7.1 Extremos globais

Definição 7.1.

Considere uma função f:D→ℝf:D\to\mathbb{R}.

  1. 1.
    ​

    Um ponto x∗∈Dx_{*}\in D é chamado de máximo global de ff se f⁢(x)≤f⁢(x∗)f(x)\leq f(x_{*}) para todo x∈Dx\in D. Diremos então que ff atinge o seu valor máximo em x∗x_{*}.

  2. 2.
    ​

    Um ponto x∗∈Dx_{*}\in D é chamado de mínimo global de ff se f⁢(x)≥f⁢(x∗)f(x)\geq f(x_{*}) para todo x∈Dx\in D. Diremos então que ff atinge o seu valor mínimo em x∗x_{*}.

Um problema de otimização consiste em achar um extremo (isto é, um mínimo ou um máximo) global de uma função dada.

Exemplo 7.1.

A função f⁢(x)=x2f(x)=x^{2}, em D=[−1,2]D=[-1,2], atinge o seu mínimo global em x=0x=0 e o seu máximo global em x=2x=2. Observe que ao considerar a mesma função f⁢(x)=x2f(x)=x^{2} com um domínio diferente, os extremos globais mudam. Por exemplo, com D=[12,32]D=[\tfrac{1}{2},\frac{3}{2}], ff atinge o seu mínimo global em x=12x=\tfrac{1}{2}, e o seu máximo global em x=32x=\frac{3}{2}.

Exemplo 7.2.

Considere f⁢(x)=x33−xf(x)=\frac{x^{3}}{3}-x em [−3,3][-\sqrt{3},\sqrt{3}]. Pelo gráfico do Exercício 6.32, vemos que ff atinge o seu máximo global em x=−1x=-1 e o seu mínimo global em x=+1x=+1.

Uma função pode não possuir mínimos e/ou máximos, por várias razões.

Exemplo 7.3.

f⁢(x)=e−x22f(x)=e^{-\tfrac{x^{2}}{2}} (lembre do Exercício 6.32) em ℝ\mathbb{R} possui um máximo global em x=0x=0:

Mas ff não possui ponto de mínimo global. De fato, a função é sempre positiva e tende a zero quando x→±∞x\to\pm\infty. Logo, escolhendo pontos xx sempre mais longe da origem, consegue-se alcançar valores sempre menores, não nulos: não pode existir um ponto x∗x_{*} em que a função toma um valor menor ou igual a todos os outros pontos.

Exemplo 7.4.

A função f⁢(x)=11−xf(x)=\frac{1}{1-x} em D=[0,1)D=[0,1) possui um mínimo global em x=0x=0:

Mas, como x=1x=1 é assíntota vertical, ff não possui máximo global: ao se aproximar de 11 pela esquerda, a função toma valores arbitrariamente grandes.

Exemplo 7.5.

Uma função pode também ser limitada e não possuir extremos globais:

Os três últimos exemplos mostram que a não-existência de extremos globais para uma função definida num intervalo pode ser oriundo 1) do intervalo não ser limitado (como no Exemplo 7.3) ou não fechado (como no Exemplo 7.4), 2) da função não ser contínua (como no Exemplo 7.5). O seguinte resultado garante que se a função é contínua e o intervalo fechado, então sempre existem extremos globais.

Teorema 7.1.

Sejam a<ba<b, e ff uma função contínua em [a,b][a,b]. Então ff possui (pelo menos) um mínimo e (pelo menos) um máximo global em [a,b][a,b].

Exercício 7.1.

Para cada função f:D→ℝf:D\to\mathbb{R} a seguir, verifique se as hipóteses do Teorema 7.1 são satisfeitas. Em seguida, procure os pontos de mínimo/máximo global (se tiver).

  1. 1.
    ​

    f⁢(x)=3f(x)=3, D=ℝD=\mathbb{R}.

  2. 2.
    ​

    f⁢(x)=ln⁡xf(x)=\ln x, D=[1,∞)D=[1,\infty)

  3. 3.
    ​

    f⁢(x)=e−xf(x)=e^{-x} em ℝ+\mathbb{R}_{+}

  4. 4.
    ​

    f⁢(x)=|x−2|f(x)=|x-2|, D=(0,4)D=(0,4)

  5. 5.
    ​

    f⁢(x)=|x−2|f(x)=|x-2|, D=[0,4]D=[0,4]

  6. 6.
    ​

    f⁢(x)=|x2−1|+|x|−1f(x)=|x^{2}-1|+|x|-1, D=[−32,32]D=[-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}]

  7. 7.
    ​

    f⁢(x)=x33−xf(x)=\frac{x^{3}}{3}-x, D=[−2,2]D=[-2,2]

  8. 8.
    ​

    f⁢(x)=x33−xf(x)=\frac{x^{3}}{3}-x, D=[−1,1]D=[-1,1]

  9. 9.
    ​

    f⁢(x)={x se x∈[0,2),(x−3)2 se ⁢x∈[2,4].\displaystyle{f(x)=\begin{cases}x&\text{ se }x\in[0,2)\,,\\ (x-3)^{2}&\text{ se }x\in[2,4]\,.\end{cases}}

  10. 10.
    ​

    f⁢(x)={x se x∈[0,2),(x−3)2+1 se ⁢x∈[2,4].\displaystyle{f(x)=\begin{cases}x&\text{ se }x\in[0,2)\,,\\ (x-3)^{2}+1&\text{ se }x\in[2,4]\,.\end{cases}}

  11. 11.
    ​

    f⁢(x)=x23f(x)=x^{\frac{2}{3}} em ℝ\mathbb{R}

  12. 12.
    ​

    f⁢(x)=sen⁡xf(x)=\operatorname{sen}x em ℝ\mathbb{R}