to[0,2)$ , $f^{-1}(y)=2(y-1)$ . Para esboçar o gráfico da função inversa no plano cartesiano, é mais natural renomear a variável usada para representar $f^{-1}$ , da seguinte maneira:

	$\displaystyle f^{-1}:[1,2)$	$\displaystyle\to[0,2)$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto 2(x-1)\,.$

Podemos agora esbocar $f^{-1}$ :

É importante observar que o gráfico da função inversa obtém-se a partir do gráfico de $f$ por uma simetria através da diagonal do primeiro quadrante:

Vimos no último exemplo que o gráfico de $f^{-1}$ é obtido a partir do gráfico de $f$ por uma simetria através da diagonal do primeiro quadrante. Isso vale em geral. De fato, se um ponto $(x,y=f(x))$ pertence ao gráfico de $f$ , então $(y,x=f^{-1}(y))$ pertence ao gráfico de $f^{-1}$ .

Exemplo 2.25.

Considere $f(x)=1-x^{2}$ .

1) Com $D=[-1,1]$ , temos $\operatorname{Im}(f)=[0,1]$ . Mas como $1-(-x)^{2}=1-x^{2}$ , cada ponto do contradomínio (diferente de zero) possui exatamente duas preimagens, logo $f:[-1,1]\to[0,1]$ não é bijetiva. 2) Mas, ao restringir o domínio, $D=[0,1]$ , então $f:[0,1]\to[0,1]$ , $f$ se torna bijetiva. O seu inverso se acha resolvendo $y=1-x^{2}$ : $x=\sqrt{1-y}$ . Assim, a sua função inversa é dada por $f^{-1}:[0,1]\to[0,1]$ , $f^{-1}(y)=\sqrt{1-y}$ .

Exercício 2.26.

Mostre que a função

	$\displaystyle f:(-1,0)$	$\displaystyle\to(0,1)$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto\sqrt{1-x^{2}}$

é bijetiva, e calcule $f^{-1}$ . Esboce o gráfico de $f^{-1}$ .

Exercício 2.27.

Considere $f:(-1,\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\frac{1}{x+1}$ . A partir do gráfico de $f$ , dê o seu conjunto imagem, e mostre que $f:(-1,\infty)\to\operatorname{Im}(f)$ é uma bijeção. Em seguida, dê a sua função inversa.

Exercício 2.28.

Seja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ uma bijeção ímpar. Mostre que a sua função inversa $f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ é ímpar também.

Exercício 2.29.

Para cada um dos contradomínios $C$ a seguir, dê um exemplo explícito de bijeção $f:(0,1)\to C$ .

1.

$(0,b)$ , onde $b>0$ .
2.

$(a,b)$ , onde $a<b$ .
3.

$(0,\infty)$
4.

$(-\infty,\infty)$
5.

$(0,1)$

Exercício 2.30.

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ , $x\in\mathbb{R}$ , definidas por

f(x){:=}\lfloor x\rfloor+(x-\lfloor x\rfloor)^{2}\,,\quad g(x){:=}\lfloor x% \rfloor+\sqrt{x-\lfloor x\rfloor}\,.

Mostre que $g=f^{-1}$ .

2.4.2 Inversos das potências

Vimos que se $p$ é par, então a função $f(x)=x^{p}$ é par, e $\operatorname{Im}(f)=[0,\infty)$ ou $(0,\infty)$ (dependendo de $p$ ser $>0$ ou $<0$ ). Logo, para serem invertidas, o domínio delas precisa ser restringido. Escolheremos (para $p$ par)

	$\displaystyle f:[0,\infty)$	$\displaystyle\to[0,\infty)$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto x^{p}\,.$

Vemos que com essa restrição, $f$ se torna bijetiva: para cada $y\in[0,\infty)$ existe um único $x\in[0,\infty)$ tal que $x^{p}=y$ . Esse $x$ costuma ser denotado por $x=y^{1/p}$ :

	$\displaystyle f^{-1}:[0,\infty)$	$\displaystyle\to[0,\infty)$
	$\displaystyle y$	$\displaystyle\mapsto y^{1/p}\,.$

No caso $p=2$ , $y^{1/2}=\sqrt{y}$ é a função raiz quadrada.

