6.4 Regras de derivação

Antes de começar a usar derivadas, é necessário estabelecer algumas regras de derivação, que respondem essencialmente à seguinte pergunta: se $f$ e $g$ sáo deriváveis, $f^{\prime}$ e $g^{\prime}$ conhecidas, como calcular $(f+g)^{\prime}$ , $(f\cdot g)^{\prime}$ , $(\frac{f}{g})^{\prime}$ , $(f\circ g)^{\prime}$ ? Nesta seção, será sempre subentendido que as funções consideradas são deriváveis nos pontos considerados. Comecemos com o caso mais fácil:

Regra 1.

$\boxed{(\lambda f(x))^{\prime}=\lambda f^{\prime}(x)}$ para toda constante $\lambda\in\mathbb{R}$ .

Demonstração.

Usando a definição de $(\lambda f(x))^{\prime}$ e colocando $\lambda$ em evidência,

(\lambda f(x))^{\prime}{:=}\lim_{h\to 0}\frac{\lambda f(x+h)-\lambda f(x)}{h}=% \lambda\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\equiv\lambda f^{\prime}(x)\,.

∎

Por exemplo, $(2x^{5})^{\prime}=2(x^{5})^{\prime}=2\cdot 5x^{4}=10x^{4}$ .

Regra 2.

$\boxed{(f(x)+g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x).}$

Demonstração.

Aplicando a definição e rearranjando os termos,

	$\displaystyle(f(x)+g(x))^{\prime}$	$\displaystyle{:=}\lim_{h\to 0}\frac{\bigl{(}f(x+h)+g(x+h)\bigr{)}-\bigl{(}f(x)% +g(x)\bigr{)}}{h}$
		$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\Bigl{\{}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h% }\Bigr{\}}$
		$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x% )}{h}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\,.$

∎

Por exemplo, $(2x^{5}+\operatorname{sen}x)^{\prime}=(2x^{5})^{\prime}+(\operatorname{sen}x)^% {\prime}=10x^{4}+\cos x$ .

Regra 3.

$\boxed{(f(x)g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)}$ (Regra do produto de Leibniz).

Demonstração.

Por definição,

\displaystyle(f(x)g(x))^{\prime}

\displaystyle{:=}\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\,.

Para fazer aparecer as derivadas respectivas de $f$ e $g$ , escrevamos o quociente como

\displaystyle\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}={\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}g(x+h)+f(x% ){\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}

Quando $h\to 0$ , temos $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\to f^{\prime}(x)$ e $\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\to g^{\prime}(x)$ . Como $g$ é derivável em $x$ , ela é também contínua em $x$ (Teorema 6.1), logo $\lim_{h\to 0}g(x+h)=g(x)$ . Assim, quando $h\to 0$ , o quociente inteiro tende a $f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)$ . ∎

Por exemplo,

(x^{2}\operatorname{sen}x)^{\prime}=(x^{2})^{\prime}\operatorname{sen}x+x^{2}(% \operatorname{sen}x)^{\prime}=2x\operatorname{sen}x+x^{2}\cos x\,.

Exercício 6.16.

Dê contra-exemplos para mostrar que em geral, $(fg)^{\prime}\neq f^{\prime}g^{\prime}$ .

Exercício 6.17.

Mostre a fórmula $(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}$ usando indução e a regra de Leibniz. (Dica: $x^{n+1}=x\cdot x^{n}$ .)

Estudemos agora a derivação de funções compostas:

Regra 4.

$\boxed{(f(g(x)))^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)}$ (Regra da cadeia).

Demonstração.

Fixemos um ponto $x$ . Suporemos, para simplificar, que $g(x+h)-g(x)\neq 0$ para todo $h$ suficientemente pequeno ¹¹ 1 Sem essa hipótese, a prova precisa ser ligeiramente modificada.. Podemos escrever

	$\displaystyle(f(g(x)))^{\prime}$	$\displaystyle{:=}\lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}$
		$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}{\frac{g(x+h)-% g(x)}{h}}\,.$		(6.10)

Sabemos que o segundo termo $\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\to g^{\prime}(x)$ quando $h\to 0$ . Para o primeiro termo chamemos $a{:=}g(x)$ e $z{:=}g(x+h)$ . Quando $h\to 0$ , $z\to a$ , logo

\lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}=\lim_{z\to a}\frac{f(z)-f(a% )}{z-a}\equiv f^{\prime}(a)=f^{\prime}(g(x))\,.

