6.11 A Regra de Bernoulli-l’Hôpital

Vejamos agora como a derivada fornece uma ferramenta útil para calcular alguns limites de formas indeterminados do tipo “ $\frac{0}{0}$ ”, “ $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ ”, “ $1^{\infty}$ ”, tais como

\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}\,,\quad\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-x}{x^{3}% }\,,\quad\lim_{x\to\infty}\Bigl{(}\frac{x+1}{x-1}\Bigr{)}^{x}\,.

Os métodos apresentados até agora não permitem calcular esses limites. Nesta seção veremos como derivadas são úteis para estudar limites da forma $\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}$ , quando $\lim_{x\to a}g(x)=0$ , $\lim_{x\to a}h(x)=0$ , ou quando $\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty$ , $\lim_{x\to a}h(x)=\pm\infty$ . A idéia principal é que limites indeterminados da forma $\tfrac{0}{0}$ (ou $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ ) podem, em geral, ser estudados via uma razão de duas derivadas. Os métodos que aproveitam dessa idéia, descritos abaixo, costumam ser chamados de Regra de Bernoulli-l’Hôpital ³³ 3 Johann Bernoulli, Basileia (Suiça) 1667-1748. Guillaume François Antoine, marquis de L’Hôpital (1661 - 1704). (denotado por B.-H. abaixo). Comecemos com um exemplo elementar.

Exemplo 6.33.

Considere o limite

\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{\operatorname{sen}x}\,.

Já que $\lim_{x\to 0}e^{x}-1=e^{0}-1=0$ e $\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}x=\operatorname{sen}0=0$ , esse limite é indeterminado da forma $\tfrac{0}{0}$ . Mas observe que, dividindo o numerador e o denomindor por $x$ ,

\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{\operatorname{sen}x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{e^{x% }-1}{x}}{\frac{\operatorname{sen}x}{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{e^{x}-e^{0}}{% x}}{\frac{\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}0}{x}}\,.

Dessa forma, aparecem dois quocientes bem comportados quando $x\to 0$ . O numerador, $\frac{e^{x}-e^{0}}{x}$ , tende à derivada da função $e^{x}$ em $x=0$ , isto é, $1$ . O denominador, $\frac{\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}0}{x}$ tende à derivada da função $\operatorname{sen}x$ em $x=0$ , isto é: $1$ , diferente de zero. Logo,

\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{\operatorname{sen}x}=\frac{\lim_{x\to 0}\frac{e^{x% }-e^{0}}{x}}{\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}0}{x}}% \equiv\frac{(e^{x})^{\prime}|_{x=0}}{(\operatorname{sen}x)^{\prime}|_{x=0}}=% \frac{1}{1}=1\,.

A idéia do exemplo anterior pode ser generalizada:

Teorema 6.4 (Regra de Bernoulli-l’Hôpital, Primeira versão).

Sejam $f$ , $g$ duas funções deriváveis no ponto $a$ , que se anulam em $a$ , $f(a)=g(a)=0$ , e tais que $\frac{f^{\prime}(a)}{g^{\prime}(a)}$ existe. Então

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime}(a)}{g^{\prime}(a)}\,.

(6.29)

Demonstração.

Como antes,

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\lim_{% x\to a}\frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\frac{f^{\prime}(a)% }{g^{\prime}(a)}\,.

∎

Exercício 6.49.

Calcule os limites:

\lim_{s\to 0}\frac{\log(1+s)}{e^{2s}-1}\,,\quad\lim_{t\to\pi}\frac{\cos t+1}{% \pi-t}\,,\quad\lim_{\alpha\to 0}\frac{1-\cos(\alpha)}{\operatorname{sen}(% \alpha+\frac{\pi}{2})}\,,\quad\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{x^{2}+3x% }\,.

O resultado acima pode ser generalizado a situações em que $\frac{f^{\prime}(a)}{g^{\prime}(a)}$ não existe, ou em que $f$ e $g$ nem são definidas em $a$ :

Teorema 6.5 (Regra de Bernoulli-l’Hôpital, Segunda versão).

1.

