2.2 Gráfico

Um dos nossos objetivos é de entender, pelo menos de maneira qualitativa, a dependência de uma função $f(x)$ em relação à sua variável $x$ . Uma jeito de proceder é representar a função no plano cartesiano, via o seu gráfico. O gráfico permite extrair a informação essencial contida na função, de maneira intuitiva, pois geométrica.

Seja $f$ uma função com domínio $D$ . Esboçar o gráfico de $f$ consiste em traçar todos os pontos do plano cartesiano da forma $(x,f(x))$ , onde $x\in D$ . Por exemplo, se $f$ tem um domínio $D=[a,b]$ ,

Ao $x$ percorrer o seu domínio $[a,b]$ , o ponto $(x,f(x))$ traça o gráfico de $f$ .

Exemplo 2.8.

Retas não-verticais são gráficos de um tipo particular. Por exemplo, se $f(x)=\tfrac{x}{2}+1$ é considerada com o domínio $D=[0,2)$ , o seu gráfico é um pedaço da reta de inclinação $\tfrac{1}{2}$ com ordenada na origem igual a $1$ :

Observe que uma reta vertical não define o gráfico de uma função.

Exemplo 2.9.

Façamos o esboço da função $f(x)=|x|$ , com domínio $D=[-1,2]$ . Lembre que pela definição de valor absoluto em (1.11), $|x|=x$ se $x\geq 0$ , e $|x|=-x$ se $x<0$ . Portanto, o gráfico de $f$ é: 1) entre $-1$ e $0$ , a reta de inclinação $-1$ passando pela origem, 2) entre $0$ e $2$ , a reta de inclinação $1$ passando pela origem:

Os dois gráficos acima eram compostos essencialmente de retas. Vejamos agora um exemplo um pouco diferente.

Exemplo 2.10.

Considere $f(x)=x^{2}$ com $D=[-2,2]$ . Como esboçar o gráfico? Por exemplo, os pontos $(0,f(0))=(0,0)$ , $(1,f(1))=(1,1)$ , e $(-\frac{1}{2},f(-\frac{1}{2}))=(-\frac{1}{2},\tfrac{1}{4})$ pertecem ao gráfico. Traçando o gráfico completo:

A curva obtida, chamada parábola, será usada inúmeras vezes nesse curso.

Observação 2.1.

Um dos objetivos desse curso é de poder entender as principais propriedades de uma função pelo estudo do seu gráfico. A noção de derivada (ver Capítulo 6) será de importância central nesse desenvolvimento.

No entanto, o gráfico da função $x^{2}$ acima foi feito com um computador. Primeiro, o computador escolhe pontos entre $-2$ e $+2$ , digamos $-2<x_{1}<\dots<x_{n}<2$ , e calcula as posições $(x_{j},f(x_{j}))$ . Em seguida, ele traça a linha poligonal formada pelos segmentos ligando $(x_{j},f(x_{j}))$ a $(x_{j+1},f(x_{j+1}))$ . Esse procedimento é chamado interpolação. Por exemplo, escolhendo $n=3$ , $5$ ou $9$ pontos no intervalo $[-2,2]$ :

Quando o número de pontos escolhidos é grande e $|x_{j+1}-x_{j}|$ é pequeno, a linha poligonal dá uma idéia do que deve ser o verdadeiro esboço (o gráfico do Exemplo 2.10 foi feito com $n=50$ , e já não dá mais para perceber que a curva é na verdade uma linha poligonal). O mesmo método permite (em princípio, tomando às vezes um certo cuidado) usar o computador para esboçar o gráfico de qualquer função $f:D\mapsto\mathbb{R}$ . Todos os gráficos dessa apostila foram feitos com esse método de interpolação. Enfatizemos que as ferramentas matemáticas desenvolvidas mais longe no curso permitirão extrair informações a respeito do gráfico de uma função dada, sem usar o computador. Isso será o objetivo do estudo de funções. Lá, o computador poderá ser usado somente como meio de verificação.

Um problema inverso é de procurar uma função cujo esboço tenha características específicas.

Exemplo 2.11.