∎

Para aplicar a regra da cadeia, é importante saber identificar quais são as funções envolvidas, e em qual ordem elas são aplicadas (lembre do Exercício 2.22).

Exemplo 6.7.

Suponha por exemplo que queira calcular a derivada da função $\operatorname{sen}(x^{2})$ , que é a composta de $f(x)=\operatorname{sen}x$ com $g(x)=x^{2}$ : $\operatorname{sen}(x^{2})=f(g(x))$ . Como $f^{\prime}(x)=\cos x$ e $g^{\prime}(x)=2x$ temos, pela regra da cadeia,

(\operatorname{sen}(x^{2}))^{\prime}=f(g(x))^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{% \prime}(x)=\cos(x^{2})\cdot(2x)=2x\cos(x^{2})\,.

Para calcular $e^{x^{2}}$ , que é a composta de $f(x)=e^{x}$ com $g(x)=x^{2}$ , e como $f^{\prime}(x)=e^{x}$ , temos

(e^{x^{2}})^{\prime}=e^{x^{2}}\cdot(x^{2})^{\prime}=2xe^{x^{2}}\,.

Exemplo 6.8.

Para calcular a derivada de $\frac{1}{\cos x}$ , que é a composta de $f(x)=\frac{1}{x}$ com $g(x)=\cos x$ , e como $f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}}$ , $g^{\prime}(x)=-\operatorname{sen}x$ , temos

(\tfrac{1}{\cos x})^{\prime}=-\frac{1}{(\cos x)^{2}}\cdot(-\operatorname{sen}x% )=\frac{\operatorname{sen}x}{(\cos x)^{2}}\,.

De modo geral, deixando $g(x)$ ser uma função qualquer, derivável e não-nula em $x$ ,

\Big{(}\frac{1}{g(x)}\Big{)}^{\prime}=-\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)^{2}}\,.

(6.11)

Regra 5.

$\boxed{\Bigl{(}\frac{f(x)}{g(x)}\Bigr{)}^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)% g^{\prime}(x)}{g(x)^{2}}}$ (Regra do quociente).

Demonstração.

Aplicando a Regra de Leibniz e (6.11),

\Big{(}\frac{f(x)}{g(x)}\Big{)}^{\prime}=\Big{(}f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}\Big{)}% ^{\prime}=f^{\prime}(x)\cdot\frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot\Big{(}-\frac{g^{\prime}(x% )}{g(x)^{2}}\Big{)}=\frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{g(x)^{2}}\,.

∎

Exemplo 6.9.

Usando a regra do quociente, podemos agora calcular:

(\tan x)^{\prime}=\Big{(}\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}\Big{)}^{\prime}=% \frac{(\operatorname{sen}x)^{\prime}\cos x-\operatorname{sen}x(\cos x)^{\prime% }}{\cos^{2}x}=\frac{\cos^{2}x+\operatorname{sen}^{2}x}{\cos^{2}x}

Essa última expressão pode ser escrita de dois jeitos:

\boxed{(\tan x)^{\prime}=\begin{cases}1+\tan^{2}x\,,\\ \text{ ou }\frac{1}{\cos^{2}x}\,.\ \end{cases}}

Exercício 6.18.

Use as regras de derivação para calcular as derivadas das seguintes funções. Quando for possível, simplifique a expressão obtida.

1.

$-5x$
2.

$x^{3}-x^{7}$
3.

$1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$
4.

$\frac{1}{1-x}$
5.

$x\operatorname{sen}x$
6.

$(x^{2}+1)\operatorname{sen}x\cos x$
7.

$\frac{\operatorname{sen}x}{x}$
8.

$\frac{x+1}{x^{2}-1}$
9.

$(x+1)^{5}$
10.

$\big{(}3+\frac{1}{x}\big{)}^{2}$
11.

$\sqrt{1-x^{2}}$
12.

$\operatorname{sen}^{3}x-\cos^{7}x$
13.

$\frac{1}{1-\cos x}$
14.

$\frac{1}{\cos(2x-1)}$
15.

