6.7 Velocidade, aceleração, taxa de variação

Sabemos que o sinal da derivada (quando ela existe) permite caracterizar o crescimento de uma função. Mais especificamente, a derivada deve ser entendida como taxa de variação. O exemplo mais importante do significado da derivada como taxa de variação é em mecânica, estudando o movimento de uma partícula.

Considere uma partícula que evolui na reta, durante um intervalo de tempo $[t_{1},t_{2}]$ . Suponha que a sua posição no tempo $t_{1}$ seja $x(t_{1})$ , que no tempo $t_{2}$ a sua posição seja $x(t_{2})$ , e que para $t\in[t_{1},t_{2}]$ , a posição seja dada por uma função $x(t)$ .

A função $t\mapsto x(t)$ , para $t\geq 0$ , representa a trajetória da partícula.

Uma informação útil pode ser extraida da trajetória, olhando somente para o deslocamento entre o ponto inicial e o ponto final: definimos a velocidade média ao longo de $[t_{1},t_{2}]$ ,

\overline{v}=\frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}\,.

A interpretação de $\overline{v}$ é a seguinte: se uma segunda partícula sair de $x(t_{1})$ no tempo $t_{1}$ , se movendo a velocidade constante $\overline{v}$ , então ela chegará em $x(t_{1})$ no tempo $t_{2}$ , junto com a primeira partícula. A trajetória dessa segunda partícula de velocidade constante $\overline{v}$ é representada pela linha pontilhada do desenho acima.

Mas a primeira partícula não anda necessariamente com uma velocidade constante. Podemos então perguntar: como calcular a sua velocidade instantânea num determinado instante $t_{1}<t<t_{2}$ ? Para isso, é necessário olhar as posições em dois instantes próximos. Se a partícula se encontra na posição $x(t)$ no tempo $t$ , então logo depois, no instante $t+\Delta t>t$ , ela se encontrará na posição $x(t+\Delta t)$ . Logo, a sua velocidade média no intervalo $[t,t+\Delta t]$ é dada por $\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$ . Calcular a velocidade instantânea significa calcular a velocidade média em intervalos de tempo $[t,t+\Delta t]$ infinitesimais:

v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}\equiv x^{\prime}(% t)\,,

isto é, a derivada de $x(t)$ com respeito a $t$ .

Vemos assim como a derivada aparece no estudo da cinemática: se $x(t)$ (em metros) é a posição da partícula no tempo $t$ (em segundos), então a sua velocidade instantânea neste instante é $v(t)=x^{\prime}(t)$ metros/segundo.

Observação 6.6.

Existe uma relação interessante entre velocidade instantânea e média. Como consequência do Teorema de Rolle (e o seu Corolário 6.1), se $x(t)$ for contínua e derivável num intervalo $[t_{1},t_{2}]$ , então deve existir um instante $t_{*}\in(t_{1},t_{2})$ tal que

\overline{v}=\frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=x^{\prime}(t_{*})=v(t_{*})\,.

Isso implica que ao longo da sua trajetória entre $t_{1}$ e $t_{2}$ , existe pelo menos um instante $t_{1}<t_{*}<t_{2}$ em que a velocidade instantânea é igual à velocidade média.

Exemplo 6.20.

Considere uma partícula cuja trajetória é dada por

x(t)=v_{0}t+x_{0}\,,\quad t\geq 0

(6.18)

em que $x_{0}$ e $v_{0}$ são constantes. Como $x(0)=x_{0}$ , $x_{0}$ é a posição inicial da partícula. A velocidade instantânea é dada por

x^{\prime}(t)=v_{0}\,,

o que significa que a partícula se move com uma velocidade constante $v_{0}$ ao longo da sua trajetória. Diz-se que apartícula segue um movimento retilíneo uniforme.

Observe que nesse caso, a velocidade média ao longo de um intervalo é igual à velocidade instantânea: $\overline{v}=v_{0}$ .

É natural considerar também a taxa de variação instantânea de velocidade, chamada aceleração:

a(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}\equiv v^{\prime}(% t)\,.

Por $a(t)$ ser a derivada da derivada de $x(t)$ , é a derivada segunda de $x$ com respeito a $t$ , denotada: $a(t)=x^{\prime\prime}(t)$ .

