6.9 Derivação implícita

Fixe um $x$ e considere o número $y$ solução da seguinte equação:

Por exemplo, se $x=1$, então $y=0$. Se $x=9$ então $y=2$. A cada $x$ escolhido corresponde um único $y$ que satisfaça a relação acima. Os pares $(x,y)$ definem uma curva $\gamma$ no plano. Essa curva é definida pela relação (6.20).

Quando $x$ varia, o $y$ correspondente varia também, logo $y$ é função de $x$: $y=f(x)$. Na verdade, $f$ pode ser obtida isolando $y$ em (6.20):

o que significa que $f(x)=\sqrt[3]{x-1}$. A relação (6.21) dá a relação explícita entre $x$ e $y$, enquanto em (6.20) a relação era só implícita. Com a relação explícita em mão, pode-se estudar mais propriedades da curva $\gamma$, usando por exemplo a derivada de $f$.

Considere agora a seguinte relação implícita

Não o faremos aqui, mas pode ser provado que a cada $x\in\mathbb{R}$ corresponde um único $y=f(x)$ que resolve a última equação. Ora, apesar disso permitir definir a função $f$ implicitamente, os seus valores são difíceis de se calcular explicitamente. Por exemplo, é fácil ver que $f(0)=0$, $f(\pm\pi)=\mp\pi$, etc., mas outros valores, como $f(1)$ ou $f(7)$ não podem ser escritos de maneira elementar. A dificuldade de conhecer os valores exatos de $f(x)$ é devida ao problema de isolar $y$ em (6.22).

Considere o círculo $\gamma$ de raio $5$ centrado na origem. Suponha, como no Exercício 6.5, que se queira calcular a inclinação da reta tangente a $\gamma$ no ponto $P=(3,-4)$. Na sua forma implícita, a equação de $\gamma$ é dada por

Para calcular a inclinação da reta tangente, é preciso ter uma função que represente o círculo na vizinhança de $P$, e em seguida calcular a sua derivada neste ponto. Neste caso, ao invés de (6.22), é possível isolar $y$ na equação do círculo. Lembrando que $P=(3,-4)$ pertence à metade inferior do círculo, obtemos $y=f(x)=-\sqrt{25-x^{2}}$. Logo, como a função é dada explicitamente, ela pode ser derivada, e a inclinação procurada é dada por

Essa inclinação foi obtida explicitamente, pois foi calculada a partir de uma expressão explícita para $f$.

Vamos apresentar agora um jeito de fazer que não passa pela determinação precisa da função $f$. De fato, suponha que a função que descreve o círculo na vizinhança de $P$ seja bem definida: $y=y(x)$ (ou $y=f(x)$). Já que o gráfico de $f$ passa por $P$, temos $y(3)=-4$. Mas também, como a função $y(x)$ representa o círculo numa vizinhança de $3$, ela satisfaz

(Estamos assumindo que a última expressão define $y(x)$, mas não a calculamos expliciamente.) Derivamos ambos lados dessa expressão com respeito a $x$: como $(x^{2})^{\prime}=2x$, $(y(x)^{2})^{\prime}=2y(x)y^{\prime}(x)$ (regra da cadeia) e $(25)^{\prime}=0$, obtemos

Isolando $y^{\prime}(x)$ obtemos

Assim, não conhecemos $y(x)$ explicitamente, somente implicitamente, mas já temos uma informação a respeito da sua derivada. Como o nosso objetivo é calcular a inclinação da reta tangente em $P$, precisamos calcular $y^{\prime}(3)$. Como $y(3)=-4$, a fórmula (6.24) dá:

Considere a curva $\gamma$ do plano definida pelo conjunto dos pontos $(x,y)$ que satisfazem à condição

Observe que o ponto $P=(1,\sqrt[3]{3})$ pertence a essa curva. Qual é a equação da reta tangente à curva em $P$?

Supondo que a curva pode ser descrita por uma função $y(x)$ na vizinança de $P$ e derivando (6.25) com respeito a $x$,

Logo, a inclinação da reta tangente em $P$ vale $-\frac{(1)^{2}}{(\sqrt[3]{3})^{2}}=-\tfrac{1}{\sqrt[3]{9}}$, e a sua equação é $y=-\tfrac{1}{\sqrt[3]{9}}x+\sqrt[3]{3}+\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$.