Procuremos agora a função cujo gráfico é a metade superior do círculo de raio $R=4$ centrado na origem:

Lembre (Seção 1.2.2) que o círculo completo de raio $4$ centrado na origem, $\gamma$ , é formado pelos pontos $(x,y)$ tais que $x^{2}+y^{2}=16$ . A função procurada será obtida isolando $y$ nessa última relação. Para $y^{2}=16-x^{2}$ ter soluções (aqui, $y$ é a incógnita), é preciso impor que $16-x^{2}\geq 0$ , o que implica $-4\leq x\leq 4$ . Assim, o domínio da função procurada é $D=[-4,4]$ (como podia se adivinhar olhando para a figura acima). Assim, quando $x\in D$ , a equação acima possui duas soluções $y=+\sqrt{16-x^{2}}$ e $y=-\sqrt{16-x^{2}}$ . Para selecionar o semi-círculo superior, escolhamos a solução positiva. Portanto, a função cujo gráfico é dado pelo semi-círculo acima é:

	$\displaystyle f:[-4,4]$	$\displaystyle\to\mathbb{R}$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto\sqrt{16-x^{2}}\,.$

Exemplo 2.12.

Como a função “valor absoluto”, funções podem ser definidas por trechos. Por exemplo, com $D=[-1,1)$ , o gráfico da função

\displaystyle f(x)=\begin{cases}-x&\text{ se }-1\leq x<0\,,\\ \sqrt{1-x^{2}}&\text{ se }0\leq x<1\,,\end{cases}

é formado pela reta de inclinação $m=-1$ que passa pela origem entre $x=-1$ e $x=0$ , e pela parte do semi-círculo de raio $1$ centrado na origem entre $x=0$ e $x=1$ :

Observe que essa função possui uma descontinuidade em $x=0$ : ao variar $x$ entre pequenos valores $x<0$ e pequenos valores $x>0$ , $f(x)$ pula de valores perto de zero para valores perto de $1$ .

Exercício 2.3.

Dê uma função (e o seu domínio) cujo gráfico seja:

1.

a reta horizontal que passa pelo ponto $(-21,-1)$
2.

a parte inferior do círculo de raio $9$ centrado em $(5,-4)$
3.

a parte do círculo de raio $5$ centrado na origem que fica estritamente acima da reta de equação $y=3$
4.

a parte do círculo de raio $5$ centrado na origem contida no quarto quadrante

Exercício 2.4.

Esboce os gráficos das seguintes funções (todas com $D=\mathbb{R}$ ):

1.

$f(x)=1$ se $x\leq 1$ , $f(x)=x^{2}$ caso contrário,
2.

$g(x)=-|x-1|$ ,
3.

$h(x)=\lfloor x\rfloor$ ,
4.

$i(x)=x-\lfloor x\rfloor$ ,
5.

$j(x)=||x|-1|$ .

Exercício 2.5.

Determine quais curvas abaixo são (ou não são) gráficos de funções. Quando for um gráfico, dê a função associada.

2.2.1 Potências inteiras: $x^{p}$

Já esboçamos o gráfico da função $f(x)=x^{2}$ no Exemplo 2.10. Vejamos agora o caso mais geral de uma potência $f(x)=x^{p}$ , onde $p\in\mathbb{Z}$ (excluiremos o caso $p=0$ , que corresponde a $f(x)=1$ ).

Potências positivas

Para potências positivas inteiras, $p>0$ , temos $x^{p}=x\cdot x\cdots x$ ( $p$ vezes), logo o domínio de $x^{p}$ é sempre $D=\mathbb{R}$ . Quando $p$ é positiva e par, isto é, $p\in\{2,4,6,\dots\}$ , então $x^{p}\geq 0$ para todo $x$ , e os gráficos são da forma:

Observe que todos os gráficos passam pela origem e pelos pontos $(-1,1)$ e $(1,1)$ , e que as funções correspondentes não são limitadas superiormente: tomam valores arbitrariamente grandes longe da origem (no entanto, todas são limitadas inferiormente por $M_{-}=0$ ). Vemos também que quanto maior o $p$ , mais rápido $x^{p}$ cresce quando $x$ cresce.

Quando a potência $p$ é positiva e ímpar, isto é, $p\in\{1,3,5,\dots\}$ , então há uma mudança de sinal: $x^{p}\geq 0$ para $x\geq 0$ , $x^{p}\leq 0$ para $x\leq 0$ . Os gráficos são da forma:

Observe que nenhuma dessas funções é limitada em $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ , nem inferiormente nem superiormente.

