10.1 Comprimento de arco

O procedimento usado na definição da integral de Riemann (cortar, somar, tomar um limite) pode ser útil em outras situações. As três próximas seções serão dedicadas ao uso de integrais para calcular quantidades geométricas associadas a funções. Começaremos com o comprimento de arco.

Vimos acima que a integral de Riemann permite calcular a área debaixo do gráfico de uma função $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ . Mostraremos agora como calcular o comprimento do gráfico, via uma outra integral formada a partir da função.

Procederemos seguindo a mesma ideia, aproximando o comprimento por uma soma. Escolhamos uma subdivisão do intervalo $[a,b]$ por intervalos $[x_{i},x_{i+1}]$ :

Aproximaremos o comprimento do gráfico da função, em cada intervalo $[x_{i},x_{i+1}]$ , pelo comprimento do segmento que liga $(x_{i},f(x_{i}))$ a $(x_{i+1},f(x_{i+1}))$ , dado por

\displaystyle\sqrt{\Delta x_{i}^{2}+(f(x_{i+1})-f(x_{i}))^{2}}

\displaystyle=\Delta x_{i}\sqrt{1+\Bigl{(}\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i})}{\Delta x_% {i}}\Bigr{)}^{2}}\,,

em que $\Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}$ . Quando $\Delta x_{i}\to 0$ , o quociente $\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i})}{\Delta x_{i}}$ tende a $f^{\prime}(x_{i})$ . Logo, o comprimento do gráfico, $L$ , é aproximado pela soma

\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+f^{\prime}(x_{i})^{2}}\Delta x_{i}\,,

que é uma soma de Riemann associada à função $\sqrt{1+f^{\prime}(x)^{2}}$ . Logo, tomando um limite em que o número de intervalos cresce e o tamanho de cada intervalo tende a zero, obtemos uma expressão para $L$ via uma integral:

\boxed{L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f^{\prime}(x)^{2}}\,dx\,.}

(10.1)

Exemplo 10.1.

Calculemos o comprimento do gráfico da curva $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ , entre $x=0$ e $x=1$ . Como $(\tfrac{2}{3}x^{3/2})^{\prime}=\sqrt{x}$ ,

L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+(\sqrt{x})^{2}}\,dx=\int_{0}^{1}\sqrt{1+x}\,dx=\tfrac{2}% {3}(\sqrt{8}-1)\,.

Devido à raiz que apareceu na fórmula (10.1) (após o uso do Teorema de Pitágoras), as integrais que aparecem para calcular comprimentos de gráficos podem ser difíceis de calcular, isso mesmo quando a função $f$ é simples:

Exemplo 10.2.

O comprimento da parábola $y=x^{2}$ entre $x=-1$ e $x=1$ é dado pela integral

L=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+4x^{2}}\,dx\,.

Vimos na Seção 9.5.5 (ver o Exercício 9.32) como calcular a primitiva de $\sqrt{1+4x^{2}}$ usando uma substituição trigonométrica.

Exercício 10.1.

Mostre, usando uma integral, que a circunferência de um disco de raio $R$ é $2\pi R$ .

Exercício 10.2.

Calcule o comprimento da corda pendurada entre dois pontos $A$ e $B$ , descrita pelo gráfico da função $f(x)=\cosh x$ , entre $x=-1$ e $x=1$ .

Exercício 10.3.

Calcule o comprimento do gráfico da função exponencial $f(x)=e^{x}$ , entre $x=0$ e $x=1$ . (Dica: $u=\sqrt{1+e^{2x}}$ .)