6.1 Retas e gráficos de funções

Para começar, consideraremos retas do plano associadas ao gráfico de uma função. Isto é, escolheremos um ponto fixo $P$ , um ponto móvel $Q$ , e consideraremos a inclinação da reta que passa por $P$ e $Q$ . Será interessante estudar como que essa inclinação evolui em função da posição de $Q$ , quando $Q$ se mexe ao longo do gráfico de uma função.

Exemplo 6.1.

Considere o ponto fixo $P=(0,-1)$ e a reta horizontal $r$ de equação $y=1$ . Consideremos agora um ponto móvel $Q$ em $r$ . Isto é, $Q$ é da forma $Q=(\lambda,1)$ , onde $\lambda$ varia em $\mathbb{R}$ , e estudemos a inclinação da reta passando por $P$ e $Q$ , dada por

m(\lambda)=\frac{1-(-1)}{\lambda-0}=\frac{2}{\lambda}\,.

Vemos que quando $Q$ pertence ao primeiro quadrante ( $\lambda>0$ ), $m(\lambda)$ é positiva, e quando $Q$ pertence ao segundo quadrante ( $\lambda<0$ ), $m(\lambda)$ é negativa. Observemos também que a medida que $Q$ se afasta pela direita ou pela esquerda, a reta tende a ficar mais horizontal. Em termos da sua inclinação:

\lim_{\lambda\to-\infty}m(\lambda)=0\,,\quad\quad\lim_{\lambda\to+\infty}m(% \lambda)=0\,.

Por outro lado, quando $Q$ se aproximar de $(0,1)$ , a reta se aproxima de uma vertical, e a sua inclinação toma valores arbitrariamente grandes:

\lim_{\lambda\to 0^{-}}m(\lambda)=-\infty\,,\quad\quad\lim_{\lambda\to 0^{+}}m% (\lambda)=+\infty\,.

Exemplo 6.2.

Considere agora o ponto fixo $P=(-1,0)$ e um ponto móvel $Q$ no gráfico da função $f(x)=\frac{1}{x}$ , contido no primeiro quadrante. Isto é, $Q$ é da forma $Q=(\lambda,\frac{1}{\lambda})$ , com $\lambda>0$ . Como no exemplo anterior, estudemos a inclinação da reta passando por $P$ e $Q$ , dada por

m(\lambda)=\frac{\frac{1}{\lambda}-0}{\lambda-(-1)}=\frac{1}{\lambda(\lambda+1% )}\,.

Aqui vemos que

\lim_{\lambda\to 0^{+}}m(\lambda)=+\infty\,,\quad\quad\lim_{\lambda\to+\infty}% m(\lambda)=0\,.

Finalmente, consideremos um exemplo em que ambos pontos pertencem ao gráfico de uma mesma função.

Exemplo 6.3.

Considere a parábola, gráfico da função $f(x)=x^{2}$ . Consideremos , de novo, um ponto fixo nessa parábola, $P=(-1,1)$ , e um ponto móvel $Q=(\lambda,\lambda^{2})$ .

Aqui,

m(\lambda)=\frac{\lambda^{2}-1}{\lambda-(-1)}=\frac{\lambda^{2}-1}{\lambda+1}\,.

Quando $Q$ se afasta de $P$ ,

\lim_{\lambda\to-\infty}m(\lambda)=-\infty\,,\quad\quad\lim_{\lambda\to+\infty% }m(\lambda)=+\infty\,.

Vejamos agora algo mais interessante: o que acontece quando $Q$ se aproxima arbitrariamente perto de $P$ , isto é, quando $\lambda\to-1$ ?

Vemos que a medida que $Q$ se aproxima de $P$ , a reta $r$ se aproxima da reta tangente à parábola no ponto $P$ , denotada $r_{t}^{P}$ . Em particular, a inclinação de $r_{t}^{P}$ pode ser calculada pelo limite

m_{t}^{P}=\lim_{\lambda\to-1}m(\lambda)=\lim_{\lambda\to-1}\frac{\lambda^{2}-1% }{\lambda+1}\,.

Esse limite é indeterminado, da forma “ $\tfrac{0}{0}$ ”, mas pode ser calculado:

\lim_{\lambda\to-1}\frac{\lambda^{2}-1}{\lambda+1}=\lim_{\lambda\to-1}\frac{(% \lambda-1)(\lambda+1)}{\lambda+1}=\lim_{\lambda\to-1}(\lambda-1)=-2\,.

Portanto, a equação da reta tangente $r_{t}^{P}$ é da forma $y=-2x+h$ , e a ordenada na origem pode ser calculada usando o fato de $r_{t}^{P}$ passar por $P$ . Obtém-se:

Na verdade, a mesma conta permite calcular a inclinação da reta tangente a qualquer ponto do gráfico:

Exercício 6.1.

Considere um ponto $P$ da parábola, cuja primeira coordenada é um número $a\in\mathbb{R}$ qualquer, fixo. Escolha um ponto $Q$ da parábola (com primeira coordenada $\lambda$ ), e calcule a equação da reta $r$ que passa por $P$ e $Q$ . Estude o que acontece com a equação dessa reta quando $\lambda\to a$ ?