Potências negativas

A potência negativa $p={-1}$ já foi encontrada no Exemplo 2.2. Se $p<0$ , escreveremos $p=-q$ com $q>0$ . Assim, $x^{p}=\tfrac{1}{x^{q}}$ , que não é definida em $x=0$ :

	$\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{0\}$	$\displaystyle\to\mathbb{R}$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto\tfrac{1}{x^{q}}$

Quando a potência $q$ é par, isto é, $q\in\{2,4,6,\dots\}$ , então $\tfrac{1}{x^{q}}\geq 0$ para todo $x\neq 0$ , e os gráficos são da forma:

Observe que para cada uma dessas funções, ao $x$ se aproximar de $0$ , $f(x)$ cresce e toma valores arbitrariamente grandes: é não-limitada. Diremos (mais tarde) que há uma assíntota vertical em $x=0$ . Também, quando $x$ toma valores grandes, $f(x)$ decresce e toma valores arbitrariamente pertos de zero. Diremos (mais tarde) que a função tende a zero no infinito, e que a reta horizontal $y=0$ é assíntota horizontal.

Quando a potência é ímpar, a mesma mudança de sinal acontece, e os gráficos têm propriedades parecidas:

2.2.2 Paridade

Observemos algumas simetrias nos gráficos das funções $x^{p}$ da seção anterior. Primeiro, para os valores de $p$ pares, o gráfico de $x^{p}$ é simétrico com respeito ao eixo $y$ , o que segue do seguinte fato: $(-x)^{p}=x^{p}$ . Por outro lado, para os valores de $p$ ímpares, o gráfico de $x^{p}$ é simétrico com respeito à origem (por uma rotação de $180^{o}$ ), o que segue do fato seguinte: $(-x)^{p}=-x^{p}$ .

Esses fatos levam a introduzir duas noções gerais. Por um lado, diremos que

\boxed{\text{$f$ \'{e} {par} se }f(-x)=f(x)\,,\quad\forall x\text{ do seu dom\'{\i}nio.}}

Por outro lado,

\boxed{\text{$f$ \'{e} {impar} se }f(-x)=-f(x)\,,\quad\forall x\text{ do seu dom\'{\i}nio.}}

Exemplo 2.13.

A função $f(x)=\frac{x^{2}}{1-x^{4}}$ é par. De fato, como as potências envolvidas são pares, $(-x)^{2}=x^{2}$ , $(-x)^{4}=x^{4}$ , assim:

f(-x)=\frac{(-x)^{2}}{1-(-x)^{4}}=\frac{x^{2}}{1-x^{4}}=f(x)\,.

Exemplo 2.14.

Considere $g(x)=\frac{x^{2}}{\operatorname{sen}(x)}$ . Vimos que o seno é uma função ímpar: $\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}x$ . Como consequência, a função $g$ é ímpar, já que

g(-x)=\frac{(-x)^{2}}{\operatorname{sen}(-x)}=\frac{x^{2}}{-\operatorname{sen}% x}=-\frac{x^{2}}{\operatorname{sen}x}=-g(x)\,.

Mas uma função, em geral, não precisa ser par ou ímpar. Para mostrar que uma função $f$ não é par, basta achar um ponto $x$ em que $f(-x)\neq f(x)$ . Do mesmo jeito, para mostrar que $f$ não é ímpar, basta achar um ponto em que $f(-x)\neq-f(x)$ .

Exemplo 2.15.

Mostremos que $f(x)=x+1$ não é par. De fato, olhando para o ponto $x=-1$ , temos $f(-1)=0$ , e $f(1)=2$ . Logo, $f(-1)\neq f(1)$ . Mas como $f(-1)\neq-f(1)$ , $f$ também não é ímpar.

Exercício 2.6.

Determine quais das funções $f$ abaixo são pares ou ímpares (justificando a sua resposta). Quando não for nem par nem ímpar, dê um contra-exemplo.

1.

$\tfrac{x}{x^{3}-x^{5}}$
2.

$\sqrt{1-x^{2}}$
3.

$x^{2}\operatorname{sen}x$
4.

$\operatorname{sen}(\cos x)$
5.

$\operatorname{sen}(\operatorname{sen}x)$
6.

$\operatorname{sen}^{2}x-\cos x$
7.

$\operatorname{sen}x+\cos x$
8.

$\sqrt{x^{2}}-|x|$

2.2.3 Crescimento e decrescimento

O que mais nos interessará, no estudo de uma função $f$ dada, será distinguir as regiões em que ela cresce/decresce:

Definição 2.1.

