7.4 Problemas de otimização

Dentre os retângulos contidos debaixo da parábola $y=1-x^{2}$, com o lado inferior no eixo $x$, qual é que tem maior área? Considere a família dos retângulos inscritos debaixo da parábola:

Fixemos um retângulo e chamemos de $x$ a metade do comprimento do lado horizontal. Como os cantos superiores estão no gráfico de $y=1-x^{2}$, a altura do retângulo é igual a $1-x^{2}$. Portanto, a área em função de $x$ é dada pela função

Observe que $A$ tem domínio $[0,1]$ (o menor lado horizontal possível é $0$, o maior é $2$). Para achar os valores extremos de $A$, procuremos os seus pontos críticos em $(0,1)$, soluções de $A^{\prime}(x)=0$. Como $A^{\prime}(x)=2-6x^{2}$, o único ponto crítico é $x_{*}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. O estudo do sinal mostra que $x_{*}$ é um ponto de máximo local de $A$. Como $A(0)=0$ e $A(1)=0$, o máximo global é atingido em $x_{*}$ mesmo. Logo o retângulo de maior área tem largura $2x_{*}\simeq 1.154$ e altura $1-x_{*}^{2}=\frac{2}{3}=0.666\dots$.

Qual é o ponto $Q_{*}$ da reta $y={2x}$ que está mais próximo do ponto $P=(1,0)$?

Se $Q=(x,y)$ é um ponto qualquer do plano, então

Mas se $Q$ pertence à reta, então $y=2x$ e podemos escrever a distância em função da variável $x$ só: $d(Q,P)=f(x)$, onde

é a função que queremos minimizar. Como $Q$ pode se mover na reta toda, $f$ tem $\mathbb{R}$ como domínio. Como $f$ é derivável e $f^{\prime}(x)=0$ se e somente se $x=\frac{1}{5}$, e como $d$ é convexa ($d^{\prime\prime}(z)>0$ para todo $z$), o ponto de abcissa $x=\frac{1}{5}$ é um ponto de mínimo global de $d$. Logo, o ponto procurado é $Q_{*}=(\frac{1}{5},\frac{2}{5})$. Observe que a inclinação do segmento $Q_{*}P$ é igual a $-\tfrac{1}{2}$: ele é perpendicular à reta, como era de se esperar (sabemos desde o curso de geometria elementar que o caminho mais curto entre um ponto $P$ e uma reta é o segmento perpendicular à reta passando por $P$).

Qual é, dentre os cilíndros inscritos numa esfera de raio $R$, o de volume máximo? Um cílindro cuja base tem raio $r$, e cuja altura é $h$ tem volume $V=\pi r^{2}h$. Quando o cilíndro é inscrito na esfera de raio $R$ centrada na origem, $r$ e $h$ dependem um do outro:

Assim, $V$ pode ser escrito como função de uma variável só. Em função de $r$,

ou em função de $h$:

Para achar o cílindro de volume máximo, procuremos o máximo global de qualquer uma dessas funções no seu domínio. Consideremos por exemplo $V(r)$. Como $V$ é derivável em $(0,R)$, temos

Portanto, $V^{\prime}(r)=0$ se e somente se $r=0$ ou $2R^{2}-3r^{2}=0$. Logo, o único ponto crítico de $V$ em $(0,R)$ é $r_{*}=\sqrt{2/3}R$ ($\simeq 0.82R$). Estudando o sinal de $V^{\prime}$ obtemos a variação de $V$:

Na fronteira do intervalo $[0,R]$, $V(0)=0$ e $V(R)=0$. Logo, $V$ atinge o seu máximo global em $r_{*}$. Portanto, o cilíndro com volume máximo que pode ser inscrito numa esfera de raio $R$ tem base com raio $r_{*}$, e altura $h_{*}=2\sqrt{R^{2}-r_{*}^{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}R$ ($\simeq 1.15R$).