6.2 Reta tangente e derivada

O procedimento descrito no Exemplo 6.3 acima pode ser generalizado, e fornece um método para calcular a reta tangente ao gráfico de uma função $f$ num ponto $P=(a,f(a))$ . Escolhamos um ponto vizinho de $P$ , também no gráfico de $f$ , denotado $Q=(x,f(x))$ , e consideremos a reta $r$ que passa por $P$ e $Q$ .

A inclinação da reta $r$ é dada por

\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\,,

e a inclinação da reta tangente em $P$ é obtida pegando $Q\to P$ , isto é, $x\to a$ .

Definição 6.1.

Considere uma função $f$ definida num ponto $a$ e na sua vizinhança. Se o limite

\boxed{f^{\prime}(a){:=}\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\,,}

(6.1)

existir e for finito, diremos que $f$ é derivável (ou diferenciável) em $a$ . O valor de $f^{\prime}(a)$ é chamado de derivada de $f$ no ponto $a$ , e representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $P=(a,f(a))$ .

Veremos mais tarde que a derivada deve ser interpretada como taxa local de crescimento da função: $f^{\prime}(a)$ dá a taxa com a qual $f(x)$ cresce em relação a $x$ , na vizinhança de $a$ . Considerando o gráfico na forma de uma curva $y=f(x)$ , e chamando $\Delta x{:=}x-a$ e $\Delta f{:=}f(x)-f(a)$ , vemos que uma notação natural para a derivada, bastante usada na literatura é:

{\frac{df}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}}

Observação 6.1.

Em geral, $f^{\prime}(a)$ é um limite indeterminado da forma $\frac{0}{0}$ . De fato, se $f$ é contínua em $a$ então quando $x\to a$ , o numerador $f(x)-f(a)\to 0$ e o denominador $x-a\to 0$ . Por isso, os métodos estudados no último capítulo serão usados constantemente para calcular derivadas.

Observação 6.2.

Observe que com a mudança de variável $h{:=}x-a$ , $x\to a$ implica $h\to 0$ , logo a derivada pode ser escrita também como

\boxed{f^{\prime}(a){:=}\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\,,}

(6.2)

Exercício 6.2.

Considere $f(x){:=}x^{2}-x$ . Esboce o gráfico de $f$ . Usando a definição de derivada, calcule a derivada de $f$ nos pontos $a=0$ , $a=\frac{1}{2}$ , $a=1$ . Interprete o seu resultado graficamente.

Exercício 6.3.

Usando a definição, calcule a derivada de $f$ no ponto dado.

1.

$f(x)=\sqrt{x}$ , $a=1$
2.

$f(x)=\sqrt{1+x}$ , $a=0$
3.

$f(x)=\frac{x}{x+1}$ , $a=0$
4.

$f(x)=x^{4}$ , $a=-1$
5.

$f(x)=\frac{1}{x}$ , $a=2$ .

Exercício 6.4.

Dê a equação da reta tangente ao gráfico da função no(s) ponto(s) dado(s):

1.

$3x+9$ , $(4,21)$
2.

$x-x^{2}$ , $(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$
3.

$\sqrt{1+x}$ , $(0,1)$
4.

$\frac{1}{x}$ , $(-1,-1)$ , $(1,1)$
5.

$\sqrt{1-x^{2}}$ , $(-1,0)$ , $(1,-1)$ $(0,1)$ , $(1,0)$
6.

$\operatorname{sen}x$ , $(0,0)$ , $(\frac{\pi}{2},1)$

Exercício 6.5.

Calcule a equação da reta tangente ao círculo $x^{2}+y^{2}=25$ nos pontos $P_{1}=(3,4)$ , $P_{2}=(3,-4)$ , $P_{3}=(5,0)$ .

Exercício 6.6.

Determine o ponto $P$ da curva $y=\sqrt{x}$ , $x\geq 0$ , no qual a reta tangente $r_{P}$ à curva é paralela à reta $r$ de equação $8x-y-1=0$ . Esboce a curva e as duas retas $r_{P}$ , $r$ .

Exercício 6.7.

