7.2 Extremos locais

Definição 7.2.

Considere uma função real $f$ .

1.

Um ponto $x_{*}\in D$ é chamado de máximo local de $f$ se existir um intervalo aberto $I\ni x_{*}$ tal que $f(x)\leq f(x_{*})$ para todo $x\in I$ .
2.

Um ponto $x_{*}\in D$ é chamado de mínimo local de $f$ se existir um intervalo aberto $I\ni x_{*}$ tal que $f(x)\geq f(x_{*})$ para todo $x\in I$ .

Figura 7.1: Uma função com um máximo global em

x_{1}

e um máximo local em

x_{2}

Observe que um ponto de máximo (resp. mínimo) global, quando pertencente ao interior do domínio, é local ao mesmo tempo. Vejamos agora como que extremos locais podem ser encontrados usando derivada.

Teorema 7.2.

Seja $f$ uma função com um máximo (resp. mínimo) local em $x_{*}$ . Se $f$ é derivável em $x$ , então $f^{\prime}(x_{*})=0$ .

Demonstração.

Seja $x_{*}$ um máximo local (se for mínimo local, a prova é parecida). Isto é, $f(x)\leq f(x_{*})$ para todo $x$ suficientemente perto de $x_{*}$ . Como $f^{\prime}(x_{*})$ existe por hipótese, podemos escrever $f^{\prime}(x_{*})=\lim_{x\to x_{*}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{*})}{x-x_{*}}$ . Mas aqui $x-x_{*}>0$ , e como $x_{*}$ é máximo local, $f(x)-f(x_{*})\leq 0$ . Portanto, $f^{\prime}(x_{*})\leq 0$ . Por outro lado, podemos escrever $f^{\prime}(x_{*})=\lim_{x\to x_{*}^{-}}\frac{f(x)-f(x_{*})}{x-x_{*}}$ . Aqui, $x-x_{*}<0$ , e $f(x)-f(x_{*})\leq 0$ , logo $f^{\prime}(x_{*})\geq 0$ . Consequentemente, $f^{\prime}(x_{*})=0$ . ∎

O resultado acima permite achar candidatos a pontos de mínimo/máximo local. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 7.6.

Considere $f(x)=1-x^{2}$ , que é obviamente derivável. Logo, sabemos pelo Teorema 7.2 que qualquer extremo local deve anular a derivada. Como $f^{\prime}(x)=-2x$ , e como $f^{\prime}(x)=0$ se e somente se $x=0$ , o ponto $x=0$ é candidato a ser um extremo local. Para determinar se de fato é, estudemos o sinal de $f^{\prime}(x)$ , e observemos que $f^{\prime}(x)>0$ se $x<0$ , $f^{\prime}(x)<0$ se $x>0$ . Logo, $f$ cresce antes de $0$ , decresce depois: $x=0$ é um ponto de máximo local:

Observe que podia também calcular $f^{\prime\prime}(x)=-2$ , que é sempre $<0$ , o que implica que $f$ é côncava, logo $x=0$ só pode ser um máximo local. A posição do máximo local no gráfico de $f$ é $(0,f(0))=(0,1)$ .

Observação 7.1.

No exemplo anterior, localizamos um ponto onde a primeira derivada é nula, e em seguida usamos o teste da segunda derivada: estudamos o sinal da segunda derivada neste mesmo ponto para determinar se ele é um mínimo ou um máximo local.

Exemplo 7.7.

Considere $f(x)=x^{3}$ , derivável também. Como $f^{\prime}(x)=3x^{2}$ , $x=0$ é candidato a ser ponto de mínimo ou máximo local. Ora, vemos que $f^{\prime}(x)\geq 0$ para todo $x$ , logo $f^{\prime}$ não muda de sinal em $x=0$ . Portanto esse ponto não é nem mínimo, nem máximo.

Exemplo 7.8.

A função $f(x)=|x|$ possui um mínimo local (que também é global) em $x=0$ . Observe que esse fato não segue do Teorema 7.2, já que $f$ não é derivável em zero.

Exemplo 7.9.

Considere $f(x)=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}$ , que é derivável em todo $x$ . Como $f^{\prime}(x)=x^{3}-x=x(x^{2}-1)$ , as soluções de $f^{\prime}(x)=0$ são $x=-1$ , $x=0$ , $x=+1$ . A tabela de variação já foi montada no Exercício 6.32. Logo, $x=-1$ e $x=+1$ são pontos de mínimo local (posições: $(-1,f(-1))=(-1,-\frac{1}{2})$ e $(+1,f(+1))=(+1,-\frac{1}{2})$ ), e $x=0$ é máximo local (posição: $(0,0)$ ).

Exercício 7.2.

Para cada função abaixo (todas são deriváveis), determine os extremos locais (se tiver).

1.

$2x^{3}+3x^{2}-12x+5$
2.

$2x^{3}+x$
3.

$\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}$
4.

$\frac{x^{2}+1}{x^{2}+x+1}$
5.

$e^{-\frac{x^{2}}{2}}$
6.

$xe^{-x}$
7.

$\frac{x}{1+x^{2}}$
8.

$x^{x}$ , $x>0$
9.

$x(\ln x)^{2}$ , $x>0$

Exercício 7.3.

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que $f(x)=x^{3}+ax^{2}+b$ tenha um extremo local posicionado em $(-2,1)$ .

Exercício 7.4.

A energia de interação entre dois átomos (ou moléculas) a distância $r>0$ é modelizado pelo potencial de Lennard-Jones ¹¹ 1 Sir John Edward Lennard-Jones (27 de outubro de 1894 – 1 de novembro de 1954).:

V(r)=4\epsilon\Big{\{}\big{(}\frac{\sigma}{r}\big{)}^{12}-\big{(}\frac{\sigma}% {r}\big{)}^{6}\Big{\}}\,,

onde $\epsilon$ e $\sigma$ são duas constantes positivas.

1.

Determine a distância $r_{0}$ tal que o potencial seja zero.
2.

Determine a distância $r_{*}$ tal que a interação seja mínima. Existe máximo global? Determine a variação e esboce $V$ .