6.6 Derivada e Variação

Considere $f(x)=x^{2}$.

Vemos que $f$ decresce no intervalo $(-\infty,0]$, e cresce no intervalo $[0,+\infty)$. Esses fatos se refletem nos valores da inclinação da reta tangente: de fato, quando a função decresce, a inclinação da sua reta tangente é negativa, $f^{\prime}(x)<0$, e quando a função cresce, a inclinação da sua reta tangente é positiva, $f^{\prime}(x)>0$:

Como $f^{\prime}(x)=2x$, montemos uma tabela de variação, relacionando o sinal de $f^{\prime}(x)$ com a variação de $f$:

em que “$\searrow$” significa que $f$ decresce e “$\nearrow$” que ela cresce no intervalo. Vemos também que em $x=0$, como a derivada muda de negativa para positiva, a função atinge o seu valor mínimo, e nesse ponto $f^{\prime}(0)=0$.

Estudemos a variação de $f(x)=\frac{x^{3}}{3}-x$, usando a proposição acima. A derivada de $f$ é dada por $f^{\prime}(x)=x^{2}-1$, seu sinal é fácil de se estudar, e permite determinar a variação de $f$:

Isto é: $f$ cresce em $(-\infty,-1]$ até o ponto de coordenadas $(-1,f(-1))=(-1,\tfrac{2}{3})$, depois decresce em $[-1,+1]$ até o ponto de coordenadas $(1,f(1))=(1,-\tfrac{2}{3})$, e depois cresce de novo em $[+1,\infty)$:

Observe que em geral, o estudo da derivada não dá informações sobre os zeros da função. No entanto, neste caso, os zeros de $f$ podem ser calculados: $\frac{x^{3}}{3}-x=x(\frac{x^{2}}{3}-1)=0$. Isto é: $S=\{-\sqrt{3},0,\sqrt{3}\}$. Logo, o sinal de $f$ (que não tem nada a ver com o sinal de $f^{\prime}$) obtém-se facilmente:

Considere as potências $f(x)=x^{p}$, com $p\in\mathbb{Z}$ (lembre os esboços da Seção 2.2.1). Temos que $(x^{p})^{\prime}=px^{p-1}$ se $p>0$, $(\frac{1}{x^{q}})^{\prime}=-qx^{-q-1}$ se $p=-q<0$.

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  Se $p>0$ é par, então $p-1$ é ímpar, e $(x^{p})^{\prime}<0$ se $x<0$, $(x^{p})^{\prime}>0$ se $x>0$. Logo, $x^{p}$ é decrescente em $(-\infty,0]$, crescente em $[0,\infty)$. (Por exemplo: $x^{2}$.)

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  Se $p>0$ é ímpar, então $p-1$ é par, e $(x^{p})^{\prime}\geq 0$ para todo $x$. Logo, $x^{p}$ é crescente em todo $\mathbb{R}$. (Por exemplo: $x^{3}$.)

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  Se $p=-q<0$ é par, então $-q-1$ é ímpar, e $(\frac{1}{x^{q}})^{\prime}>0$ se $x<0$, $(\frac{1}{x^{q}})^{\prime}<0$ se $x>0$. Logo, $\frac{1}{x^{q}}$ é crescente em $(-\infty,0)$, e decrescente em $(0,\infty)$. (Por exemplo: $\frac{1}{x^{2}}$.)

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  Se $p=-q<0$ é ímpar, então $-q-1$ é par, e $(\frac{1}{x^{q}})^{\prime}<0$ para todo $x\neq 0$. Logo, $\frac{1}{x^{q}}$ é decrescente em $(-\infty,0)$, e decrescente também em $(0,\infty)$. (Por exemplo: $\frac{1}{x}$ ou $\frac{1}{x^{3}}$.)

Considere a função exponencial na base $a>0$, $a^{x}$ (lembre os esboços da Seção 3.1). Como $(a^{x})^{\prime}=(\ln a)a^{x}$, temos que

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  se $a>1$, então $\ln a>0$, e $(a^{x})^{\prime}>0$ para todo $x$. Logo, $a^{x}$ é sempre crescente.

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  se $0<a<1$, então $\ln a<0$, e $(a^{x})^{\prime}<0$ para todo $x$. Logo, $a^{x}$ é sempre decrescente.

Por outro lado, a função logaritmo na base $a>0$, $\log_{a}x$, é tal que $(\log_{a}x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}$.

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  Se $a>1$, então $\log_{a}x$ é crescente em $(0,\infty)$, e

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  se $0<a<1$, então $\log_{a}x$ é decrescente em $(0,\infty)$.