6.8 Linearização

A derivada fornece um jeito eficiente de aproximar funções. De fato, ao olhar localmente o gráfico de uma função $f$ derivável em torno de um ponto $P=(a,f(a))$ , vemos que este é quase indistinguível da sua reta tangente:

Tornemos essa observação mais quantitativa. A reta tangente tem inclinação dada pela derivada de $f$ em $a$ :

f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\,.

A existência do limite acima significa que quando $x$ fica suficientemente perto de $a$ , então o quociente $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ pode ser aproximado pelo número $f^{\prime}(a)$ , o que pode ser escrito informalmente

\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\simeq f^{\prime}(a)\,.

Rerranjando obtemos

f(x)\simeq\underbrace{f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)}_{\text{reta tangente em $P$}}\,.

(6.19)

Em função da variável $x$ , o lado direito dessa expressão representa a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(a,f(a))$ . Assim, (6.19) dá uma aproximação de $f(x)$ para $x$ numa vizinhança de $a$ ; a reta $y=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)$ é chamada linearização de $f$ em torno $a$ .

Exemplo 6.23.

Já vimos que a linearização de $f(x)=x^{2}$ em torno de $x=-1$ é dada por $f(x)\simeq-2x-1$ .

Exemplo 6.24.

Para seno e cosseno, temos (lembre do Exercício 6.14):

•

Em torno de $a=0$ : $\operatorname{sen}x\simeq x$ , $\cos x\simeq 1$ .
•

Em torno de $a=\tfrac{\pi}{2}$ : $\operatorname{sen}x\simeq 1$ , $\cos x\simeq-(x-\tfrac{\pi}{2})$ .
•

Em torno de $a=\pi$ : $\operatorname{sen}x\simeq-(x-\pi)$ , $\cos x\simeq-1$ .

Exercício 6.43.

Calcule a linearização de $f$ em torno de $a$ .

1.

$f(x)=e^{x}$ , $a=0,-1$ .
2.

$f(x)=\ln(1+x)$ , $a=0$ .
3.

$f(x)=\frac{x}{x-1}$ , $a=0$ .
4.

$f(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}}$ , $a=0$ .
5.

$f(x)=\operatorname{sen}x$ , $a=0,\tfrac{\pi}{2},\pi$ .
6.

$f(x)=\sqrt{1+x}$ , $a=0$ .

Linearização é usada em muitas situações práticas, com o intuito de simplificar a complexidade de uma função perto de um ponto. Ela pode também ser usada como um simples método de cálculo, como no seguinte exemplo.

Exemplo 6.25.

Como calcular $\sqrt{9.12}$ , sem calculadora? Observe que $\sqrt{9}=3$ , então o número procurado deve ser perto de $3$ . Se $f(x)=\sqrt{x}$ , temos $f(9)=3$ , e queremos $f(9.12)$ . Como $9.12$ é próximo de $9$ , façamos uma linearização de $f$ em o de $9$ : como $f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ , temos para $x\simeq 9$ :

f(x)\simeq f(9)+f^{\prime}(9)(x-9)=3+\tfrac{1}{6}(x-9)\,.

Logo, $f(9.12)\simeq 3.02$ . Esse número é uma aproximação boa do verdadeiro valor, que pode ser obtido com uma calculadora: $\sqrt{9.12}=3.019933...$

Exercício 6.44.

Dê um valor aproximado de $\sqrt{3.99}$ , $\ln(1.0123)$ , $\sqrt{101}$ .

Observação 6.7.

Em Cálculo II serão estudadas aproximações de uma função $f$ em torno de um ponto $a$ , que vão além da aproximação linear. Por exemplo, uma aproximação de $f$ de ordem dois é da forma:

f(x)\simeq f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\tfrac{1}{2}f^{\prime\prime}(a)(x-a)^{2}\,,

onde $f^{\prime\prime}(a)$ é a segunda derivada de $f$ em $a$ .