$\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$
16.

$\frac{(x^{2}-1)^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}$
17.

$\frac{x}{x+\sqrt{9+x^{2}}}$
18.

$\sqrt{1+\sqrt{x}}$
19.

$\frac{x}{\cos x}$
20.

$\cos\sqrt{1+x^{2}}$
21.

$\operatorname{sen}(\operatorname{sen}x)$

Exercício 6.19.

Calcule a derivada da função dada.

1.

$2e^{-x}$
2.

$\ln(1+x)$
3.

$\ln(e^{3x})$
4.

$e^{x}\operatorname{sen}x$
5.

$e^{\operatorname{sen}x}$
6.

$e^{e^{x}}$
7.

$\ln(1+e^{2x})$
8.

$x\ln x$
9.

$e^{\frac{1}{x}}$
10.

$\ln(\cos x)$
11.

$\ln(\frac{1+\cos x}{\operatorname{sen}x})$

Exercício 6.20.

Verifique que as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas são dadas por

\boxed{(\operatorname{senh}x)^{\prime}=\cosh x\,,\quad(\cosh x)^{\prime}=% \operatorname{senh}x\,,\quad(\tanh x)^{\prime}=\begin{cases}1-\tanh^{2}x\,,\\ \text{ou }\frac{1}{\cosh^{2}x}\,.\end{cases}}

Às vezes, um limite pode ser calculado uma vez que interpretado como uma derivada.

Exemplo 6.10.

Considere o limite $\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}$ , que é indeterminado da forma $\frac{0}{0}$ . Como $\frac{\ln x}{x-1}=\frac{\ln x-\ln 1}{x-1}$ , vemos que o limite pode ser interpretado como a derivada da função $f(x)=\ln x$ no ponto $a=1$ :

\lim_{x\to 1}\frac{\ln x-\ln 1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\equiv f% ^{\prime}(1)\,.

Ora, como $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}$ , temos $f^{\prime}(1)=1$ . Isto é: $\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}=1$ .

Exercício 6.21.

Calcule os seguintes limites, interpretando-os como derivadas.

1.

$\lim_{x\to 1}\frac{x^{999}-1}{x-1}$
2.

$\lim_{x\to\pi}\frac{\cos x+1}{x-\pi}$
3.

$\lim_{x\to\pi}\frac{\operatorname{sen}(x^{2})-\operatorname{sen}(\pi^{2})}{x-\pi}$
4.

$\lim_{x\to 2}\frac{\ln x-\ln 2}{x-2}$
5.

$\lim_{t\to 0}\frac{e^{\lambda t}-1}{t}$

Exercício 6.22.

Considere as funções

f(x){:=}\begin{cases}x\operatorname{sen}\frac{1}{x}&\text{ se }x\neq 0\,,\\ 0&\text{ se }x=0\,,\end{cases}\quad\quad g(x){:=}\begin{cases}x^{2}% \operatorname{sen}\frac{1}{x}&\text{ se }x\neq 0\,,\\ 0&\text{ se }x=0\,.\end{cases}

Mostre que $g$ é derivável (logo, contínua) em todo $x\in\mathbb{R}$ . Mostre que $f$ é contínua em todo $x\in\mathbb{R}$ e derivável em todo $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , mas não é derivável em $x=0$ .

6.4.1 Derivar as potências $x^{\alpha}$ ; exponenciação

Definir uma potência $x^{p}$ para $p\in\mathbb{Z}$ é imediato. Por exemplo, $x^{3}{:=}x\cdot x\cdot x$ . Mas como definir $x^{\alpha}$ para uma potência não-inteira, por exemplo $x^{\sqrt{2}}=x^{1,414...}$ ?

Um jeito de fazer é de se lembrar que qualquer $x>0$ pode ser exponenciado: $x=e^{\ln x}$ . Como $(e^{\ln x})^{\alpha}=e^{\alpha\ln x}$ , é natural definir

\boxed{x^{\alpha}{:=}e^{\alpha\ln x}\,.}

(6.12)

Observe que com essa definição, as regras habituais são satisfeitas. Por exemplo, para qualquer $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ,

x^{\alpha}x^{\beta}=e^{\alpha\ln x}e^{\beta\ln x}=e^{\alpha\ln x+\beta\ln x}=e% ^{(\alpha+\beta)\ln x}=x^{\alpha+\beta}\,.