Limites $x\to a^{+}$ : Sejam $f$ , $g$ duas funções deriváveis em $(a,b)$ , com $g(x)\neq 0$ , $g^{\prime}(x)\neq 0$ para todo $x\in(a,b)$ . Suponha que $f$ e $g$ são tais que $\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\pm\alpha$ e $\lim_{x\to a^{+}}g(x)=\pm\alpha$ , com $\alpha\in\{0,\infty\}$ . Se $\lim_{x\to a^{+}}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ existir, ou se for $\pm\infty$ , então

$\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{% \prime}(x)}\,.$ (6.30)

(Uma afirmação equivalente pode ser formulada para $x\to b^{-}$ .)
2.

Limites $x\to\infty$ : Sejam $f$ , $g$ duas funções deriváveis em todo $x$ suficientemente grande, e tais que $\lim_{x\to\infty}f(x)=\pm\alpha$ , $\lim_{x\to\infty}g(x)=\pm\alpha$ , com $\alpha\in\{0,\infty\}$ . Se $\lim_{x\to\infty}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ existir ou se for $\pm\infty$ , então

$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{% \prime}(x)}\,.$ (6.31)

(Uma afirmação equivalente pode ser formulada para limites $x\to-\infty$ .)

Demonstração.

Provemos somente o primeiro item. Fixe $z\in(a,b)$ . Podemos definir $f(a){:=}0$ , $g(a){:=}0$ , de modo tal que a função $F(x){:=}(f(z)-f(a))g(x)-(g(z)-g(a))f(x)$ seja contínua em $[a,z]$ e derivável em $(a,z)$ . Como $F(z)=F(a)$ , o Teorema de Rolle 6.2 garante a existência de um $c_{z}\in(a,z)$ tal que $F^{\prime}(c_{z})=0$ , isto é, $(f(z)-f(a))g^{\prime}(c_{z})-(g(z)-g(a))f^{\prime}(c_{z})=0$ , que pode ser escrito

\frac{f(z)-f(a)}{g(z)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(c_{z})}{g^{\prime}(c_{z})}\,.

Observe que se $z\to a^{+}$ , então $c_{z}\to a^{+}$ . Logo, com a mudança de variável $y{:=}c_{z}$ ,

\lim_{z\to a^{+}}\frac{f(z)}{g(z)}=\lim_{z\to a^{+}}\frac{f(z)-f(a)}{g(z)-g(a)% }=\lim_{z\to a^{+}}\frac{f^{\prime}(c_{z})}{g^{\prime}(c_{z})}\equiv\lim_{y\to a% ^{+}}\frac{f^{\prime}(y)}{g^{\prime}(y)}\,,

o que prova a afirmação. ∎

Exemplo 6.34.

Considere $\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}$ . No Capítulo 4, calculamos esse limite da seguinte maneira:

\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x% \to 1}(x+1)=2\,.

Vejamos agora como esse mesmo limite pode ser calculado também usando a Regra de Bernoulli-l’Hôpital. Como o limite é da forma $\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{g(x)}$ , com $f(x)=x^{2}-1$ e $g(x)=x-1$ ambas deriváveis em $(1,2)$ , que $g$ e $g^{\prime}$ não se anulam nesse intervalo, e como $\lim_{x\to 1^{+}}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=\lim_{x\to 1^{+}}\frac{2x% }{1}=2$ , o Teorema 6.5 implica $\lim_{x\to 1^{+}}\frac{x^{2}-1}{x-1}=2$ . Do mesmo jeito, $\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x^{2}-1}{x-1}=2$ , o que implica $\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=2$ .

Observação 6.9.

A Regra de Bernoulli-l’Hôpital (que será às vezes abreviada "regra de B.H.") fornece uma ferramenta poderosa para calcular alguns limites, mas é importante sempre verificar se as hipóteses do teorema são satisfeitas, e não querer a usar para calcular qualquer limite! Também, ela pode às vezes se aplicar mas não ser de nenhuma utilidade (ver o Exercício 6.50).

Às vezes, é preciso usar a regra de B.H. mais de uma vez para calcular um limite:

Exemplo 6.35.

