6.5 O Teorema de Rolle

A seguinte afirmação geométrica é intuitiva: se $A$ e $B$ são dois pontos de mesma altura (isto é: com a mesma segunda coordenada) no gráfico de uma função diferenciável $f$ , então existe pelo menos um ponto $C$ no gráfico de $f$ , entre $A$ e $B$ , tal que a reta tangente ao gráfico em $C$ seja horizontal. Em outras palavras:

Teorema 6.2.

Seja $f$ uma função contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$ . Se $f(a)=f(b)$ , então existe $c\in(a,b)$ tal que

f^{\prime}(c)=0\,.

Exemplo 6.14.

Considere $f(x)=\operatorname{sen}x$ , e $a=0$ , $b=\pi$ . Então $f(a)=f(b)$ . Nesse caso, o ponto $c$ cuja existência é garantida pelo teorema é $c=\tfrac{\pi}{2}$ :

De fato, $f^{\prime}(x)=\cos x$ , logo $f^{\prime}(\tfrac{\pi}{2})=0$ .

Exercício 6.28.

Em cada um dos casos a seguir, mostre que a afirmação do Teorema de Rolle é verificada, achando explicitamente o ponto $c$ .

1.

$f(x)=x^{2}+x$ , $a=-2$ , $b=1$ .
2.

$f(x)=\cos x$ , $a=-\frac{3\pi}{2}$ , $b=\frac{3\pi}{2}$
3.

$f(x)=x^{4}+x$ , $a=-1$ , $b=0$ .

Como consequência do Teorema de Rolle,

Corolário 6.1.

Seja $f$ uma função contínua em $[a,b]$ , derivável em $(a,b)$ . Então existe $c\in(a,b)$ tal que

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)\,.

Demonstração.

Defina $\tilde{f}(x){:=}f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ . Então $\tilde{f}$ é diferenciável, e como $\tilde{f}(a)=\tilde{f}(b)=f(a)$ , pelo Teorema de Rolle existe um $c\in[a,b]$ tal que $\tilde{f}^{\prime}(c)=0$ . Mas como $\tilde{f}^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ , temos $f^{\prime}(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$ . ∎

Geometricamente, o Corolário 6.1 representa um Teorema do valor intermediário para a derivada: se $A{:=}(a,f(a))$ , $B{:=}(b,f(b))$ , o corolário afirma que existe um ponto $C$ no gráfico de $f$ , entre $A$ e $B$ , em que a inclinação da reta tangente em $C$ ( $f^{\prime}(c)$ ) é igual à inclinação do segmento $AB$ ( $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ).

Exemplo 6.15.

Considere por exemplo $f(x)=x^{2}$ no intervalo $[0,2]$ .

A construção geométrica de $C$ é clara: traçamos a reta paralela a $AB$ , tangente à parábola. Neste caso a posição do ponto $C=(c,f(c))$ pode ser calculada explicitamente: como $f^{\prime}(x)=2x$ , e como $c$ satisfaz $f^{\prime}(c)=\frac{2^{2}-0^{2}}{2-0}=2$ , temos $2c=2$ , isto é: $c=1$ .

Exercício 6.29.

Considere $f(x)=\operatorname{sen}x$ , com $a=-\tfrac{\pi}{2}$ , $b=\tfrac{\pi}{2}$ . Ache graficamente o ponto $C$ e em seguida, calcule-o usando uma calculadora.

Exercício 6.30.

Considere a função $f$ definida por $f(x)=\frac{x}{2}$ se $x\leq 2$ , $f(x)=x-1$ se $x>2$ , e $A=(0,f(0))$ , $B=(3,f(3))$ . Existe um ponto $C$ no gráfico de $f$ , entre $A$ e $B$ , tal que a reta tangente ao gráfico em $C$ seja paralela ao segmento $AB$ ? Explique.

Exercício 6.31.

Mostre que para todo par de pontos $x_{1},x_{2}$ , vale a seguinte desigualdade:

|\operatorname{sen}x_{2}-\operatorname{sen}x_{1}|\leq|x_{2}-x_{1}|\,.

(6.17)

Use esse fato para mostrar que $\operatorname{sen}x$ é uma função contínua. Faça a mesma coisa com $\cos x$ .