No exemplo anterior, em que uma partícula se movia com velocidade constante $v_{0}$ , a aceleração é igual a zero:

x^{\prime\prime}(t)=(v_{0}t+x_{0})^{\prime\prime}=(v_{0})^{\prime}=0\,.

Exemplo 6.21.

Uma partícula que sai da origem no tempo $t=0$ com uma velocidade inicial $v_{0}>0$ e evolui sob o efeito de uma força constante $-F<0$ (tende a freiar a partícula) tem uma trajetória dada por

x(t)=-\frac{F}{2m}t^{2}+v_{0}t+x_{0}\,,\quad t\geq 0\,,

onde $m$ é a massa da partícula. Então a velocidade não é mais constante, e decresce com $t$ :

v(t)=x^{\prime}(t)=-\frac{F}{m}t+v_{0}\,.

A aceleração, por sua vez, é constante:

a(t)=v^{\prime}(t)=-\frac{F}{m}\,.

Exercício 6.33.

Considere uma partícula cuja trajetória é dada por:

Descreva qualitativamente a evolução da partícula em cada um dos intervalos $[0,t_{1}]$ , $[t_{2},t_{3}]$ , etc., em termos de velocidade instantânea e aceleração.

Exercício 6.34.

Considere uma partícula se movendo ao longo da trajetória $x(t)=\frac{t^{2}}{2}-t$ (medida em metros), $t\geq 0$ . Calcule a velocidade instântânea nos instantes $t_{0}=0$ , $t_{1}=1$ , $t_{2}=2$ , $t_{3}=10$ . O que acontece com a velocidade instantânea $v(t)$ quando $t\to\infty$ ? Descreva o que seria visto por um observador imóvel posicionado em $x=0$ , olhando para a partícula, em particular nos instantes $t_{0},\dots,t_{3}$ . Calcule a aceleração $a(t)$ .

Exercício 6.35.

O movimento oscilatório genérico é descrito por uma trajetória do tipo

x(t)=A\operatorname{sen}(\omega t)\,,

em que $A$ é a amplitude máxima e $\omega$ uma velocidade angular. Estude $x(t)$ , $v(t)$ e $a(t)$ . Em particular, estude os instantes em que $v(t)$ e $a(t)$ são nulos ou atingem os seus valores extremos, e onde que a partícula se encontra nesses instantes.

Na prática, a derivada deve sempre ser interpretada como taxa de variação. Considere alguma quantidade $N(t)$ , por exemplo o número de indivíduos numa população, que depende de um parâmetro $t\geq 0$ que interpretaremos aqui como o tempo. A taxa de variação instantânea de $N(t)$ é definida medindo de quanto que $N(t)$ cresce entre dois instantes consecutivos, arbitrariamente próximos:

\text{Taxa de varia\c{c}\~{a}o de $N$ no instante }t=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{N(t+\Delta t)-N(t)}{\Delta t}\equiv N^{% \prime}(t)\,.

Exercício 6.36.

Calcula-se que, daqui a $t$ meses, a população de uma certa comunidade será de $P(t)=t^{2}+20t+8000$ habitantes.

1.

Qual é a taxa de variação da população da comunidade hoje?
2.

Qual será a taxa de variação da população desta comunidade daqui a 15 meses ?
3.

Qual será a variação real da população durante o $16^{o}$ mês?

6.7.1 Taxas relacionadas

Em vários problemas, uma quantidade $X$ depende de uma quantidade $Y$ : $X=f(Y)$ . Ora, se $Y$ por sua vez depende de um parâmetro por exemplo o tempo $t$ , então $X$ depende de $t$ também: $X(t)=f(Y(t))$ . A taxa de variação de $X$ com respeito a $t$ pode ser obtida usando a regra da cadeia:

X^{\prime}(t)=f^{\prime}(Y(t))Y^{\prime}(t)\,.

Essa expressão mostra como as taxas de variação de $X(t)$ e $Y(t)$ , isto é $X^{\prime}(t)$ e $Y^{\prime})(t)$ , são relacionadas.

Exemplo 6.22.

