1 Espaços de probabilidade uniforme

1.1 Probabilidade em termos de conjuntos e funções

Considere o seguinte experimento: uma caixa contém 4 bolas vermelhas, 6 bolas azuis e 10 bolas verdes. Escolhemos uma bola aleatoriamente. Qual é a probabilidade de essa bola ser vermelha? Aprendemos na escola que isso deveria ser o número de bolas vermelhas sobre o número total de bolas, ou seja, $\frac{4}{20}=0.2=20\%$ , e isso é de fato verdade sob certas suposições. Para entender as suposições que implicitamente fazemos ao realizar esse cálculo, fazemos as seguintes perguntas:

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O que é uma probabilidade como objeto matemático?
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Que outras perguntas poderíamos fazer sem alterar o experimento?
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A resposta seria a mesma se algumas bolas fossem mais difíceis de segurar (por exemplo, se tivessem tamanhos diferentes)?

Observe que quando perguntamos sobre uma probabilidade, precisamos determinar o evento cuja probabilidade nos interessa - enquanto a probabilidade de um evento específico (por exemplo, ’a bola é vermelha’) é um número no intervalo de $[0,1]$ , a probabilidade em si é um mapeamento que associa a cada evento um número.

Há três possíveis resultados para este experimento: vermelho, azul e verde. Chamamos o conjunto de todos os resultados possíveis de espaço amostral, normalmente representado por $\Omega$ . Como objeto matemático, $\Omega$ é qualquer conjunto não vazio - neste caso, $\Omega={vermelho,azul,verde}$ .

No entanto, podemos fazer outras perguntas também. Por exemplo, podemos perguntar qual é a probabilidade de ’a bola ser azul ou verde’ (o que seria equivalente a ’a bola não ser vermelha’). Em palavras, um evento é uma afirmação na qual você pode determinar se é verdadeira ou não após ver o resultado do experimento. Neste caso, todos os eventos possíveis são:

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’A bola não é de nenhuma das três cores ou de qualquer outra cor’ - matematicamente, isso será representado pelo conjunto vazio $\emptyset$ , já que não contém nenhum dos resultados possíveis.
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’A bola é vermelha’ - representado por ${vermelho}$
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’A bola é azul’ - representado por ${azul}$
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’A bola é verde’ - representado por ${verde}$
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’A bola é ou vermelha ou azul’ - representado por ${vermelho,azul}$
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’A bola é ou vermelha ou verde’ - representado por ${vermelho,verde}$
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’A bola é ou azul ou verde’ - representado por ${azul,verde}$
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’A bola é qualquer uma das cores vermelha, azul ou verde’ - representado por ${vermelho,azul,verde}=\Omega$ .

Desta lista exaustiva, fica claro que todos os eventos são subconjuntos de $\Omega$ e, de fato, neste caso pelo menos, todos os subconjuntos de $\Omega$ são eventos. Chamamos a coleção de todos os eventos de espaço de eventos (ou, mais formalmente, $\sigma$ -álgebra), normalmente representado por $\mathcal{F}$ . Como objeto matemático, isso é uma coleção de subconjuntos do espaço amostral - veremos mais tarde que essa coleção deve satisfazer certas propriedades, mas por enquanto, supomos que ela inclui todos os subconjuntos, então $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$ , onde $\mathcal{P}$ denota o conjunto das partes (a coleção de todos os subconjuntos).

Já argumentamos que a probabilidade, normalmente representada por $\mathbb{P}$ , é um mapeamento do espaço de eventos para números em $[0,1]$ - o representamos como $\mathbb{P}:\mathcal{F}\to[0,1]$ . No entanto, com base em nossa intuição, esperamos que:

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$\mathbb{P}(\emptyset)=0$
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$\mathbb{P}({vermelho})=0,2$
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$\mathbb{P}({azul})=0,3$
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$\mathbb{P}({verde})=0,5$
•

$\mathbb{P}({vermelho,azul})=0,5$
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$\mathbb{P}({vermelho,verde})=0,7$
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$\mathbb{P}({azul,verde})=0,8$
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$\mathbb{P}({vermelho,azul,verde})=1$ .

Quais suposições implícitas estamos fazendo ao fazer esses cálculos, com base em nossa intuição?

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A probabilidade do evento $\emptyset$ , que não inclui nenhum resultado, deve ser 0.
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A probabilidade do evento $\Omega$ , que inclui todos os resultados, deve ser 1.
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Quando um evento pode ser decomposto na união de dois eventos disjuntos, sua probabilidade deve ser a soma das duas probabilidades, por exemplo, $\mathbb{P}({vermelho,azul})=\mathbb{P}({vermelho})+\mathbb{P}({azul})$ .

Essas são propriedades fundamentais que um mapeamento de probabilidade deve ter.

In conclusion, the triplet $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ of sample space $\Omega$ , event space $\mathcal{F}$ and probability $\mathbb{P}$ form what is called a probability space.

Em conclusão, o trio $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , composto pelo espaço amostral $\Omega$ , espaço de eventos $\mathcal{F}$ e probabilidade $\mathbb{P}$ , forma o que é chamado de um espaço de probabilidade.

1.2 Espaço de Probabilidade Uniforme

No exemplo anterior, a maneira como postulamos a probabilidade de cada cor tinha uma suposição implícita: que todas as bolas têm a mesma chance de serem escolhidas. Essa é uma suposição correta se as bolas têm o mesmo peso, tamanho, textura, etc.

