10.3 Áreas de superfícies de revolução

Suponha que se queira calcular a área da superfície do sólido do início da Seção 10.2 (sem os dois discos de frente e de trás), denotada $A(S)$ . De novo, aproximaremos a área $A(S)$ por uma soma de áreas mais simples.

Para decompor a área em áreas mais elementares, escolhamos uma divisão $a=x_{0}<x_{1}<\dots<x_{n}=b$ , e para cada intervalo $[x_{i-1},x_{i}]$ , consideremos o anel $J_{i}$ obtido girando o segmento ligando $(x_{i-1},f(x_{i-1}))$ a $(x_{i},f(x_{i}))$ em torno do eixo $x$ :

Pode ser verificado que o anel $J_{i}$ tem uma área dada por

A(J_{i})=\pi\sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(f(x_{i})-f(x_{i-1}))^{2}}(f(x_{i})+f(x_% {i-1}))\,.

(10.6)

Quando $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ for suficientemente pequeno, e se $f$ for contínua, $f(x_{i})+f(x_{i-1})$ pode ser aproximada por $2f(x_{i})$ . Logo, colocando $\Delta x_{i}$ em evidência dentro da raiz,

A(J_{i})\simeq 2\pi f(x_{i})\sqrt{1+\Bigl{(}\frac{f(x_{i})-f(x_{i-1})}{\Delta x% _{i}}\Bigr{)}^{2})}\Delta x_{i}\,.

(10.7)

Quando $\Delta x_{i}$ for pequeno, o quociente $(\frac{f(x_{i})-f(x_{i-1})}{\Delta x_{i}}$ pode ser aproximado por $f^{\prime}(x_{i})$ . Logo, a área total pode ser aproximada pela soma de Riemann

\sum_{i=1}^{n}A(J_{i})\simeq\sum_{i=1}^{n}2\pi f(x_{i})\sqrt{1+(f^{\prime}(x_{% i}))^{2}}\Delta x_{i}\,.

Quando $n\to\infty$ e todos os $\Delta x_{i}\to 0$ , a soma de Riemann acima converge para a integral

A(S)=\int_{a}^{b}2\pi f(x)\sqrt{1+(f^{\prime}(x))^{2}}\,dx\,.

(10.8)

Exemplo 10.9.

Considere a superfície gerada pela rotação da curva $y=\sqrt{x}$ em torno do eixo $x$ , entre $x=0$ e $x=1$ . A sua área é dada pela integral

\displaystyle A(S)

\displaystyle=\int_{0}^{1}2\pi\sqrt{x}\sqrt{1+(\tfrac{1}{2\sqrt{x}})^{2}}\,dx=% \pi\int_{0}^{1}\sqrt{1+4x}\,dx=\tfrac{\pi}{6}(5^{3/2}-1)\,.

Exercício 10.16.

Prove (10.6).

Exercício 10.17.

Mostre que a área da superfície de uma esfera de raio $R$ é igual a $4\pi R^{2}$ .