Considere um quadrado de comprimento linear $L$ , medido em metros. Outras quantidades associadas ao quadrado podem ser expressas em função de $L$ . Por exemplo, o comprimento da sua diagonal, o seu perímetro (ambos em metros), e a sua área (em metros quadrados):

D=\sqrt{2}L\,,\quad P=4L\,,\quad A=L^{2}\,.

Suponha agora que $L$ depende do tempo: $L=L(t)$ ( $t$ é medido em segundos). Então $D$ , $P$ e $A$ também dependem do tempo

D(t)=\sqrt{2}L(t)\,,\quad P(t)=4L(t)\,,\quad A(t)=L(t)^{2}\,,

e como a taxa de variação de $L(t)$ é $L^{\prime}(t)$ metros/segundo, as taxas de variação de $D$ , $P$ e $A$ são obtidas derivando com respeito a $t$ :

D^{\prime}(t)=\sqrt{2}L^{\prime}(t)\,,\quad P^{\prime}(t)=4L^{\prime}(t)\,,% \quad A^{\prime}(t)=2L(t)L^{\prime}(t)\,.

(Para $A^{\prime}(t)$ usamos a regra da cadeia.) Suponhamos, por exemplo, que o quadrado se expande de modo tal que o seu lado cresça a razão constante de $6$ $m/s$ , isto é: $L^{\prime}(t)=6$ . Logo,

D^{\prime}(t)=6\sqrt{2}\,,\quad P^{\prime}(t)=24\,,\quad A^{\prime}(t)=12L(t)\,.

Isto é, a diagonal e o perímetro crescem com uma taxa constante, mas a taxa de variação da área depende do tamanho do quadrado: quanto maior o quadrado, maior a taxa $A^{\prime}(t)$ . Por exemplo, no instante $t_{1}$ em que $L(t_{1})=1$ , $A^{\prime}(t_{1})=12$ $m^{2}/s$ , e no instante $t_{2}$ em que $L(t_{2})=10$ , $A^{\prime}(t_{2})=120$ $m^{2}/s$ .

Exercício 6.37.

Os lados de um cubo crescem a uma taxa de $0.5$ metros por segundo. Determine a taxa de variação do volume do cubo no instante em que os lados medem 1) $10$ metro 2) $20$ metros.

Exercício 6.38.

(Segunda prova, 27 de maio de 2011) Um balão esférico se enche de ar a uma taxa de $2$ metros cúbicos por segundo. Calcule a taxa com a qual o raio do balão cresce no instante em que o seu volume atingiu $\frac{4\pi}{3}$ metros cúbicos.

Exercício 6.39.

Uma vassoura de $2$ metros está apoiada numa parede. Seja $I$ seu ponto de contato com o chão, $S$ seu ponto de contato com a parede. A vassoura começa a escorregar, $I$ se afastando da parede a uma velocidade de $0.8\,m/s$ . 1) Com qual velocidade $S$ se aproxima do chão no instante em que $I$ está a $1\,m$ da parede? 2) O que acontece com a velocidade de $S$ quando a distância de $I$ à parede se aproxima de $2$ ?

Exercício 6.40.

Um laser em rotação ( $0.5$ rad/s.) está a $10$ metros de uma parede reta. Seja $P$ a posição da marca do laser na parede, $A$ o ponto da parede mais perto do laser. Calcule a velocidade do ponto $P$ no instante em que $P$ está 1) em $A$ 2) a $10$ metros de $A$ , 3) a $100$ metros de $A$ .

Exercício 6.41.

Um balão cheio de hidrogênio é soltado, e sobe verticalmente a uma velocidade de $5m/s$ . Um observador está a $50m$ do ponto de onde o balão foi largado. calcule a taxa de variação do ângulo sob o qual o observador vê o balão subir, no instante em que este se encontra a 1) $30$ metros de altura, 2) $1000$ metros de altura.

Exercício 6.42.

A pressão $P$ de um gás ideal de temperatura fixa $T$ contido num container de volume $V$ satisfaz à equação $PV=nkT$ , em que $n$ e $k$ são constantes (que dependem do gás). Suponha que, mantendo $T$ fixo, o gás tenha um volume inicial de $V_{1}$ , e que ele comece a diminuir com uma taxa de $0.01$ $m^{3}/s$ . Calcule a taxa de variação da pressão no instante em que o volume vale $V_{0}<V_{1}$ .