8.3 Estudos de funções

Podemos agora juntar as técnicas conhecidas para estabelecer um roteiro para o estudo completo de uma função $f$ :

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Para começar, encontrar o domínio de $f$ . O domínio precisa ser especificado para evitar divisões por zero e raizes (ou logaritmos) de números negativos. A função poderá depois ser estudada na vizinança de alguns dos pontos que não pertencem ao domínio, caso sejam associados a assíntotas verticais.
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Se for possível (e não sempre é), estudar os zeros e o sinal de $f$ .
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Determinar se $f$ possui algumas simetrias, via o estudo da paridade: $f$ é par se $f(-x)=f(x)$ , ímpar se $f(-x)=-f(x)$ .
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Estudar o comportamento assíntotico de $f$ , isto é, $f(x)$ quando $x\to\pm\infty$ (se o domínio o permite). Se um dos limites $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$ existir (esses limites podem precisar da regra de Bernoulli-l’Hôpital), então a função possui uma assíntota horizontal. Lembre que pode ter assíntotas horizontais diferentes em $+\infty$ e $-\infty$ . Se um dos limites $\lim_{x\to\infty}f(x)$ for infinito, poderá procurar saber se existem assíntotas oblíquas, como descrito na Seção 8.2.
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Procurar pontos na vizinhança dos quais $f(x)$ toma valores arbitrariamente grandes, isto é: assíntotas verticais. Calculando os limites laterais $\lim_{x\to a^{+}}f(x)$ e $\lim_{x\to a^{-}}f(x)$ nos pontos $a$ perto dos quais $f$ não é limitada. Isto acontece em geral perto de uma divizão por zero, ou quando a variável de um logaritmo tende a zero.
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Estudar a primeira derivada de $f$ (se existir). Em particular, procurar os pontos críticos de $f$ . Deduzir a variação de $f$ via o estudo do sinal de $f^{\prime}$ . Determinar os pontos de mínimo e máximo, locais ou globais.
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Estudar $f^{\prime\prime}$ e a convexidade/concavidade de $f$ , via o sinal de $f^{\prime\prime}$ . O sinal de $f^{\prime\prime}$ nos pontos críticos (se tiver) permite determinar quais são mínimos/máximos locais. Os pontos de inflexão são aqueles onde $f$ passa de convexa para côncava, ou o contrário.
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Juntando essas informações, montar o gráfico de $f$ . Por exemplo, se $f$ é par, o gráfico é simétrico com respeito ao eixo $y$ . Para montar um gráfico completo, pode ser necessário calcular mais alguns limites, por exemplo para observar o comportamento da derivada perto de alguns pontos particulares.

Exemplo 8.4.

Comecemos com $f(x)=\frac{x+1}{1-x}$ , cujo domínio é $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ . A função se anula no ponto $x=-1$ , e o seu sinal é dado por:

(A dupla barra em $x=1$ é para indicar que $f$ não é definida em $x=1$ .) A funçao não é nem par, nem ímpar. Como

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+1}{1-x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{% \frac{1}{x}-1}=\frac{1}{-1}=-1\,,

$f$ possui a reta $y=-1$ como assíntota horizontal. Por outro lado, como

\lim_{x\to 1^{+}}\frac{x+1}{1-x}=-\infty\,,\quad\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x+1}{1-% x}=+\infty\,,\quad

$f$ possui a reta $x=1$ como assíntota vertical. A derivada existe em todo $x\neq 1$ , e vale

f^{\prime}(x)=\frac{(x+1)^{\prime}(1-x)-(x+1)(1-x)^{\prime}}{(1-x)^{2}}=\frac{% 1-x+(x+1)}{(1-x)^{2}}=\frac{2}{(1-x)^{2}}\,.