Se $p>0$ for ímpar, $\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}$ e não é preciso restringir o seu domínio:

	$\displaystyle f:\mathbb{R}$	$\displaystyle\to\mathbb{R}$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto x^{p}$

é bijetiva, e o seu inverso tem o seguinte gráfico:

Exercício 2.31.

Complete essa discussão, incluindo os valores negativos de $p$ .

Exercício 2.32.

Resolva:

1.

$x>\sqrt{x+2}$
2.

$(x-1)^{2}\leq\sqrt{1-x}$
3.

$\sqrt{-x^{2}-x+6}=-(x+1)$

2.4.3 Funções trigonométricas inversas

Vimos que para a função $\operatorname{sen}:\mathbb{R}\to[-1,1]$ , um $y\in[-1,1]$ possui infinitas preimagens, logo não é bijeção. Portanto, para inverter a função seno, é necessário restringir o seu domínio. A restringiremos ao intervalo $[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$ :

De fato, com essa restrição,

	$\displaystyle\operatorname{sen}:[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$	$\displaystyle\to[-1,1]$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto\operatorname{sen}x$

é uma bijeção, pois cada $y\in[-1,1]$ é atingido e possui uma única preimagem. A função inversa é chamada arcseno, e denotada

	$\displaystyle\operatorname{arcsen}:[-1,1]$	$\displaystyle\to[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$
	$\displaystyle y$	$\displaystyle\mapsto\operatorname{arcsen}y\,.$

Pela sua definição, ela satisfaz:

\boxed{\forall y\in[-1,1]:\,\operatorname{sen}(\operatorname{arcsen}y)=y\,\,,% \quad\text{ e }\quad\forall x\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]:\,% \operatorname{arcsen}(\operatorname{sen}x)=x\,\,.}

(2.5)

O gráfico de $\operatorname{arcsen}$ pode ser obtido por uma reflexão do gráfico de $\operatorname{sen}$ pela diagonal do primeiro quadrante:

Observação 2.2.

(Já fizemos esse comentário no Exemplo 2.24.) Como $\operatorname{arcsen}$ é definida como a função inversa de $x\mapsto\operatorname{sen}x$ (no intervalo $[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$ ), o mais correto é escrevê-la $y\mapsto\operatorname{arcsen}y$ . Mas para esboçar o seu gráfico, faz mais sentido usar a notação habitual, em que o eixo das abscissas é chamado de “ $x$ ”. Por isso, esse último gráfico representa o gráfico da função $\operatorname{arcsen}$ , mas chamando a sua variável $x$ (em vez de $y$ ): $x\mapsto\operatorname{arcsen}x$ . Faremos a mesma modificação nos próximos gráficos.

Exercício 2.33.

Seja $y\in(0,\tfrac{\pi}{2})$ tal que $y=\operatorname{arcsen}\tfrac{3}{5}$ . Calcule $\operatorname{sen}y$ , $\cos y$ , e $\tan y$ .

O cosseno pode ser invertido também, uma vez que o seu domínio é bem escolhido:

	$\displaystyle\cos:[0,\pi]$	$\displaystyle\to[-1,1]$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto\cos x$

A função inversa é chamada arcosseno, e denotada

	$\displaystyle\operatorname{arcos}:[-1,1]$	$\displaystyle\to[0,\pi]$
	$\displaystyle y$	$\displaystyle\mapsto\operatorname{arcos}y\,.$

Ela possui as propriedades:

\boxed{\forall y\in[-1,1]:\,\cos(\operatorname{arcos}y)=y\,\,,\quad\text{ e }% \quad\forall x\in[0,\pi]:\,\operatorname{arcos}(\cos x)=x\,\,.}

(2.6)

O gráfico de $\operatorname{arcos}$ pode ser obtido por uma reflexão pela diagonal do primeiro quadrante:

Para inverter a tangente, faremos a restrição

	$\displaystyle\tan:(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})$	$\displaystyle\to\mathbb{R}$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto\tan x\,,$

obtendo assim uma bijeção.

