8.2 Assíntotas oblíquas

A noção de assíntota permitiu obter informações a respeito do comportamento qualitativo de uma função longe da origem, em direções paralelas aos eixos de coordenadas: ou horizontal, ou vertical.

Veremos nesta seção que existem funções cujo gráfico, longe da origem, se aproxima de uma reta que não é nem vertical, nem horizontal, mas oblíqua, isto é de inclinação finita e não nula. Comecemos com um exemplo.

Exemplo 8.1.

Considere a função $f(x)=\frac{x^{3}+1}{2x^{2}}$ . É claro que esta função possui a reta $x=0$ como assíntota vertical, já que

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{3}+1}{2x^{2}}=+\infty\,,\quad\lim_{x\to 0^{-}}\frac{% x^{3}+1}{2x^{2}}=+\infty\,.

Por outro lado, $f$ não possui assíntotas horizontais, já que

\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{3}+1}{2x^{2}}=+\infty\,,\quad\lim_{x\to-\infty}% \frac{x^{3}+1}{2x^{2}}=-\infty\,.

Apesar de não possuir assíntota horizontal, vemos que longe da origem, o gráfico parece se aproximar de uma reta de inclinação positiva. Como determinar essa reta?

Para começar, demos uma idéia do que está acontecendo. Observe primeiro que $\frac{x^{3}+1}{2x^{2}}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x^{2}}$ . Logo, quando $x$ for grande, a contribuição do termo $\frac{1}{2x^{2}}$ é desprezível em relação a $\frac{x}{2}$ , e $f(x)$ é aproximada por

f(x)\simeq\frac{x}{2}\,.

Ora, a função $x\mapsto\frac{x}{2}$ é uma reta de inclinação $\frac{1}{2}$ . De fato, esboçando o gráfico de $f$ junto com a reta $y=\frac{x}{2}$ :

Podemos agora verificar que de fato, quando $x\to\infty$ , a distância entre o gráfico de $f$ e a reta $y=\frac{x}{2}$ tende a zero:

\lim_{x\to\infty}\bigl{|}f(x)-\tfrac{x}{2}\bigr{|}=\lim_{x\to\infty}\bigl{|}(% \tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{2x^{2}})-\tfrac{x}{2}\bigr{|}=\lim_{x\to\infty}\tfrac{1% }{2x^{2}}=0\,.

(8.4)

Portanto, a reta $y=\frac{x}{2}$ é chamada de assíntota oblíqua da função $f$ .

O exemplo anterior leva naturalmente à seguinte definição:

Definição 8.1.

A reta de equação $y=mx+h$ é chamada de assíntota oblíqua para $f$ se pelo menos um dos limites abaixo existe e é nulo:

\lim_{x\to+\infty}\bigl{|}f(x)-(mx+h)\bigr{|}\,,\quad\lim_{x\to-\infty}\bigl{|% }f(x)-(mx+h)\bigr{|}\,.

(Obs: quando $m=0$ , essa definição coincide com a de assíntota horizontal.)

Como saber se uma função possui uma assíntota oblíqua? E se ela tiver uma, como identificar os coeficientes $m$ e $h$ ?

Para começar, observe que $h$ pode ser obtido a partir de $m$ , já que

\lim_{x\to\pm\infty}\bigl{\{}f(x)-(mx+h)\bigr{\}}=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl{\{% }(f(x)-mx)-h\bigr{\}}

é zero se e somente se

h=\lim_{x\to\pm\infty}\{f(x)-mx\}\,.

(8.5)

Para identificar $m$ , podemos escrever

\lim_{x\to\pm\infty}\bigl{\{}f(x)-(mx+h)\bigr{\}}=\lim_{x\to\pm\infty}x\cdot% \bigl{\{}\tfrac{f(x)}{x}-(m+\tfrac{h}{x})\bigr{\}}\,,

e observar que para este último limite existir e ser igual a zero quando $x\to\pm\infty$ , é necessário que $\lim_{x\to\pm\infty}\bigl{\{}\tfrac{f(x)}{x}-(m+\tfrac{h}{x})\bigr{\}}=0$ . Como $\frac{h}{x}\to 0$ , isso implica que

m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\,.

(8.6)

Assim, vemos que se $f$ possui uma assíntota oblíqua, esta tem uma inclinação dada por (8.6), e uma abcissa na origem dada por (8.5). Por outro lado, é claro que se os dois limites em (8.6) e (8.5) existirem e forem ambos finitos, então $f$ possui uma assíntota oblíqua dada por $y=mx+h$ . É claro que os limites $x\to+\infty$ precisam ser calculados separadamente, pois uma função pode possuir assíntotas oblíquas diferentes em $+\infty$ e $-\infty$ .

Voltando para o Exemplo 8.1, temos

m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\frac{x^{3}+1}{% 2x^{2}}}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{3}+1}{2x^{3}}=\lim_{x\to\pm\infty}% \bigl{\{}\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2x^{3}}\bigr{\}}=\tfrac{1}{2}\,,

e, como já visto anteriormente,

h=\lim_{x\to\pm\infty}\{f(x)-\tfrac{1}{2}x\}=\lim_{x\to\pm\infty}\tfrac{1}{2x^% {3}}=0\,.

Logo, $y=\tfrac{1}{2}x+0$ é assíntota oblíqua. Vejamos como usar o critério acima em outros exemplos.

Exemplo 8.2.

Considere $f(x)=\sqrt{x^{2}+2x}$ . Primeiro, tentaremos procurar uma inclinação. Pela presença da raiz quadrada, cuidamos de distinguir os limites $x\to-\infty$ e $x\to-\infty$ :

\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+2x}}{x}=% \lim_{x\to+\infty}\frac{x\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}}{x}=+1

Em seguida calculemos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-(+1)x\}=\lim_{x\to+\infty}\{\sqrt{x^{2}+2% x}-x\}$	$\displaystyle=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+2x}+x}$
		$\displaystyle=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1}=1\,.$

Assim, $f$ possui a assíntota oblíqua $y=x+1$ em $+\infty$ . Refazendo contas parecidas para $x\to-\infty$ , obtemos

\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=-1\,,\text{ e }\quad\lim_{x\to-\infty}\{f(x)-% (-1)x\}=-1\,,

logo $f$ possui a assíntota oblíqua $y=-x-1$ em $-\infty$ . De fato (observe que $f$ tem domínio $D=(-\infty,-2]\cup[0,+\infty)$ ),

Exemplo 8.3.

Considere $f(x)=x+\sqrt{x}$ , definida somente se $x>0$ . Então

\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\bigl{\{}1+\frac{\sqrt{x}}{x}% \bigr{\}}=1\,.

Mas, como

\lim_{x\to\infty}\{f(x)-x\}=\lim_{x\to\infty}\sqrt{x}=\infty\,,

vemos que $f$ não possui assíntota oblíqua (apesar de $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$ existir e ser finita).

Exercício 8.4.

Determine quais das funções abaixo possuem assíntotas (se tiver, calcule-as).

1.

$4x-5$
2.

$x^{2}$
3.

$\frac{x^{2}-1}{x+2}$
4.

$\ln(x^{6}+1)$
5.

$\ln(1+e^{x})$
6.

$\sqrt{x^{2}-\ln x}$
7.

$\ln(\cosh x)$
8.

$e^{\sqrt{(\ln x)^{2}+1}}$

Exercício 8.5.

Se uma função possui uma assíntota oblíqua $y=mx+h$ em $+\infty$ , é verdade que $\lim_{x\to\infty}f^{\prime}(x)=m$ ?