8.1 Sobre o crescimento das funções no ∞\infty

É importante se lembrar, ao estudar funções, de quais são os comportamentos das funções fundamentais (polinômios, exponenciais e logaritmos) que tendem ao infinito quando x→∞x\to\infty.

Para começar, já vimos na Seção 4.8 (ou no item (16) do Exercício 6.50) que

limx→∞xex=0.\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{x}}=0\,.

Pode também ser mostrado que para qualquer p>0p>0,

limx→∞xpex=0.\lim_{x\to\infty}\frac{x^{p}}{e^{x}}=0\,. (8.1)

Podemos resumir esse fato da seguinte maneira: seja P⁢(x)P(x) um polinômio cujo coeficiente de grau maior é positivo. Então P⁢(x)↗∞P(x)\nearrow\infty e ex↗∞e^{x}\nearrow\infty, mas

P(x)≪ex, quando x→∞.\boxed{P(x)\ll e^{x}\,,\quad\text{ quando }x\to\infty\,.}

O símbolo “≪\ll” é usado para significar: “é muito menor que”. Em palavras: no infinito, o crescimento exponencial é muito mais rápido que qualquer crescimento polinomial.

Vimos também que

limx→∞ln⁡xx=0,limx→∞(ln⁡x)2x=0,\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0\,,\quad\quad\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^% {2}}{x}=0\,,

e pode ser mostrado (veja exercício abaixo) que para qualquer p>0p>0 e qualquer q>0q>0,

limx→∞(ln⁡x)pxq=0.\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^{p}}{x^{q}}=0\,. (8.2)

Como xqx^{q} pode também ser trocado por qualquer polinômio P⁢(x)P(x) (supondo que o coeficiente do seu termo de grau maior é positivo), esse fato costuma ser resumido da seguinte maneira:

(lnx)p≪P(x), quando x→∞.\boxed{(\ln x)^{p}\ll P(x)\,,\quad\text{ quando }x\to\infty\,.}

Isto é: (ln⁡x)p↗∞(\ln x)^{p}\nearrow\infty, e P⁢(x)↗∞P(x)\nearrow\infty quando x→∞x\to\infty, mas o crescimento polinomial é muito mais rápido que qualquer crescimento logaritmico.

Exercício 8.1.

Mostre que para qualquer p>0p>0, e q>0q>0, limx→∞(ln⁡x)pxq=0\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^{p}}{x^{q}}=0.

Assim, quando x→∞x\to\infty, a hierarquia entre logaritmo, polinômio e exponencial é

(lnx)p≪P(x)≪ex.\boxed{(\ln x)^{p}\ll P(x)\ll e^{x}\,.} (8.3)
Exercício 8.2.

Mostre que para qualquer p>0p>0, limx→∞xpex=0\lim_{x\to\infty}\frac{x^{p}}{e^{x}}=0.

Exercício 8.3.

Estude os seguintes limites

  1. 1.
    ​

    limx→∞x1000+e−xx100+ex\lim_{x\to\infty}\frac{x^{1000}+e^{-x}}{x^{100}+e^{x}}

  2. 2.
    ​

    limx→∞e(ln⁡x)22x\lim_{x\to\infty}\frac{e^{(\ln x)^{2}}}{2^{x}}

  3. 3.
    ​

    limx→∞(x3−(ln⁡x)5−exx7)\lim_{x\to\infty}(x^{3}-(\ln x)^{5}-\frac{e^{x}}{x^{7}})

  4. 4.
    ​

    limx→∞xln⁡x⁢e−x/2\lim_{x\to\infty}x^{\ln x}e^{-x/2}

  5. 5.
    ​

    limx→∞xe(ln⁡x)2\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{(\ln x)^{2}}}

  6. 6.
    ​

    limx→∞xeln⁡x\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{e^{\sqrt{\ln x}}}

  7. 7.
    ​

    limx→∞ln⁡(ln⁡(ln⁡(x)))ln⁡(ln⁡(x))\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(\ln(\ln(x)))}{\ln(\ln(x))}

  8. 8.
    ​

    limx→∞{e(ln⁡x)2+1−x}\lim_{x\to\infty}\{e^{\sqrt{(\ln x)^{2}+1}}-x\}