2.1 Definição e exemplos

Como visto acima, uma função $f$ (de uma variável real) é um mecanismo que, a um número real $x$ , chamado entrada (ou variável), associa um único número real construído a partir de $x$ , denotado $f(x)$ e chamado saída (ou imagem). Essa associação costuma ser denotada:

x\mapsto f(x)\,.

Neste curso, a entrada e a saída serão ambos números reais. Veremos em breve que cada função precisa ser definida com um domínio.

Exemplo 2.1.

A função “multiplicação por dois” $x\mapsto 2x$ (por exemplo $3\mapsto 6$ , $-13\mapsto-26$ ), a função “valor absoluto” $x\mapsto|x|$ (por exemplo $3\mapsto 3$ , $-13\mapsto 13$ ), a função “quadrado” $x\mapsto x^{2}$ (por exemplo $3\mapsto 9$ , $-13\mapsto 169$ ), e a função “valor inteiro” $x\mapsto\lfloor x\rfloor$ , onde $\lfloor x\rfloor$ é o maior número inteiro menor ou igual a $x$ (por exemplo $3\mapsto 3$ , $1.5\mapsto 1$ , $-3.1415\mapsto-4$ ), são todas bem definidas para qualquer real $x\in\mathbb{R}$ .

Exemplo 2.2.

Para definir a função “inverso”, $x\mapsto\frac{1}{x}$ , é preciso evitar uma divisão por zero, isto é, somente tomar uma entrada $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . Assim, a função $f(x)=\tfrac{1}{x}$ é bem definida uma vez que escrita da seguinte maneira:

	$\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{0\}$	$\displaystyle\to\mathbb{R}$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto\tfrac{1}{x}\,.$

Do mesmo jeito, para definir $f(x)=\tfrac{x}{x^{2}-1}$ , é preciso excluir os valores em que o denominador é zero:

	$\displaystyle f:\,\mathbb{R}\setminus\{-1,+1\}$	$\displaystyle\to\mathbb{R}$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto\tfrac{x}{x^{2}-1}\,.$

Os dois últimos exemplos mostram que em geral, uma função deve ser definida junto com o seu domínio, que dá os valores de $x$ para os quais $f(x)$ é definida. O domínio será em geral denotado por $D$ :

	$\displaystyle f:\,D$	$\displaystyle\to\mathbb{R}$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto f(x)\,.$

O domínio será importante para garantir que $f(x)$ seja bem definida. Mas às vezes, poderemos escolher um domínio particular somente por razões específicas, ou pelas exigências de um problema.

Exemplo 2.3.

As funções trigonométricas encontradas no Capítulo 1 podem ser consideradas como funções no sentido acima. O seno, por exemplo, associa ao ângulo $\alpha$ de um triângulo retângulo a razão do lado oposto sobre a hipotenusa: $\alpha\mapsto\operatorname{sen}\alpha$ . Aqui vemos que, pela origem geométrica do problema, é necessário especificar os valores possíveis de $\alpha$ : para o triângulo ser bem definido, o ângulo precisa tomar valores entre $0$ e $\tfrac{\pi}{2}$ (de fato, é delicado falar de “lado oposto” para um ângulo nulo ou maior que $\tfrac{\pi}{2}$ ). Para indicar que a função assim definida pega a sua entrada no intervalo $(0,\tfrac{\pi}{2})$ , escreveremos

	$\displaystyle\operatorname{sen}:(0,\tfrac{\pi}{2})$	$\displaystyle\to\mathbb{R}$
	$\displaystyle\alpha$	$\displaystyle\mapsto\operatorname{sen}\alpha\,.$

No entanto vimos que, usando o círculo trigonométrico, o seno de qualquer ângulo (mesmo negativo) pode ser definido, o que permite estender ele à reta real inteira:

	$\displaystyle\operatorname{sen}:\mathbb{R}$	$\displaystyle\to\mathbb{R}$
	$\displaystyle\alpha$	$\displaystyle\mapsto{\operatorname{sen}\alpha}\,.$

A função cosseno se define de maneira análoga. Mas, com a tangente, uma restrição é necessária. De fato, $\tan\alpha=\frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}$ e, a divisão por zero sendo proibida, a tangente não é definida para ângulos $\alpha\in\mathbb{R}$ tais que $\cos\alpha=0$ . Logo (veja o Exercício 1.28),

	$\displaystyle\tan:\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}k\pi,k\in\mathbb{Z}\}$	$\displaystyle\to\mathbb{R}$
	$\displaystyle\alpha$	$\displaystyle\mapsto{\tan\alpha}\,.$

Exemplo 2.4.

A função raiz. Seja $a\in\mathbb{R}$ , e considere a equação

z^{2}=a\,.