Considere o limite $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}$ , já encontrado no Exercício 4.19. Como $1-\cos x$ e $x^{2}$ ambas tendem a zero e são deriváveis na vizinhança de zero, as hipóteses do Teorema (6.5) são satisfeitas:

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{(1-\cos x)^{% \prime}}{(x^{2})^{\prime}}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sen}x}{2x}.

Já sabemos que $\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1$ . Mesmo assim, sendo também da forma $\frac{0}{0}$ , esse limite pode ser calculado aplicando a regra de B.-H. uma segunda vez: $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\cos x}{% 1}=1$ . Logo, $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}$ . Como a função é par, o limite lateral $x\to 0^{-}$ é igual ao limite lateral $x\to 0^{+}$ , logo $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}$ .

Vejamos agora um exemplo de limite $x\to\infty$ :

Exemplo 6.36.

Considere $\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}$ (já calculado na Seção 4.8, usando a fórmula do binômio de Newton). Observe que $\frac{\ln x}{x}\equiv\frac{f(x)}{g(x)}$ é um quociente de duas funções deriváveis para todo $x>0$ , e que $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ , $\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$ . Além disso, $\lim_{x\to\infty}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/% x}{1}=0$ , o que implica, pelo segundo item do Teorema 6.5,

\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0\,.

(6.32)

Vejamos em seguida um exemplo em que é necessário tomar um limite lateral:

Exemplo 6.37.

Considere $\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x$ . Aqui, consideremos $f(x)=\ln x$ e $g(x)=\tfrac{1}{x}$ , ambas deriváveis no intervalo $(0,1)$ . Além disso, $g(x)\neq 0$ e $g^{\prime}(x)\neq 0$ para todo $x\in(0,1)$ . O limite pode ser escrito na forma de um quociente, escrevendo $x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}$ . Logo,

\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{1/x}=\lim_{x\to 0^{+}}% \frac{1/x}{-1/x^{2}}=-\lim_{x\to 0^{+}}x=0\,,

onde B.H. foi usada na segunda igualdade.

Um outro jeito de calcular o limite acima é de fazer uma mudança de variável: se $y{:=}1/x$ , então $x\to 0^{+}$ implica $y\to+\infty$ . Logo,

\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim_{y\to\infty}\tfrac{1}{y}\ln\tfrac{1}{y}=-\lim_{y% \to\infty}\tfrac{\ln y}{y}\,,

e já vimos no último exemplo que esse limite vale $0$ .

Exercício 6.50.

Calcule os limites abaixo. Se quiser usar a Regra de Bernoulli-l’Hôpital, verifique primeiro que as hipóteses sejam satisfeitas.

1.

$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x}{3}$
2.

$\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-x-2}{3x^{2}-5x-2}$
3.

$\lim_{x\to 1^{+}}\frac{x^{2}-2x+2}{x^{2}+x-2}$
4.

$\lim_{x\to 0}\frac{(\operatorname{sen}x)^{2}}{x^{2}}$
5.

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln\frac{1}{1+x}}{\operatorname{sen}x}$
6.

$\lim_{x\to 0}\frac{1+\operatorname{sen}x-\cos x}{\tan x}$
7.

$\lim_{x\to 0}\frac{x-\operatorname{sen}x}{1-\cos x}$
8.

$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x-\operatorname{sen}x}{x\operatorname{sen}x}$
9.

$\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x-x}{x^{3}}$
10.

$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-x}{x^{3}}$
11.

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+\operatorname{sen}x)}{x}$
12.

$\lim_{x\to 0}\frac{x\operatorname{sen}x}{1+\cos(x-\pi)}$
13.

$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x}}{\ln x}$
14.

$\lim_{x\to 0^{+}}x(\ln x)^{2}$
15.

$\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^{2}}{x}$
16.

$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{x}}$
17.

$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{\ln x}}{x}$
18.

$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}}$
19.

$\lim_{x\to\infty}\frac{x^{100}-x^{99}}{20x-3x^{100}}$
20.

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-\ln(1-x)}{\operatorname{sen}x}$
21.

$\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}^{2}x}{1-x^{2}}$
22.

$\lim_{x\to\infty}\frac{x+\operatorname{sen}x}{x}$
23.

$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{2}-\operatorname{sen}^{2}x}{x^{2}\operatorname{sen}^% {2}x}$
24.