Mas a definição dada acima permite também derivar $x^{\alpha}$ , usando simplesmente a regra da cadeia:

(x^{\alpha})^{\prime}=(e^{\alpha\ln x})^{\prime}=(\alpha\ln x)^{\prime}e^{% \alpha\ln x}=\frac{\alpha}{x}x^{\alpha}=\alpha x^{\alpha-1}\,.

Assim foi provado que a fórmula $(x^{p})^{\prime}=px^{p-1}$ , inicialmente provada para $p\in\mathbb{Z}$ , vale também para expoentes não-inteiros.

O que foi usado acima é que se $g$ é derivável, então pela regra da cadeia,

(e^{g(x)})^{\prime}=e^{g(x)}g^{\prime}(x)\,.

(6.13)

Exemplo 6.11.

Considere uma exponencial numa base qualquer, $a^{x}$ , $a>0$ . Exponenciando a base $a=e^{\ln a}$ , temos $a^{x}=e^{x\ln a}$ . Logo,

\boxed{(a^{x})^{\prime}=(e^{x\ln a})^{\prime}=(x\ln a)^{\prime}e^{x\ln a}=(\ln a% )a^{x}\,.}

(6.14)

Essa expressão permite calcular as derivadas das funções da forma $f(x)^{g(x)}$ . De fato, se $f(x)$ , sempre podemos escrever $f(x)=e^{\ln f(x)}$ , transformando $f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}$ . Por exemplo,

Exemplo 6.12.

Considere $x^{x}$ , com $x>0$ . Escrevendo o $x$ (de baixo) como $x=e^{\ln x}$ , temos $x^{x}=(e^{\ln x})^{x}=e^{x\ln x}$ , logo

(x^{x})^{\prime}=(e^{x\ln x})^{\prime}=(x\ln x)^{\prime}e^{x\ln x}=(\ln x+1)x^% {x}\,.

Exercício 6.23.

Derive as seguintes funções (supondo sempre que $x>0$ ).

1.

$x^{\sqrt{x}}$
2.

$(\operatorname{sen}x)^{x}$
3.

$x^{\operatorname{sen}x}$
4.

$x^{x^{x}}$

6.4.2 Derivadas logarítmicas

Vimos que derivar uma soma é mais simples do que derivar um produto: a derivada da soma se calcula termo a termo, enquanto para derivar o produto, é necessário usar a regra de Leibniz repetitivamente. Ora, lembramos que o logaritmo transforma produtos em soma, e que esse fato pode ser usado para simplificar as contas que aparecem para derivar um produto.

Considere uma função $f$ definida como o produto de $n$ funções, que suporemos todas positivas e deriváveis:

f(x)=h_{1}(x)h_{2}(x)\dots h_{n}(x)\equiv\prod_{k=1}^{n}h_{k}(x)\,.

Para calcular $f^{\prime}(x)$ , calculemos primeiro

\ln f(x)=\ln h_{1}(x)+\ln h_{2}(x)+\dots+\ln h_{n}(x)\equiv\sum_{k=1}^{n}\ln h% _{k}(x)\,,

e derivamos ambos lados com respeito a $x$ . Do lado esquerdo, usando a regra da cadeia, $(\ln f(x))^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$ . Derivando termo a termo do lado direito, obtemos

	$\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$	$\displaystyle=(\ln h_{1}(x)+\ln h_{2}(x)+\dots+\ln h_{n}(x))^{\prime}$
		$\displaystyle=(\ln h_{1}(x))^{\prime}+(\ln h_{2}(x))^{\prime}+\dots+(\ln h_{n}% (x))^{\prime}$
		$\displaystyle=\frac{h_{1}^{\prime}(x)}{h_{1}(x)}+\frac{h_{2}^{\prime}(x)}{h_{2% }(x)}+\dots+\frac{h_{n}^{\prime}(x)}{h_{n}(x)}\,.$

Logo, obtemos uma fórmula

f^{\prime}(x)=f(x)\Bigl{(}\frac{h_{1}^{\prime}(x)}{h_{1}(x)}+\frac{h_{2}^{% \prime}(x)}{h_{2}(x)}+\dots+\frac{h_{n}^{\prime}(x)}{h_{n}(x)}\Bigr{)}

Exercício 6.24.