A função inversa é chamada de arctangente:

	$\displaystyle\arctan:\mathbb{R}$	$\displaystyle\to(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})$
	$\displaystyle y$	$\displaystyle\mapsto\arctan y\,.$

Como antes,

\boxed{\forall x\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}):\,\arctan(\tan x)=x\,\,,% \quad\text{ e }\quad\forall y\in\mathbb{R}:\,\tan(\arctan y)=y\,\,.}

(2.7)

O seu gráfico possui duas assíntotas horizontais: quando $x$ é positivo e grande, o gráfico de $\arctan x$ se aproxima da reta de equação $y=\tfrac{\pi}{2}$ , e quando $x$ é negativo e grande, ele se aproxima da reta de equação $y=-\tfrac{\pi}{2}$ :

Observemos também que $\arctan$ é uma função ímpar, limitada por $\tfrac{\pi}{2}$ .

Observação 2.3.

É importante notar que as três funções trigonométricas inversas, $\operatorname{arcsen}$ $\operatorname{arcos}$ e $\arctan$ , foram definidas a partir de uma escolha de uma restrição para cada uma das funções $\operatorname{sen}$ , $\cos$ e $\tan$ . Essa escolha pode parecer arbitrária, mas é a mais comum usada nos livros de matemática. Continuaremos usando as funções inversas assim definidas, até o fim do curso.

Exercício 2.34.

Determine os domínios das seguintes funções.

1.

$\operatorname{arcos}x-\operatorname{arcsen}x$
2.

$\operatorname{arcos}(2x)$
3.

$\tan(\operatorname{arcsen}x)$
4.

$\operatorname{arcos}(\tfrac{2-x^{2}}{1+x^{2}})$

Exercício 2.35.

Uma tela de cinema de $5$ metros de altura está pregada numa parede, $3$ metros acima do chão. a) Se $P$ é um ponto no chão a distância $x$ da parede, calcule o ângulo $\theta$ sob o qual $P$ vê a tela, em função de $x$ . b) Mesma coisa se $P$ é a $2$ metros do chão. (Obs: no Exercício 7.15 calcularemos onde colocar o ponto $P$ de modo tal que o ângulo seja máximo.)

Exercício 2.36.

Resolva:

1.

$3\operatorname{arcsen}x=\tfrac{\pi}{2}$
2.

$\arctan(x-1)=\tfrac{\pi}{3}$
3.

$2\operatorname{sen}(\operatorname{arcsen}x)=\tfrac{1}{3}$
4.

$\arctan(\tan(x^{2}))=\tfrac{\pi}{9}$

As funções trigonométricas inversas têm identidades associadas. Somente consideraremos algumas:

Exemplo 2.26.

Provemos, por exemplo, a identidade

\cos(\operatorname{arcsen}x)=\sqrt{1-x^{2}}\,,\quad\forall x\in[-1,1]\,.

(2.8)

Primeiro, como $\operatorname{sen}^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$ , temos, usando (2.6),

\cos^{2}(\operatorname{arcsen}x)=1-\operatorname{sen}^{2}(\operatorname{arcsen% }x)=1-x^{2}\,.

Mas como $-\tfrac{\pi}{2}\leq\operatorname{arcsen}x\leq\tfrac{\pi}{2}$ , vale $\cos(\operatorname{arcsen}x)\in[0,1]$ , logo, tomando a raiz quadrada dá a idendidade desejada. Um outro jeito de entender a identidade é de escrevê-la como $\cos(\operatorname{arcsen}x)=\cos\alpha$ , onde $\alpha=\operatorname{arcsen}x$ . Logo, $\operatorname{sen}\alpha=x$ , o que pode ser representado num triângulo:

Nesse triângulo vemos que $\cos\alpha=\tfrac{\sqrt{1-x^{2}}}{1}=\sqrt{1-x^{2}}$ .

Exercício 2.37.

Simplifique:

1.

$\cos(2\operatorname{arcos}x)$
2.

$\cos(2\arcsin x)$
3.

$\operatorname{sen}(2\operatorname{arcos}x)$
4.

$\cos(2\arctan x)$
5.

$\operatorname{sen}(2\arctan x)$
6.

$\tan(2\operatorname{arcsen}x)$

Exercício 2.38.

Mostre que para todo $x\in[-1,1]$ ,

\operatorname{arcsen}x+\operatorname{arcos}x=\tfrac{\pi}{2}\,.