Seja $I$ um intervalo. Uma função $f$ é

•

crescente em $I$ se $f(x)\leq f(x^{\prime})$ para todo $x,x^{\prime}\in I$ , $x<x^{\prime}$ .
•

estritamente crescente em $I$ se $f(x)<f(x^{\prime})$ para todo $x,x^{\prime}\in I$ , $x<x^{\prime}$ .
•

decrescente em $I$ se $f(x)\geq f(x^{\prime})$ para todo $x,x^{\prime}\in I$ , $x<x^{\prime}$ .
•

estritamente decrescente em $I$ se $f(x)>f(x^{\prime})$ para todo $x,x^{\prime}\in I$ , $x<x^{\prime}$ .

Por exemplo, o gráfico de uma função estritamente crescente:

Pela definição acima, uma função constante é ao mesmo tempo crescente e decrescente.

Estudar a variação de uma função $f$ será entendido como procurar os intervalos em que $f$ cresce ou decresce.

Exercício 2.7.

Estude a variação das funções abaixo.

1.

$x$
2.

$|x|$
3.

$x^{2}$
4.

$x^{3}$
5.

$\frac{1}{x}$
6.

$\frac{1}{x^{2}}$
7.

$x-x^{2}$
8.

$||x|-1|$

Mais tarde introduziremos uma ferramenta fundamental (a derivada) para o estudo da variação.

2.2.4 Funções Trigonométricas

Começemos com o gráfico de $\operatorname{sen}x$ , para $x\in[0,2\pi]$ :

Se o seno for considerado na reta real toda, obtemos:

Observemos que esse gráfico é simétrico em torno da origem (por uma rotação de $\pi$ ), o que reflete o fato do seno ser uma função ímpar. Vemos também que $\operatorname{sen}$ é periódica, de período $2\pi$ :

\boxed{\operatorname{sen}(x+2\pi)=\operatorname{sen}x\,,\quad\forall x\in% \mathbb{R}\,.}

Geometricamente: o gráfico completo (para $x\in\mathbb{R}$ ) é obtido usando translações do gráfico da figura anterior (hachurado, feito para $x\in[0,2\pi]$ ). Essa propriedade pode ser provada analiticamente, usando (1.21): $\operatorname{sen}(x+2\pi)=\operatorname{sen}(\pi+(x+\pi))=-\operatorname{sen}% (x+\pi)=\operatorname{sen}x$ .

Considerações análogas se aplicam ao cosseno:

Quando considerado na reta real, o cosseno é par, e também tem período $2\pi$ :

O esboço da função tangente é um pouco mais delicado. Como foi visto no início do capítulo, $\tan x=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}$ é bem definida somente se $x$ é diferente de $\tfrac{\pi}{2}\pm k\pi$ . Isso implica a presença de assíntotas verticais no gráfico:

Quando considerado na reta real,

Observemos que o período da tangente é $\pi$ (e não $2\pi$ !), como foi visto em (1.21):

\boxed{\tan(x+\pi)=\tan x\,,\quad\forall x\in\mathbb{R}\,.}

2.2.5 Transformações

O gráfico de uma função $f$ permite obter os gráficos de outras funções, via transformações elementares. Para simplificar, nesta seção consideraremos somente funções cujo domínio é a reta toda.

Exemplo 2.16.

Considere o gráfico da função $f(x)=x^{2}$ , a parábola do Exemplo 2.10. Qual é a função ${g}$ cujo gráfico é o gráfico de $f$ transladado de $3$ unidades para a direita?

Vemos que o valor tomado por ${{g}}$ em $\tilde{x}=x+3$ deve ser o mesmo que o valor tomado por $f$ em $x$ : ${{g}}(\tilde{x})=f(x)$ . Como $x=\tilde{x}-3$ , ${{g}}(\tilde{x})=f(\tilde{x}-3)$ . Logo, a função procurada é ${{g}}(x)=(x-3)^{2}$ .

De modo geral, suponha $f(x)$ definida para todo $x$ , e $a\neq 0$ um número fixo. Defina a função $g$ por

g(x){:=}f(x-a)\,.

Então o gráfico de $g$ é obtido transladando horizontalmente o gráfico de $f$ de $a$ unidades. Apesar do sinal “ $-$ ”, a translação é para a direita se $a>0$ , e para a esquerda se $a<0$ .

Por outro lado, se $b\in\mathbb{R}$ ,

h(x){:=}f(x)+b\,

é uma função cujo gráfico é o gráfico de $f$ transladado verticalmente de $b$ unidades. A translação é para cima se $b>0$ , para baixo se $b<0$ .