Derive, usando o método sugerido acima:

1.

$\frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(x+4)(x+5)(x+6)}$
2.

$\frac{x\operatorname{sen}^{3}x}{\sqrt{1+\cos^{2}x}}$
3.

$\prod_{k=1}^{n}(1+x^{k})$

6.4.3 Derivar uma função inversa

Sabemos que $(\operatorname{sen}x)^{\prime}=\cos x$ e $(a^{x})^{\prime}=(\ln a)a^{x}$ , mas como derivar as suas respectivas funções inversas, isto é, $(\operatorname{arcsen}x)^{\prime}$ e $(\log_{a}x)^{\prime}$ ?

Vimos que o inverso de uma função $f$ , quando é bem definido, satisfaz às relações:

\forall x,\quad(f(f^{-1}(x))=x\,.

Logo, derivando em ambos lados com respeito a $x$ , e usando a regra da cadeia do lado esquerdo,

f^{\prime}(f^{-1}(x))\cdot(f^{-1})^{\prime}(x)=1

Logo,

\boxed{(f^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))}\,.}

Exemplo 6.13.

Calculemos a derivada do $\operatorname{arcsen}x$ , que é por definição a inversa da função $f(x)=\operatorname{sen}x$ , e bem definida para $x\in[-1,1]$ . Como $f^{\prime}(x)=\cos x$ , a fórmula acima dá

(\operatorname{arcsen}x)^{\prime}=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))}=\frac{1}{% \cos(\operatorname{arcsen}x)}\,.

Usando a identidade provada no Exemplo 2.26: $\cos(\operatorname{arcsen}x)=\sqrt{1-x^{2}}$ , obtemos

\boxed{(\operatorname{arcsen}x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,.}

(6.15)

Observe que, como pode ser visto no gráfico da Seção 2.4.3, as retas tangentes ao gráfico de $\operatorname{arcsen}x$ são verticais nos pontos $x=\pm 1$ , o que se traduz pelo fato de $(\operatorname{arcsen}x)^{\prime}$ não existir nesses pontos.

Exercício 6.25.

Mostre que

\boxed{(\log_{a}x)^{\prime}=\frac{1}{(\ln a)x}\,,\quad\quad(\operatorname{% arcos}x)^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,,\quad\quad(\arctan x)^{\prime}=% \frac{1}{1+x^{2}}\,.}

(6.16)

Exercício 6.26.

Calcule as derivadas das funções abaixo.

1.

$\log_{a}(1-x^{2})$
2.

$\operatorname{arcsen}(1-x^{2})$
3.

$\arctan(\tan x)$ , $-\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{\pi}{2}$
4.

$\operatorname{arcsen}(\cos x)$ , $0<x<\tfrac{\pi}{2}$
5.

$\cos(\operatorname{arcsen}x)$ , $-1<x<1$

Exercício 6.27.

Seja $f(x)=\operatorname{arcos}(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}})$ . Mostre que a reta de equação $y=-\frac{3}{2}(x+\frac{1}{\sqrt{3}})+\frac{\pi}{3}$ é tangente ao gráfico de $f$ em algum ponto $P$ .

6.4 Regras de derivação

Regra 1.

Demonstração.

Regra 2.

Demonstração.

Regra 3.

Demonstração.

Exercício 6.16.

Exercício 6.17.

Regra 4.

Demonstração.

Exemplo 6.7.

Exemplo 6.8.

Regra 5.

Demonstração.

Exemplo 6.9.

Exercício 6.18.

Exercício 6.19.

Exercício 6.20.

Exemplo 6.10.

Exercício 6.21.

Exercício 6.22.

6.4.1 Derivar as potências xαx^{\alpha}; exponenciação

Exemplo 6.11.

Exemplo 6.12.

Exercício 6.23.

6.4.2 Derivadas logarítmicas

Exercício 6.24.

6.4.3 Derivar uma função inversa

Exemplo 6.13.

Exercício 6.25.

Exercício 6.26.

Exercício 6.27.

6.4.1 Derivar as potências $x^{\alpha}$ ; exponenciação