O sinal de $f^{\prime}$ dá logo a tabela de variação de $f$ :

(Indicamos o fato de $x=1$ ser uma assíntota vertical.) Assim, $f$ não possui pontos críticos, e é crescente nos intervalos $(-\infty,1)$ e $(1,\infty)$ . A segunda derivada se calcula facilmente (para $x\neq 0$ ):

f^{\prime\prime}(x)=2((1-x)^{-2})^{\prime}=2(-2)(1-x)^{-3}(-1)=\frac{4}{(1-x)^% {3}}\,.

Esta muda de sinal em $x=1$ , e permite descrever a convexidade de $f$ :

Isto é, $f$ é convexa em $(-\infty,1)$ , côncava em $(1,\infty)$ . Assim, o gráfico é da forma

Exemplo 8.5.

Estudemos agora a função $f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$ . O seu domínio é $D=\mathbb{R}$ , e o seu sinal: $f(x)$ é $\geq 0$ se $|x|\geq 1$ , $<0$ caso contrário. Como $f(-x)=\frac{(-x)^{2}-1}{(-x)^{2}+1}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}=f(x)$ , $f$ é par. Como

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1-\tfrac% {1}{x^{2}}}{1+\tfrac{1}{x^{2}}}=1\,,

a reta $y=1$ é assíntota horizontal. Não tem assíntotas verticais (o denominador não se anula em nenhum ponto). A primeira derivada é dada por $f^{\prime}(x)=\frac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}$ . Logo,

O mínimo local (que é global também) tem coordenada $(0,f(0))=(0,-1)$ . A segunda derivada é dada por $f^{\prime\prime}(x)=\frac{4(1-3x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}$ , logo:

Os pontos de inflexão estão em $(\tfrac{-1}{\sqrt{3}},f(\tfrac{-1}{\sqrt{3}}))=(\tfrac{-1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1% }{2})$ , e $(\tfrac{+1}{\sqrt{3}},f(\tfrac{+1}{\sqrt{3}}))=(\tfrac{+1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1% }{2})$ . Finalmente,

Exercício 8.6.

Faça um estudo completo das seguintes funções.

1.

$\bigl{(}\frac{x-1}{x}\bigr{)}^{2}$ (Segunda prova, primeiro semestre 2011)
2.

$x(\ln x)^{2}$ (Segunda prova, primeiro semestre 2010)

Exercício 8.7.

(Segunda prova, segundo semestre de 2011) Para $f(x){:=}\frac{x^{2}-4}{x^{2}-16}$ , estude: o sinal, os zeros, as assíntotas (se tiver), a variação, e a posição dos pontos de mín./máx. (se tiver). A partir dessas informações, monte o gráfico de $f$ . Em seguida, complete a sua análise com a determinação dos intervalos em que $f$ é convexa/côncava.

Exercício 8.8.

Faça um estudo completo das funções abaixo:

1.

$x+\frac{1}{x}$
2.

$x+\frac{1}{x^{2}}$
3.

$\frac{1}{x^{2}+1}$
4.

$\frac{x}{x^{2}-1}$
5.

$xe^{-x^{2}}$
6.

$\operatorname{senh}x$
7.

$\cosh x$
8.

$\tanh x$
9.

$\frac{x^{3}-1}{x^{3}+1}$ ,
10.

$\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)-\operatorname{sen}(x)$ ,
11.

$\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$
12.

$\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-2}$

Exercício 8.9.

Faça um estudo completo das seguintes funções.

1.

$\ln|2-5x|$
2.

$\ln(\ln x)$
3.

$e^{-x}(x^{2}-2x)$ .
4.

$\sqrt[x]{x}$ .
5.

$\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$
6.

$\frac{\ln x-2}{(\ln x)^{2}}$
7.

$\ln(e^{2x}-e^{x}+3)$
8.

$(e^{|x|}-2)^{3}$
9.

$\frac{e^{x}}{e^{x}-x}$
10.

$\operatorname{arcos}(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}})$
11.

$\sqrt[5]{x^{4}(x-1)}$