10.2 Sólidos de revolução

Seja $R$ a região delimitada pela curva $y=\operatorname{sen}x$, pelo eixo $x$, e pelas duas retas verticais $x=0$ e $x=\pi$. Calculemos o volume do sólido $S$ obtido girando $R$ em torno do eixo $x$:

Pela fórmula (10.3), o volume deste sólido é dado pela integral

Seja $r>0$ fixo e $R$ a região delimitada pela semi-circunferência $y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}$, entre $x=-r$ e $x=+r$, e pelo eixo $x$. O sólido $S$ obtido girando $R$ em torno do eixo $x$ é uma esfera de raio $r$ centrada na origem:

Pela fórmula (10.3), o volume da esfera é dado pela integral

Considere a região $R$ do primeiro quadrante, delimitada pelo gráfico da função $f(x)=1-x^{2}$. Considere os sólidos $S_{1}$ e $S_{2}$, obtidos rodando $R$ em torno, respectivamente, do eixo $x$ e $y$:

Calculemos, para começar, o volume do sólido $S_{1}$. O raciocíno já descrito acima permite usar a fórmula:

Consideremos agora o sólido $S_{2}$. Por ser um sólido de revolução em torno do eixo $y$, a aproximação mais natural é de usar fatias horizontais, centradas no eixo $y$, como na figura a seguir:

Neste caso, dividimos o intervalo $y\in[0,1]$ em intervalos $[y_{i-1},y_{i}]$. Ao intervalo $[y_{i-1},y_{i}]$ associamos uma fatia horizontal $F_{i}$ de altura $\Delta y_{i}=y_{i}-y_{i-1}$ de de raio $\sqrt{1-y_{i}}$. De fato, já que $F_{i}$ está na altura $y_{i}$, o seu raio é dado pelo inverso da função $x\to 1-x^{2}$ (isto é $y\mapsto\sqrt{1-y}$) no ponto $y_{i}$. Assim, $V(F_{i})=\pi\sqrt{1-y_{i}}^{2}\Delta y_{i}$, e o volume de $V(S_{2})$ é aproximado pela soma das fatias:

Portanto, no limite $n\to\infty$, combinado com $\Delta y_{i}\to 0$, obtemos:

Na próxima seção mostraremos um outro jeito de calcular $V(S_{2})$.

Considere de novo a região $R$ do Exemplo 10.6 (a área debaixo da parábola), e o sólido $S_{2}$ gerado pela rotação de $R$ em torno do eixo $y$. Lá, $V(S_{2})$ foi calculado usando uma integral, que foi construida a partir de uma soma de cilindros, obtidos pela rotação de retangulos horizontais em torno do eixo $y$. Procuremos agora calcular o mesmo volume $V(S_{2})$, mas com uma integral obtida a partir de uma soma de cascas. Cascas são obtidas pela rotação de retângulos verticais, em torno do eixo $y$:

O volume da casca $C_{i}$ pode ser calculado pela diferença dos volumes de dois cilindros: o externo tem raio $x_{i}$, o interno tem raio $x_{i-1}$, e ambos têm altura $f(x_{i})$. Logo,

Fatorando, $x_{i}^{2}-x_{i-1}^{2}=(x_{i}+x_{i-1})(x_{i}-x_{i-i})$. Quando $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ for muito pequeno, isto é quando $x_{i}$ e $x_{i-1}$ forem muito próximos, podemos aproximar $x_{i}+x_{i+1}$ por $2x_{i}$. Logo,

Obs: essa fórmula é facil de entender observando que a casca $C_{i}$ pode ser obtida torcendo um paralelepípedo cuja base é o retângulo de base $(x_{i}-x_{i-1})\times f(x_{i})$ e de altura dada pela circunferência do círculo de raio $x_{i}$, isto é $2\pi x_{i}$. (Atenção: esse raciocíno é correto somente se a base do retângulo é pequena em relação à sua distância ao eixo de rotação!)

Portanto, o volume so sólido $S_{2}$ pode ser calculado via a integral associada às somas de Riemann dos $V(C_{i})$, isto é:

Como era de se esperar, essa integral vale

Considere o triângulo $\mathcal{T}$ determinado pelos pontos $A=(1,0)$, $B=(1,1)$, $C=(2,0)$.

Para começar, considere o cone $S_{1}$ obtido girando $\mathcal{T}$ em torno do eixo $x$:

Podemos calcular o volume de $S_{1}$ de duas maneiras. Primeiro, girando retângulos verticais:

Seremos um pouco informais: o retângulo infinitesimal baseado em $x$ tem uma largura $dx$ e uma altura $f(x)=2-x$ (que é a equação da reta que passa por $B$ e $C$). Ao girar em torno do eixo $x$, ele gera um cilindro infinitesimal cuja base tem área igual a $\pi f(x)^{2}$, e altura $dx$. Logo, o volume do cilindro é $\pi f(x)^{2}\times dx=\pi(2-x)^{2}dx$, e o volume de $S_{1}$ é obtido integrando todos os cilindros, quando $x$ varia de $1$ até $2$:

Mas é possível também calcular $V(S_{1})$ girando retângulos horizontais:

Um retângulo horizontal infinitesimal é definido pela sua posição com respeito ao eixo $y$, pela sua altura, dada por $h(y)=(2-y)-1=1-y$ (aqui calculamos a diferença entre a posição do seu ponto mais a direita e do seu ponto mais a esquerda). Ao girar em torno do eixo $x$, esse retângulo gera uma casca cujo raio é $y$, cuja altura é $h(y)$ e cuja espessura é $dy$, logo, o seu volume é $2\pi y\times h(y)\times dy=2\pi y(1-y)dy$. Integrando sobre todas as cascas, com $y$ variando entre $0$ e $1$:

Consideremos agora o solído $S_{2}$ obtido girando $\mathcal{T}$ em torno da reta de equação $x=3$.

Comecemos girando retângulos verticais:

Ao girar o retângulo representado na figura em torno da reta $x=3$, isto gera uma casca de raio $r(x)=3-x$, de altura $f(x)=2-x$ e de espessura $dx$. Logo, o seu volume é dado por $2\pi r(x)\times f(x)\times dx=2\pi(3-x)(2-x)dx$. O volume de $S_{2}$ é obtido integrando com respeito a $x$, entre $1$ e $2$:

Girando agora retângulos horizontais:

Ao girar em torno da reta vertical $x=3$, o retângulo horizontal gera um anel, de altura $dy$, de raio exterior $R(y)=2$, de raio interior $r(y)=3-(2-y)=1+y$. O volume desse anel é dado por $\pi R(y)^{2}\times dy-\pi r(y)^{2}\times dy$. Logo, o volume de $S_{2}$ é dado pela integral