Calcule o valor do parâmetro $\beta$ para que a reta $y=x-1$ seja tangente ao gráfico da função $f(x)=x^{2}-2x+\beta$ . Em seguida, faça o esboço de $f$ e da reta.

Exercício 6.8.

Considere o gráfico de $f(x)=\frac{1}{x}$ . Existe um ponto $P$ do gráfico de $f$ no qual a reta tangente ao gráfico passa pelo ponto $(0,3)$ ?

Exercício 6.9.

Determine o ponto $P$ do gráfico da função $f(x)=x^{3}-2x+1$ no qual a equação da tangente é $y=x+3$ .

6.2.1 Pontos de não-diferenciabilidade

A derivada nem sempre existe, por razões geométricas particulares: a reta tangente não é sempre bem definida. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 6.4.

Considere $f(x){:=}x^{1/3}$ , definida para todo $x\in\mathbb{R}$ (veja Seção 2.4.2). Para um $a\neq 0$ qualquer, calculemos (com a mudança $t=x^{1/3}$ )

f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}\frac{x^{1/3}-a^{1/3}}{x-a}=\lim_{t\to a^{1/3}}% \frac{t-a^{1/3}}{t^{3}-a}=\lim_{t\to a^{1/3}}\frac{1}{t^{2}+a^{1/3}t+a^{2/3}}=% \frac{1}{3a^{2/3}}\,.

Se $a=0$ , é preciso calcular:

f^{\prime}(0)=\lim_{x\to 0}\frac{x^{1/3}-0^{1/3}}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x% ^{2/3}}=+\infty\,.

De fato, a reta tangente ao gráfico em $(0,0)$ é vertical:

Assim, $x^{1/3}$ é derivável em qualquer $a\neq 0$ , mas não em $a=0$ .

Exemplo 6.5.

Considere agora $f(x)=|x|$ , também definida para todo $x\in\mathbb{R}$ . Se $a>0$ , então

f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}\frac{|x|-|a|}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{x-a}{x-a}=+1\,.

Por outro lado, se $a<0$ ,

f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}\frac{|x|-|a|}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{-x-(-a)}{x-a% }=-1\,.

Então $|x|$ é derivável em qualquer $a\neq 0$ . Mas observe que em $a=0$ ,

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{|x|-|0|}{x-0}=+1\,,\quad\quad\lim_{x\to 0^{-}}\frac{|x|% -|0|}{x-0}=-1\,.

Como os limites laterais não coincidem, o limite bilateral não existe, o que significa que $f(x)=|x|$ não é derivável (apesar de ser contínua) em $a=0$ . De fato, o gráfico mostra que na origem $(0,0)$ , a reta tangente não é bem definida:

Exercício 6.10.

Dê um exemplo de uma função contínua $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que seja derivável em qualquer ponto da reta, menos em $-1,0,1$ .

Apesar da função $|x|$ não ser derivável em $a=0$ , vimos que é possível “derivar pela esquerda ou pela direita”, usando limites laterais. Para uma função $f$ , as derivadas laterais em $a$ , $f^{\prime}_{+}(a)$ e $f^{\prime}_{-}(a)$ , são definidas pelos limites (quando eles existem)

f^{\prime}_{\pm}(a){:=}\lim_{x\to a^{\pm}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to 0^{% \pm}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\,.

(6.3)

6.2.2 Derivabilidade e continuidade

Vimos casos (como $|x|$ ou $x^{1/3}$ em $a=0$ ) em que uma função pode ser contínua num ponto sem ser derivável nesse ponto. Mas o contrário sempre vale:

Teorema 6.1.

Se $f$ é derivável em $a$ , então ela é contínua em $a$ .

Demonstração.

De fato, dizer que $f$ é derivável em $a$ implica que o limite $f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ existe e é finito. Logo,

	$\displaystyle\lim_{x\to a}(f(x)-f(a))$	$\displaystyle=\lim_{x\to a}\Bigl{\{}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)\Bigr{\}}$
		$\displaystyle=\Bigl{\{}\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\Bigr{\}}\cdot\{\lim_% {x\to a}(x-a)\}=0\,,$

o que implica $f(x)\to f(a)$ quando $x\to a$ . Isto é: $f$ é contínua em $a$ . ∎