$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{2}\operatorname{sen}\frac{1}{x}}{x}$
25.

$\lim_{x\to 0}\frac{e^{\tan x}-e^{x}}{x^{3}}$
26.

$\lim_{x\to 0^{+}}\bigl{(}\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\bigr{)}$
27.

$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\arctan(\frac{1}{x})-\tfrac{\pi}{2}}{x}$

Vários outros tipos de limites, por exemplo indeterminações “ $1^{\infty}$ ”, podem ser calculados usando o Teorema 6.5. Aqui usaremos exponenciação.

Exemplo 6.38.

Para calcular $\lim_{x\to\infty}(\frac{x}{x-a})^{x}$ , que é da forma c“ $1^{\infty}$ ”, comecemos exponenciando

\Bigl{(}\frac{x}{x-a}\Bigr{)}^{x}=\exp\Bigl{(}x\ln\frac{x}{x-a}\Bigr{)}\,.

Como $x\mapsto e^{x}$ é contínua, $\lim_{x\to\infty}(\frac{x}{x-a})^{x}=\exp(\lim_{x\to\infty}x\ln\frac{x}{x-a})$ (lembre da Seção 5.2). Ora, o limite $\lim_{x\to\infty}x\ln\frac{x}{x-a}$ pode ser escrito na forma de um quociente:

\lim_{x\to\infty}x\ln\frac{x}{x-a}=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\frac{x}{x-a}}{% \frac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x-a}}{-\frac{1}{x^{2}% }}=\lim_{x\to\infty}\frac{ax^{2}}{x(x-a)}=a\,.

A segunda igualdade é justificada pela regra de B.-H. (as funções são deriváveis em todo $x$ suficientemente grande), a última por uma conta fácil de limite, colocando $x^{2}$ em evidência. Portanto,

\lim_{x\to\infty}\Bigl{(}\frac{x}{x-a}\Bigr{)}^{x}=\exp\Big{(}\lim_{x\to\infty% }x\ln\frac{x}{x-a}\Big{)}=e^{a}\,.

Exemplo 6.39.

Considere $\lim_{x\to 0}(\cos x)^{1/x^{2}}=\exp(\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{x^{2}})$ . Como $\ln(\cos x)$ e $x^{2}$ são ambas deriváveis na vizinhança de zero, e como

\lim_{x\to 0}\frac{(\ln(\cos x))^{\prime}}{(x^{2})^{\prime}}=\lim_{x\to 0}% \frac{-\tan x}{2x}=-\tfrac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}% \frac{1}{\cos x}=-\tfrac{1}{2}\,,

temos

\lim_{x\to 0}(\cos x)^{1/x^{2}}=e^{-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}\,.

Exercício 6.51.

Calcule:

1.

$\lim_{x\to 0^{+}}(\sqrt{1+x})^{\tfrac{1}{x}}$
2.

$\lim_{x\to 0^{+}}x^{x}$
3.

$\lim_{x\to 0}(1+\operatorname{sen}(2x))^{\tfrac{1}{x}}$
4.

$\lim_{x\to 0}(\operatorname{sen}x)^{\operatorname{sen}x}$
5.

$\lim_{x\to\infty}(e^{x}+x^{2})^{\tfrac{1}{x}}$
6.

$\lim_{x\to\infty}(\ln x)^{\tfrac{1}{x}}$
7.

$\lim_{x\to 0^{+}}(1+x)^{\ln x}$
8.

$\lim_{x\to\infty}(xe^{\tfrac{1}{x}}-x)$
9.

$\lim_{x\to\infty}{(\tfrac{\pi}{2}-\arctan x)^{\tfrac{1}{\ln x}}}$
10.

$\lim_{x\to 0^{+}}x^{x^{x}}$
11.

$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{(1+x)^{\tfrac{1}{x}}-e}{x}$

Exercício 6.52.

(Segunda prova, 27 de maio de 2011) Calcule os limites

\lim_{z\to\infty}\Bigl{(}\frac{z+9}{z-9}\Bigr{)}^{z}\,,\quad\quad\lim_{x\to% \infty}x^{\ln x}e^{-x}\,,\quad\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x-1000% }}\,.