1.2 O plano cartesiano

O plano cartesiano, em geral denotado por $\mathbb{R}^{2}$ , é o conjunto dos pares $P=(x,y)$ de reais, $x$ e $y$ , chamados respectivamente de abscissa (ou primeira coordenada) e ordenada (ou segunda coordenada).

O conjunto dos pontos cuja primeira coordenada é nula, isto é, o conjunto dos pontos da forma $P=(0,y)$ , é chamado de eixo $y$ , ou eixo das ordenadas. O conjunto dos pontos cuja segunda coordenada é nula, isto é, o conjunto dos pontos da forma $P=(x,0)$ , é chamado de eixo $x$ , ou eixo das abscissas. Os eixos $x$ e $y$ formam duas retas perpendiculares, e dividem o plano em quatro quadrantes:

Mais explicitamente, em termos das coordenadas,

•

$1^{o}=\{(x,y):x\geq 0,y\geq 0\}$ ,
•

$2^{o}=\{(x,y):x\leq 0,y\geq 0\}$ ,
•

$3^{o}=\{(x,y):x\leq 0,y\leq 0\}$ ,
•

$4^{o}=\{(x,y):x\geq 0,y\leq 0\}$ .

Se $P=(x,y)$ e $Q=(x^{\prime},y^{\prime})$ , a distância Cartesiana entre $P$ e $Q$ é calculada usando o Teorema de Pitágoras:

Exercício 1.11.

Descreva os seguintes subconjuntos do plano em termos das suas coordenadas cartesianas.

1.

Semi-plano acima do eixo $x$ ,
2.

semi-plano a esquerda do eixo $y$ ,
3.

quadrado de lado $1$ centrado na origem (com os lados paralelos aos eixos),
4.

reta vertical passando pelo ponto $(2,0)$ ,
5.

reta horizontal passando pelo ponto $(-3,-5)$ ,
6.

reta horizontal passando pelo ponto $(13,-5)$ ,
7.

faixa vertical contida entre o eixo $y$ e a reta do item (4),
8.

círculo de raio $1$ centrado na origem.
9.

disco (cheio) de raio $2$ centrado em $(1,-2)$ .

1.2.1 Retas

Já vimos, no Exercício 1.11, como expressar retas horizontais e verticais. Uma reta vertical é o conjunto formado pelos pontos $(x,y)$ cuja primeira coordenada $x$ é igual a um número fixo $a\in\mathbb{R}$ , a sua equação se escreve: $x=a$ .

Por outro lado, uma reta horizontal é o conjunto formado pelos pontos $(x,y)$ cuja segunda coordenada $y$ é igual a um número fixo $b\in\mathbb{R}$ , a sua equação se escreve: $y=b$ .

As retas horizontais e verticais são descritas por somente um parâmetro (o “ $a$ ” para uma reta vertical, ou o “ $b$ ” para uma reta horizontal). Para as outras retas do plano, que não ficam necessariamente paralelas a um dos eixos, é preciso usar dois parâmetros, $m$ e $h$ , chamados respectivamente inclinação (ou coeficiente angular) e ordenada na origem, para especificar a dependência entre $x$ e $y$ :

y=mx+h\,.

O significado da inclinação $m$ deve ser entendido da seguinte maneira: partindo de um ponto qualquer da reta, ao andar horizontalmente uma distância $L$ para a direita, o deslocamento vertical da reta é de $mL$ . Por exemplo, para uma reta de inclinação $\frac{1}{2}$ (observe que todo os triângulos da seguinte figura são semelhantes),

Se a inclinação é negativa, então o deslocamento vertical é para baixo.

Se $P=(x_{1},y_{1})$ e $Q=(x_{2},y_{2})$ são dois pontos de uma reta não vertical de inclinação $m$ , então

\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=m\,.

(1.14)

Essa relação pode ser usada também para calcular a inclinação de uma reta.

Exemplo 1.4.

Procuremos a equação da reta $r$ que passa pelos pontos $P=(-1,3)$ e $Q=(3,0)$ :

Como $r$ não é vertical, a sua equação é da forma $y=mx+h$ . A inclinação pode ser calculada usando (1.14): $m=\frac{0-(3)}{3-(-1)}=-\frac{3}{4}$ . (Pode também observar que para andar de $P$ até $Q$ , é necessário andar $4$ passos para a direita, e $3$ passos para baixo, logo $m=\tfrac{-3}{4}$ .) Portanto, a equação é da forma $y=-\tfrac{3}{4}x+h$ . Falta achar $h$ , que pode ser calculado usando o fato de $r$ passar pelo ponto $P$ : $3=-\tfrac{3}{4}\cdot(-1)+h$ (daria na mesma usando o ponto $Q$ ). Assim, $h=\tfrac{9}{4}$ , e $r$ é descrita pela equação:

y=-\tfrac{3}{4}x+\tfrac{9}{4}\,.

Ao multiplicarmos ambos lados por $4$ e rearranjando podemos a equação da reta da seguinte maneira:

3x+4y-9=0\,.

