7.5 A Lei de Snell

Considere uma partícula que evolui na interface entre dois ambientes, $1$ e $2$ (veja a figura abaixo). Suponhamos que num ambiente dado, a partícula anda sempre em linha reta e que a partícula evolui no ambiente $1$ com uma velocidade constante $v_{1}$ e no ambiente $2$ com uma velocidade constante $v_{2}$. Suponhamos também que a partícula queira viajar de um ponto $A$ no ambiente $1$ para um ponto $B$ no ambiente $2$; qual estratégia a partícula deve adotar para minimizar o seu tempo de viagem entre $A$ e $B$?

É claro que se $v_{1}=v_{2}$, a partícula não precisa se preocupar com a interface, e pode andar em linha reta de $A$ até $B$. Mas se porventura $v_{1}<v_{2}$, a partícula precisa escolher um ponto $C$ na interface entre $1$ e $2$, mais perto de $A$ do que de $B$, andar em linha reta de $A$ até $C$, para depois andar em linha reta de $C$ até $B$. O problema é de saber como escolher $C$, de maneira tal que o tempo total de viagem seja mínimo. Modelemos a situação da seguinte maneira:

A nossa variável será $x$, a distância entre $C$ e a projeção de $A$ na horizontal. Quando $x$ é fixo, a distância de $A$ até $C$ é dada por $d_{1}=\sqrt{h_{1}^{2}+x^{2}}$, e a distância de $C$ até $B$ é dada por $d_{2}=\sqrt{h_{2}^{2}+(L-x)^{2}}$. Indo de $A$ até $C$, a partícula percorre a distância $d_{1}$ em um tempo $t_{1}=\frac{d_{1}}{v_{1}}$, e indo de $C$ até $B$, percorre a distância $d_{2}$ em um tempo $t_{2}=\frac{d_{2}}{v_{2}}$. Logo, o tempo total de viagem de $A$ até $B$ é de $T=t_{1}+t_{2}$. Indicando explicitamente a dependência em $x$,

Assim, o nosso objetivo é achar o mínimo global da função $T(x)$, para $x\in[0,L]$. Comecemos procurando os pontos críticos de $T$ em $(0,L)$, isto é, os $x_{*}$ tais que $T^{\prime}(x_{*})=0$, isto é,

Essa equação é do quarto grau em $x_{*}$. Pode ser mostrado que a sua solução existe, é única, e dá o mínimo global de $T$ em $[0,L]$. Em vez de buscar o valor exato do $x_{*}$, daremos uma interpretação geométrica da solução. De fato, observe que em (7.1) aparecem dois quocientes que podem ser interpretados, respectivamente, como os senos dos ângulos entre $AC$ e a vertical, e $BC$ e a vertical:

Portanto, vemos que o mínimo de $T$ é atingido uma vez que os ângulos $\theta_{1}$ e $\theta_{2}$ são tais que

Em ótica, quando um raio de luz passa de ambiente $1$ para um ambiente $2$, observe-se um desvio ao atravessar a interface; $\theta_{1}$ é chamado o ângulo de incidência, $\theta_{2}$ o ângulo de refração. O ângulo de refração depende das propriedades dos ambientes $1$ e $2$ via $v_{1}$ e $v_{2}$, e a relação acima é chamada a Lei de Snell ²² 2 Willebrord Snellius van Royen, Leiden, 1580 - 1626..

No exemplo acima não obtivemos um valor explícito para o $x_{*}$ que minimize o tempo de viagem de $A$ até $B$, mas aprendemos alguma coisa a respeito dos ângulos $\theta_{1}$ e $\theta_{2}$. Em alguns casos particulares, $x_{*}$ pode ser calculado explicitamente: