2.3 Montar funções

Uma esfera é pintada com uma tinta cujo custo é de $\mathrm{R}\$10,00$ por metro quadrado. Expresse o custo total da tinta necessária em função do raio (medido em metros) da esfera, $T(r)$. Em seguida, a esfera é enchida de concreto, a $\mathrm{R}\$30,00$ o metro cúbico. Expresse o custo total de concreto necessário em função da superfície (medida em metros quadrados) da esfera, $C(s)$.

Considere um ponto $P=(a,b)$ na reta $2y+x=2$. Expresse $d(a)$ (respectivamente $d(b)$), a distância de $P$ ao ponto $Q=(1,-2)$ em função de $a$ (respectivamente $b$).

Um polígono regular (isto é, com todos os seus lados iguais) com $n$ lados é inscrito em um disco de raio $r$. Calcule o seu perímetro e a sua área em função de $n$ e $r$.

Um recipiente cônico é criado girando o gráfico da função $|x|$ em torno do eixo $y$. O objetivo é usar esse recipiente para criar um medidor de volumes (digamos, em metros cúbicos). Explique como que a marcação do eixo $y$ deve ser feita: $1m^{3}$, $2m^{3}$, … Faça um esboço desse medidor.

Uma corda de tamanho $L$ é cortada em dois pedaços. Com o primeiro pedaço, faz-se um quadrado, e com o segundo, um círculo. Dê a área total (quadrado $+$ círculo) em função do tamanho do primeiro pedaço. Dê o domínio dessa função.

Um triângulo $ABC$ é isósceles em $A$, com $|AB|=|AC|=1$. Dê a área do triângulo em função do ângulo entre $AB$ e $AC$. Em seguida, esboce essa função no seu domínio, e ache o ângulo para o qual a área é máxima.

Considere a reta $r:\,y=x+1$, e os pontos $P=(1,0)$, $Q=(t,0)$, $t>1$. Seja $R_{t}$ a região delimitada pela reta $r$, pelo eixo $x$, e pelas retas verticais passando por $P$ e $Q$. Esboce $R_{t}$, e expresse a sua área $A(t)$ em função de $t$.

Considere uma pirâmide $\Pi$ de altura $H$, cuja base é um quadrado de lado $L$ ($H$ e $L$ são constantes). Considere em seguida a pirâmide truncada $\Pi^{\prime}$ obtida cortando $\Pi$ horizontalmente, na altura de um ponto $P$ na aresta lateral, como na ilustração.

Expresse o volume e a área da superfície de $\Pi^{\prime}$ em função da distância $x=|PB|$.