Essa é a forma genérica da reta. Em geral, qualquer reta pode ser descrita na forma générica,

ax+by+c=0\,,

em que $a,b,c$ são constantes. Se $a=0$ e $b\neq 0$ , a reta é horizontal. Se $a\neq 0$ e $b=0$ , a reta é vertical. Se $a\neq 0$ e $b\neq 0$ , a reta é oblíqua.

Exercício 1.12.

Considere a reta $r$ do Exemplo 1.4. Escolha alguns pares de pontos $P$ e $Q$ em $r$ , e verifique a fórmula (1.14). Ache os valores de $x$ e $y$ para que os pontos $R=(x,100)$ e $T=(6,y)$ pertençam a $r$ .

Exercício 1.13.

Determine a equação da reta que passa pelos pontos dados.

1.

$(0,0)$ , $(1,1)$
2.

$(-2,1)$ , $(100,1)$
3.

$(-3,-21.57)$ , $(-3,3)$
4.

$(1,-2)$ , $(-1,3)$
5.

$(333,227)$ , $(-402,-263)$

Exercício 1.14.

Faça um esboço, no plano cartesiano, da reta descrita pela equação dada.

1.

$r_{1}:\,x=4$
2.

$r_{2}:\,y=-3/2$
3.

$r_{3}:\,x+2y=0$
4.

$r_{4}:\,y=2x-3$

Observe que retas paralelas têm a mesma inclinação.

Exercício 1.15.

Dê a equação da reta $r^{\prime}$ , paralela a $r$ , que passa pelo ponto $P$ .

1.

$r:\,y=5x+2$ , $P=(-1,5)$ .
2.

$r:\,4x-3y+6=0$ , $P=(3,-5)$ .

Exercício 1.16.

Mostre que se $r_{1}$ tem inclinação $m_{1}\neq 0$ , e $r_{2}$ tem inclinação $m_{2}=-\frac{1}{m_{1}}$ , então $r_{1}$ e $r_{2}$ são perpendiculares.

Exercício 1.17.

Determine quais das seguintes retas são paralelas ou perpendiculares.

r_{1}:\,2x+y-1=0\,,\quad r_{2}:\,x+2y+1=0\,,\quad r_{3}:\,y=2x-3\,,\quad r_{4}% :\,3x+6y-3=0\,.

Em seguida, esboce as retas e verifique.

1.2.2 Círculos

Considere o círculo ²² 2 Às vezes, o que chamamos aqui de círculo corresponde a circunferência em outros textos de matemática elementar. $\gamma$ de centro $C=(1,2)$ e de raio $R=2$ :

Por definição (ver o Exercício 1.11), $\gamma$ é definido pelo conjunto dos pontos $P$ cuja distância euclidiana a $C$ é igual a $2$ : $d(P,C)=2$ . Isso significa que as coordenadas $(x,y)$ de $P$ são ligadas pela seguinte expressão: $\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}=2$ . Equivalentemente, $\gamma$ é descrito pela seguinte equação:

{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}=4\,.

Observe que, expandindo os fatores $(x-1)^{2}$ e $(y-2)^{2}$ , essa última expressão pode ser escrita na forma genérica:

x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\,.

Em geral, um círculo de raio $R>0$ centrado em $C=(x_{0},y_{0})$ é descrito pela equação

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=R^{2}\,.

(1.15)

Um problema clássico é de achar o centro e o raio a partir da forma genérica.

Exemplo 1.5.

Considere o círculo $\gamma$ descrito pela sua equação genérica

x^{2}+y^{2}+6x-8y=0\,.

(1.16)

Para achar o seu centro e o seu raio, completemos os quadrados: $x^{2}+6x=(x+3)^{2}-9$ , $y^{2}-8y=(y-4)^{2}-16$ . Logo, (1.16) pode ser escrita como $(x+3)^{2}-9+(y-4)^{2}-16=0$ , isto é:

(x+3)^{2}+(y-4)^{2}=25\equiv 5^{2}\,.

Portanto, $\gamma$ é centrado em $C=(-3,4)$ , de raio $R=5$ .

Exemplo 1.6.

Considere $x^{2}+2x+y^{2}+2=0$ . Completando o quadrado e rearranjando, obtemos $(x+1)^{2}+y^{2}=-1$ . Como “ $-1$ ” não pode ser escrito como um quadrado, esta equação não representa um círculo (e na verdade, não existe nenhum par $(x,y)$ que seja solução).

Exercício 1.18.

Determine quais das equações a seguir definem um círculo. Quando for o caso, calcule o centro e o raio.

1.

$x^{2}+(y+1)^{2}=9$
2.

$x^{2}+y^{2}=-1$
3.

$x^{2}+y^{2}=6x$
4.

$x^{2}+y^{2}+x+y+1=0$
5.

$x^{2}+y^{2}+2x+1=0$
6.

$x^{2}=y^{2}+1$