E se, em vez de serem coloridas em vermelho, verde ou azul, as bolas fossem numeradas de 1 a 20? Sob a mesma suposição (que as bolas têm o mesmo peso, tamanho, textura, etc.), teríamos

\Omega=\{vermelho_{1},\dots,vermelho_{4},azul_{1},\dots,azul_{6},verde_{1},% \dots,verde_{10}\}

e $\mathbb{P}$ seria tal que cada bola teria a mesma chance de ser escolhida, ou seja, cada elemento $\omega\in\Omega$ teria a mesma chance. Então, o evento ’a bola é vermelha’ corresponderia ao evento $A=\{vermelho_{1},\dots,vermelho_{4}\}$ e intuitivamente esperaríamos que a probabilidade de obter uma bola vermelha fosse igual a $\frac{4}{20}$ , onde $4$ é o número de elementos em $A$ (e bolas vermelhas) e $20$ é o número de todos os resultados possíveis.

Quando cada resultado é igualmente provável, temos um espaço de probabilidade uniforme.

Definição 1.1.

Um espaço de probabilidade uniforme é definido como o trio $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , onde

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$\Omega$ (o espaço amostral) é um conjunto finito não vazio de todos os resultados possíveis do experimento;
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$\mathcal{F}$ (o espaço de eventos) é a coleção de todos os eventos, dada pelo conjunto de potências $\mathcal{P}(\Omega)$ de $\Omega$ ;

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$\mathbb{P}:\mathcal{F}\to[0,1]$ é um mapeamento do espaço de eventos para $[0,1]$ , satisfazendo


	$\displaystyle\hskip 8.5359pt-\,\mathbb{P}(\emptyset)=0,\mathbb{P}(\Omega)=1\,,$		(1.2a)
	$\displaystyle\hskip 8.5359pt-\,\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)% \,,\text{ para todo }A,B\in\mathcal{F}\text{ tal que }A\cap B=\emptyset% \phantom{-----}$
	(aditividade finita)		(1.2b)
	$\displaystyle\hskip 8.5359pt-\,\mathbb{P}(\{\omega\})=\mathbb{P}(\{\tilde{% \omega}\})\text{ para todo }\omega,\tilde{\omega}\in\Omega\qquad\text{(% uniforme)}$		(1.2c)

Como resultado da suposição uniforme, calcular a probabilidade de qualquer evento se resume a calcular a cardinalidade do evento. Lembre-se de que um evento é um conjunto (um subconjunto do espaço amostral $\Omega$ ) - a cardinalidade de um conjunto é o número de seus elementos. Para um conjunto $A\subseteq\Omega$ , ele é denotado por $|A|$ .

Para definir formalmente a cardinalidade, primeiro precisamos definir uma correspondência um a um entre dois conjuntos: dados dois conjuntos $A$ e $B$ , dizemos que eles estão em uma correspondência um a um se existir um mapa bijetivo entre eles, ou seja, uma função $f:A\to B$ que seja tanto injetiva quanto sobrejetiva.

Definição 1.3.

Um conjunto $A$ possui cardinalidade $n\in\mathbb{N}$ se estiver em uma correspondência um a um com $\{1,2,\dots,n\}$ e $A$ possui cardinalidade $0$ se $A=\emptyset$ .

Proposição 1.4.

Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade uniforme. Então, para todo $\omega\in\Omega$

\mathbb{P}(\{\omega\})=\frac{1}{|\Omega|}\,,

(1.5)

e para todo $A\subseteq\Omega$ ( $A\in\mathcal{F}$ )

\mathbb{P}(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\,.

(1.6)

Demonstração.

Uma vez que $\forall\,\omega_{1},\omega_{2}\in\Omega$ , $\mathbb{P}(\{\omega_{1}\})=\mathbb{P}(\{\omega_{2}\})$ , seja $p\in[0,1]$ tal que

p:=\mathbb{P}(\{\omega\})\quad\forall\,\omega\in\Omega\,.

(1.7)

Uma vez que $\mathbb{P}$ é uma medida de probabilidade

	$\displaystyle 1=\mathbb{P}(\Omega)$	$\displaystyle={\sum_{\omega\in\Omega}\mathbb{P}(\{w\})]}\quad\text{por \eqref{% fin_ad}}$ 1.2b)\displaystyle={\sum_{\omega\in\Omega}\mathbb{P}(\{w\})]}\quad\text{por \eqref{% fin_ad}}		(1.8)
		$\displaystyle={\sum_{\omega\in\Omega}p=p\sum_{\omega\in\Omega}1=p\|\Omega\|\,.}$		(1.9)

Portanto

p=\frac{1}{|\Omega|}\,.

(1.10)

demonstrando (1.5). Vemos que (1.6) segue de (1.2b), pois

	$\displaystyle\mathbb{P}(A)$	$\displaystyle=\sum_{\omega\in A}\mathbb{P}(\{\omega\}),\quad\text{por \eqref{% fin_ad}}$ 1.2b)\displaystyle=\sum_{\omega\in A}\mathbb{P}(\{\omega\}),\quad\text{por \eqref{% fin_ad}}		(1.11)
		$\displaystyle=\sum_{\omega\in A}p=p\sum_{\omega\in A}1=p\|A\|=\frac{\|A\|}{\|\Omega% \|}\,.\qed$		(1.12)

Exercício 1.1.

Considere uma urna com 50 bolas numeradas de 1 a 50. Suponha que elas sejam sorteadas uniformemente ao acaso. Após definir um espaço de probabilidade adequado, determine a probabilidade de que a primeira bola sorteada mostre um número divisível por 12.

Solução: Defina $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ da seguinte forma: $\Omega=\{1,2,3,\dots,50\}$ , $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$ e $\mathbb{P}$ a medida de probabilidade uniforme. Então, o evento em questão é

E=\{12,24,36,48\}\,.

(1.13)

Pela Proposição 1.6 (1.6),

\mathbb{P}(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}=\frac{4}{50}=\frac{2}{25}\,.

(1.14)