6.3 A derivada como função

Exemplo 6.6.

Será que existe um ponto $P$ da parábola $f(x)=x^{2}$ em que a reta tangente tem inclinação igual a $2975$ ?

O que sabemos fazer, até agora, é fixar um ponto, por exemplo $a=1$ , e calcular a inclinação da reta tangente à parábola no ponto $(1,f(1))$ , que é dada por $f^{\prime}(1)$ . Para responder à pergunta acima, poderíamos calcular a derivada em vários pontos da reta, um a um, até achar um em que a inclinação à igual a $2975$ .

Mas é mais fácil reformular a pergunta acima diretamente em termos da derivada: Será que existe um ponto $a$ em que

f^{\prime}(a)=2975\quad?

Para isto, é preciso ter a função $f^{\prime}(\cdot)$ , que associa a cada $a$ a inclinação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(a,f(a))$ . Logo, vamos supor que $a$ é um ponto fixo da reta, sem especificar o seu valor, e calcular

f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{x^{2}-a^{2% }}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{(x-a)(x+a)}{x-a}=\lim_{x\to a}(x+a)=2a\,.

Agora, a equação que precisamos resolver, $f^{\prime}(a)=2975$ , é simplesmente

2a=2975\,,\quad\Rightarrow\quad a=1487.5\,.

O ponto procurado é $P(1487.5,1487.5^{2})$ .

O exemplo acima mostrou a utilidade de ver a derivada como uma função $a\mapsto f^{\prime}(a)$ . Quando se fala em função, é mais natural a escrever usando a letra $x$ em vez da letra $a$ :

x\mapsto f^{\prime}(x)\,.

Assim, a derivada pode também ser vista como um jeito de definir, a partir de uma função $f$ , uma outra função $f^{\prime}$ , chamada derivada de $f$ , definida (quando o limite existe) por

\boxed{f^{\prime}(x){:=}\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,.}

Observe que nessa expressão, $h$ tende a zero enquanto $x$ é fixo.

Observação 6.3.

É importante mencionar que o domínio de $f^{\prime}$ é em geral menor que o de $f$ . Por exemplo, $|x|$ é bem definida para todo $x\in\mathbb{R}$ , mas vimos que a sua derivada é definida somente quando $x\neq 0$ .

Exercício 6.11.

Se $f$ é par (resp. ímpar), derivável, mostre que a sua derivada é ímpar (resp. par).

Exercício 6.12.

Se $f$ é derivável em $a$ , calcule o limite $\lim_{x\to a}\frac{af(x)-xf(a)}{x-a}$

Derivadas serão usadas extensivamente no resto do curso. Nas três próximas seções calcularemos as derivadas de algumas funções fundamentais. Em seguida provaremos as regras de derivação, que permitirão calcular a derivada de qualquer função a partir das derivadas das funções fundamentais. Em seguida comecaremos a usar derivadas na resolução de problemas concretos.

6.3.1 Derivar as potências inteiras: $x^{p}$

Mostraremos aqui que para as potências inteiras de $x$ , $x^{p}$ com $p\in\mathbb{Z}$ ,

\boxed{(x^{p})^{\prime}=px^{p-1}\,.}

(6.4)

O caso $p=2$ já foi tratado no Exemplo 6.3 e no Exercício 6.1:

(x^{2})^{\prime}=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{2xh% +h^{2}}{h}=\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x\,.

Na verdade, para $x^{n}$ com $n\in\mathbb{N}$ qualquer, já calculamos no Exercício 4.35:

(x^{n})^{\prime}=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=nx^{n-1}\,.

(6.5)

Por exemplo, $(x^{4})^{\prime}=4x^{3}$ , $(x^{17})^{\prime}=17x^{16}$ . Daremos uma prova alternativa da fórmula (6.4) no Exercício 6.17 abaixo.

Observação 6.4.

O caso $p=0$ corresponde a $x^{0}=1$ . Ora, a derivada de qualquer constante $C\in\mathbb{R}$ é zero (o seu gráfico corresponde a uma reta horizontal, portanto de inclinação $=0$ !):

\boxed{(C)^{\prime}=0\,.}

Para as potências negativas, $x^{-p}\equiv\frac{1}{x^{q}}$ obviamente não é derivável em $0$ , mas se $x\neq 0$ ,

\bigl{(}\tfrac{1}{x^{q}}\bigr{)}^{\prime}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{(x+h)^{q% }}-\frac{1}{x^{q}}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{-1}{(x+h)^{q}x^{q}}\frac{(x+h)^{q}-x% ^{q}}{h}=\frac{-1}{x^{q}x^{q}}qx^{q-1}=-qx^{-q-1}\,.

