Apêndice A Somas úteis

(a+b)n=∑j=0n(nj)⁢aj⁢bn−j\displaystyle(a+b)^{n}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}a^{j}b^{n-j} a,b∈ℝ,n∈ℕ0\displaystyle a,b\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}_{0}
∑n=0∞xn=11−x\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x} 0<x<1\displaystyle 0<x<1
∑n=0∞n⁢xn−1=1(1−x)2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}} 0<x<1\displaystyle 0<x<1
∑n=0∞n⁢(n−1)⁢xn−2=2(1−x)3\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)x^{n-2}=\frac{2}{(1-x)^{3}} 0<x<1\displaystyle 0<x<1
∑n=0∞n⁢(n−1)⁢(n−2)⁢xn−3=3!(1−x)4\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)(n-2)x^{n-3}=\frac{3!}{(1-x)^{4}} 0<x<1\displaystyle 0<x<1
∑k=0∞xkk!=ex\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}=e^{x} x∈ℝ\displaystyle x\in\mathbb{R}
∑k=1nk=n⁢(n+1)2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2} n∈ℕ\displaystyle n\in\mathbb{N}
∑k=1nk2=n⁢(n+1)⁢(2⁢n+1)6\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} n∈ℕ\displaystyle n\in\mathbb{N}

As cinco primeiras são: teorema binomial, série geométrica, derivada da série geométrica, segunda derivada da série geométrica, terceira derivada da série geométrica. Acontece que é legítimo diferenciar uma série da forma ∑nan⁢xn\sum_{n}a_{n}x^{n} termo a termo, mas não estamos preocupados com os detalhes de por que isso é verdade.

A quinta é a chamada "série de Taylor"da função exponencial. Para verificar se a fórmula faz sentido, observe que ambos os lados resultam em 11 para x=0x=0 e cada lado é igual à sua própria derivada. Esses dois fatos implicam que ambos os lados são iguais para todos os valores de xx, mas não estamos preocupados com os detalhes disso.

As duas últimas fórmulas, uma vez escritas, podem ser provadas por indução (suponha que sejam corretas para um certo valor de nn, mostre que são corretas para n+1n+1). Se você está curioso sobre como essas fórmulas surgiram, elas podem ser derivadas fazendo inicialmente um palpite educado de que devem ser representadas por polinômios um grau maior do que o termo somado e, em seguida, usando os dois ou três primeiros termos para escrever um sistema de equações para os coeficientes.