Exemplo 2.17.

Esbocemos o gráfico da função $f(x)=x^{2}+2x$ . Completando o quadrado, $f(x)=(x+1)^{2}-1$ . Portanto, o gráfico de $f$ é obtido a partir da parábola $x^{2}$ pela composição de uma translação horizontal de uma unidade para a esquerda, e em seguida uma translação vertical de uma unidade para baixo:

É claro que o gráfico de $g(x){:=}-f(x)$ é obtido fazendo a reflexão do gráfico em relação ao eixo $x$ , e que o gráfico de $h(x){:=}f(-x)$ é obtido fazendo a reflexão do gráfico em relação ao eixo $y$ . Portanto, se $f$ é par, $h$ e $f$ têm o mesmo gráfico.

Exercício 2.8.

Considere uma função $f$ definida na reta toda, e a reta vertical $r:$ $x=a$ . Dê a função $g$ cujo gráfico é obtido pelo gráfico de $f$ por reflexão em relação à reta $r$ . Faça a mesma coisa com uma reta horizontal.

Finalmente, estudemos o que acontece com $g(x){:=}|f(x)|$ . Sabemos que o gráfico de $g$ é o mesmo que o de $f$ em todos os pontos $x$ onde $f(x)\geq 0$ . Por outro lado, quando $f(x)<0$ , então $g(x)=-f(x)$ , isto é, o gráfico de $g$ em $x$ é o de $f$ refletido em relação ao eixo $x$ . Em outras palavras: o gráfico de $|f|$ é obtido refletindo todas as partes do gráfico de $f$ negativas, tornando-as positivas.

Exemplo 2.18.

Como $x^{2}-1$ é a parábola transladada de uma unidade para baixo, o gráfico de $|x^{2}-1|$ é dado por:

Exercício 2.9.

Interprete todas as identidades trigonométricas do Exercício 1.23 como tranformações dos gráficos de $\operatorname{sen}$ , $\cos$ e $\tan$ .

Exercício 2.10.

Esboce os gráficos das seguintes funções:

1.

$f(x)=1-|\operatorname{sen}x|$
2.

$g(x)=x+1-x^{2}$
3.

$h(x)=||x|-1|$
4.

$i(x)=2\operatorname{sen}x$
5.

$j(x)=\frac{1}{2}\operatorname{sen}x$
6.

$k(x)=\frac{2x-x^{2}}{(x-1)^{2}}$

Exercício 2.11.

Uma partícula de massa $m$ é lançada da origem com uma velocidade $\vec{v}=\binom{v_{\textsf{h}}}{v_{\textsf{v}}}$ . A resolução da segunda equação de Newton mostra que a sua trajetória é dada pela função

x\mapsto y(x)=-\frac{1}{2}g\Big{(}\frac{x}{v_{\textsf{h}}}\Big{)}^{2}+\frac{v_% {\textsf{v}}}{v_{\textsf{h}}}x\,,

onde $g$ é o campo de gravitação. Descreva essa trajetória. Em particular, calcule 1) a qual distância a partícula vai cair no chão, e compare essa distância quando $g$ é a constante de gravitação na superfície da terra ( $g=9.81m/s^{2}$ ), ou na superfície da lua ( $g=1.63m/s^{2}$ , seis vezes menor do que na terra), 2) as coordenadas $(x_{*},y_{*})$ do ponto mais alto da trajetória.

Um gráfico permite (em princípio) resolver uma inequação graficamente.

Exemplo 2.19.

Considere a inequação do Exemplo 1.2 (último capítulo),

|x-2|>3\,.

Com $f(x)=|x-2|$ e $g(x)=3$ , o conjunto das soluções da inequação, $S$ , pode ser interpretado como o conjunto dos pontos onde o gráfico de $f$ fica estritamente acima do gráfico de $g$ : $f(x)>g(x)$ . Como o gráfico de $g$ é uma reta horizontal e o de $f$ é o gráfico de $|x|$ transladado de duas unidades para a direita,

vemos que todos os pontos em $(-\infty,-1)\cup(5,\infty)$ satisfazem a essa condição, que é o que tinha sido encontrado anteriormente.

Exercício 2.12.

Resolva graficamente:

1.

$1-|x-1|\geq|x|$
2.

$1-|x-1|>|x|$
3.

$|x^{2}-1|<1$