Isso prova (6.4) para qualquer $p\in\mathbb{Z}$ . Veremos adiante que (6.4) vale para qualquer $p$ , mesmo não inteiro. Por exemplo, $(x^{\sqrt{2}})^{\prime}=\sqrt{2}x^{\sqrt{2}-1}$ . Para alguns casos simples, uma conta explícita pode ser feita. Por exemplo, se $p=\pm\frac{1}{2}$ ,

Exercício 6.13.

Calcule $(\sqrt{x})^{\prime}$ , $(\frac{1}{\sqrt{x}})^{\prime}$ .

6.3.2 Derivar as funções trigonométricas

A derivada da função seno já foi calculada no Exercício 4.35. Por definição,

(\operatorname{sen})^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x+h)-% \operatorname{sen}x}{h}\,.

Usando a fórmula (1.25), $\operatorname{sen}(x+h)=\operatorname{sen}x\cos h+\operatorname{sen}h\cos x$ , obtemos

	$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}x}{h}$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}x\cos h+\operatorname{sen}h% \cos x-\operatorname{sen}x}{h}$
		$\displaystyle=\operatorname{sen}x\Bigl{\{}\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}\Bigr% {\}}+\cos x\Bigl{\{}\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}\Bigr{\}}\,.$

Ora, sabemos que $\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}=1$ , e que $\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=\lim_{h\to 0}h\frac{\cos h-1}{h^{2}}=0$ (lembre o item (5) do Exercício 4.19). Portanto, provamos que

\boxed{(\operatorname{sen})^{\prime}(x)=\cos x}\,.

(6.6)

Pode ser provado (ver o exercício abaixo) que

\boxed{(\cos)^{\prime}(x)=-\operatorname{sen}x\,.}

(6.7)

Para calcular a derivada da tangente, $\tan x=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}$ , precisaremos de uma regra de derivação que será provada na Seção 6.4; obteremos

\boxed{(\tan)^{\prime}(x)=1+\tan^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}\,.}

(6.8)

Exercício 6.14.

Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função $\operatorname{sen}x$ , nos pontos $P_{1}=(0,0)$ , $P_{2}=(\tfrac{\pi}{2},1)$ , $P_{3}=(\pi,0)$ . Confere no gráfico.

Exercício 6.15.

Prove (6.7).

6.3.3 Derivar exponenciais e logaritmos

Na Seção 4.7 calculamos

\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=1\,,\quad\quad\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1\,.

(6.9)

Lembre que esses limites seguem diretamente da definição do número $e$ , como o limite $e{:=}\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$ . Usaremos agora o primeiro desses limites para calcular a derivada de $e^{x}$ : para $x\in\mathbb{R}$ ,

(e^{x})^{\prime}{:=}\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^% {x}e^{h}-e^{x}}{h}=e^{x}\Bigl{\{}\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}\Big{\}}=e^{x}\,.

Portanto, está provado que a função exponencial é igual a sua derivada! Por outro lado, para derivar o logaritmo, observe que para todo $x>0$ , $\ln(x+h)-\ln(x)=\ln(\frac{x+h}{x})=\ln(1+\frac{h}{x})$ . Logo,

(\ln x)^{\prime}{:=}\lim_{h\to 0}\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{% \ln(1+\frac{h}{x})}{h}\,.

Chamando $\alpha{:=}\frac{h}{x}$ temos, usando (6.9),

(\ln x)^{\prime}=\tfrac{1}{x}\Bigl{\{}\lim_{\alpha\to 0}\frac{\ln(1+\alpha)}{% \alpha}\Bigr{\}}=\tfrac{1}{x}\,.

Calculamos assim duas derivadas fundamentais:

\boxed{(e^{x})^{\prime}=e^{x}\,,\quad\quad(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}\,.}

Observação 6.5.

A interpretação geométrica dos limites em (6.9) é a seguinte: a inclinação da reta tangente ao gráfico de $e^{x}$ no ponto $(0,1)$ e a inclinação da reta tangente ao gráfico de $\ln x$ no ponto $(1,0)$ ambas valem $1$ (lembre que o gráfico do logaritmo é a reflexão do gráfico da exponencial pela bisetriz do primeiro quadrante):

Uma olhada nos esboços das funções $a^{x}$ na página LABEL:Fig:graficosdifbases mostra que $e^{x}$ é a única com essa propriedade. Às vezes, livros definem “ $e$ ” como sendo a única base $a$ que satisfaz a essa propriedade: a inclinação da reta tangente a $a^{x}$ na origem é igual a $1$ .