(2.1)

Sabemos (ver Seção 1.1.1) que se $a<0$ , essa equação não possui soluções, se $a=0$ ela possui a única solução $z=0$ , e se $a>0$ , ela possui duas soluções: $z=+\sqrt{a}$ e $z=-\sqrt{a}$ . Nesses dois últimos casos, quando $a\geq 0$ , definiremos a função raiz de $a$ como sendo a solução positiva de (2.1), isto é, $+\sqrt{a}$ . Quando $a<0$ , a função raiz de $a$ não é definida. Assim, a função raiz $x\mapsto f(x)=\sqrt{x}$ é bem definida somente quando $x\geq 0$ , o que se escreve da seguinte maneira:

	$\displaystyle f:\,\mathbb{R}_{+}$	$\displaystyle\to\mathbb{R}$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto\sqrt{x}\,.$

Por exemplo, para achar o domínio da função $\sqrt{1-x}$ , é necessário que $1-x\geq 0$ , isto é, que $x\leq 1$ . Logo,

	$\displaystyle f:\,(-\infty,1]$	$\displaystyle\to\mathbb{R}$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\mapsto\sqrt{1-x}\,.$

Exercício 2.1.

Determine os domínios das seguintes funções:

1.

$\frac{1}{x^{2}+3x-40}$
2.

$\frac{x}{x}$
3.

$|x-1|$
4.

$\frac{x+1}{x^{2}+1}$
5.

$\frac{1}{1-\frac{1-x}{x}}$
6.

$\sqrt{x-1}$
7.

$\sqrt{x^{2}-1}$
8.

$\frac{1}{1-\sqrt{x-1}}$
9.

$\frac{8x}{1-x^{2}}$
10.

$\frac{8x}{\sqrt{1-x^{2}}}$
11.

$\sqrt{2x-1-x^{2}}$
12.

$\frac{\sqrt{2x-x^{2}}}{\sqrt{2-x-x^{2}}}$
13.

$\frac{1}{\cos x}$
14.

$\sqrt{{\operatorname{sen}x}}$
15.

$\sqrt{x}-\sqrt{x}$
16.

$\sqrt{1-\sqrt{1+x^{2}}}$

2.1.1 Limitação

Vimos que a função $f(x)=\tfrac{1}{x}$ é bem definida quando $x\neq 0$ , mas observemos agora o que acontece com $f(x)$ para os valores de $x$ perto de $0$ . Por exemplo, para os valores de $x$ positivos $x=0.1$ , $x=0.01$ , …

\tfrac{1}{0.1}=10\,,\quad\tfrac{1}{0.01}=100\,,\quad\tfrac{1}{0.001}=1000\,,% \quad\dots\quad\,,\,\tfrac{1}{0.0000001}=10000000\,\dots.

Assim, vemos que a medida que $x>0$ se aproxima de zero, $\tfrac{1}{x}$ atinge valores positivos arbitrariamente grandes. O mesmo fenômeno acontece para os valores de $x<0$ : $\tfrac{1}{x}$ atinge valores negativos arbitrariamente grandes. Diz-se que a função é não-limitada.

Uma função $f$ com domínio $D$ é dita limitada superiormente se existir um número finito $M_{+}$ tal que

f(x)\leq M_{+}\quad\forall x\in D\,.

Por outro lado, $f$ é dita limitada inferiormente se existir um número finito $M_{-}$ tal que

f(x)\geq M_{-}\quad\forall x\in D\,.

Se $f$ for limitada inferiormente e superiormente, então ela é limitada.

Exemplo 2.5.

A função seno é limitada. De fato, pela definição (olhe para o círculo trigonométrico), $-1\leq\operatorname{sen}x\leq 1$ . Aqui podemos tomar $M_{+}=1$ , $M_{-}=-1$ .

Exemplo 2.6.

Como visto acima, a função $\tfrac{1}{x}$ não é limitada, nem inferiormente nem superiormente. Por outro lado, $\tfrac{1}{x^{2}}$ não é limitada superiormente, pois pode tomar valores arbitrariamente grandes a medida que $x$ se aproxima de zero. No entanto, como $\tfrac{1}{x^{2}}\geq 0$ , ela é limitada inferiormente (podemos escolher $M_{-}=0$ , ou $M_{-}=-3$ , ou qualquer outro número negativo).

Do mesmo jeito, a função $f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}$ (Exemplo 2.2) é não-limitada, pois toma valores arbitrariamente grandes (negativos ou positivos) quando $x$ se aproxima de $+1$ ou $-1$ .

Exemplo 2.7.

Considere $f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}$ . Observe que $f$ é sempre não-negativa, e que o numerador é menor do que o denominador para qualquer $x$ : $x^{2}\leq x^{2}+1$ . Logo,

0\leq f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}\leq\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}=1\,,

o que prova que $f$ é limitada (por exemplo com $M_{-}=0$ , $M_{+}=1$ ).

Exercício 2.2.

Determine quais das funções abaixo são limitadas.

1.

$x^{2}$
2.

$\tan x$
3.

$\frac{1}{x^{2}+1}$
4.

$\frac{1}{\sqrt{1-x}}$
5.

$\frac{x-1}{x^{3}-x^{2}+x-1}$
6.

$x+\operatorname{sen}x$