7.3 A procura de extremos em intervalos fechados

Daremos agora o método geral para determinar os extremos globais de uma função $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ . Suporemos que $f$ é contínua; assim o Teorema 7.1 garante que os extremos existem.

Vimos que extremos locais são ligados, quando $f$ é derivável, aos pontos onde a derivada de $f$ é nula. Chamaremos tais pontos de pontos críticos.

Definição 7.3.

Seja $f:D\to\mathbb{R}$ . Um ponto $a\in D$ é chamado de ponto crítico de $f$ se a derivada de $f$ não existe em $a$ , ou se ela existe e é nula: $f^{\prime}(a)=0$ .

Por exemplo, $a=0$ é ponto crítico de $f(x)=x^{2}$ , porqué $f^{\prime}(0)=0$ . Por outro lado, $a=0$ é ponto crítico da função $f(x)=|x|$ , porqué $f$ não é derivável em zero.

Às vezes, os extremos são ligados a pontos críticos mas vimos que eles podem também se encontrar na fronteira do intervalo considerado (como nos Exemplos 7.3 e 7.1). Logo, o procedimento para achar os valores extremos de $f$ é o seguinte:

Seja $f$ uma função contínua no intervalo fechado e limitado $[a,b]$ . Os extremos globais de $f$ são determinados da seguintes maneira:

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Procure os pontos críticos $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ de $f$ contidos em $(a,b)$ (isto é, em $[a,b]$ mas diferentes de $a$ e de $b$ ).
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Olhe $f$ na fronteira do intervalo, calcule $f(a)$ , $f(b)$ .
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Considere a lista $\{f(a),f(b),f(x_{1}),\dots,f(x_{n})\}$ . O maior valor dessa lista dá o máximo global; o menor dá o mínimo global.

Exemplo 7.10.

Procuremos os extremos globais da função $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x$ no intervalo $[-3,3]$ . Como esse intervalo é fechado e que $f$ é contínua, podemos aplicar o método descrito acima. Os pontos críticos são solução de $f^{\prime}(x)=0$ , isto é, solução de $6(x^{2}+x-2)=0$ . Assim, $f$ possui dois pontos críticos, $x_{1}=-1$ e $x_{2}=+2$ , e ambos pertencem a $(-3,3)$ . Observe também que $f(x_{1})=f(-1)=+7$ , e $f(x_{2})=f(2)=-20$ . Agora, na fronteira do intervalo temos $f(-3)=-45$ , $f(+3)=-9$ . Assim, olhando para os valores $\{f(-3),f(+3),f(-1),f(+2)\}$ , vemos que o maior é $f(-1)=+7$ (máximo global), e o menor é $f(-3)=-45$ (mínimo global). (Essa função já foi considerada no Exercício 6.32.)

Exemplo 7.11.

Procuremos os extremos globais da função $f(x)=x^{2/3}$ no intervalo $[-1,2]$ . Se $x\neq 0$ , então $f^{\prime}(x)$ existe e é dada por $f^{\prime}(x)=\tfrac{2}{3}x^{-1/3}$ . Em $x=0$ , $f$ não é derivável (lembre do Exemplo 6.4). Logo, o único ponto crítico de $f$ em $(-1,2)$ é $x=0$ . Na fronteira, $f(-1)=1$ , $f(2)=\sqrt[3]{4}$ . Comparando os valores $\{f(-1),f(2),f(0)\}$ , vemos que o máximo global é atingido em $x=2$ e o mínimo local em $x=0$ :

Os exercícios relativos a essa seção serão incluidos na resolução dos problemas de otimização.