3 Espaços de Probabilidade

Na seção 1.2, definimos um espaço de probabilidade uniforme como o triplete $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , onde $\Omega$ é um conjunto finito, $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$ e $\mathbb{P}:\mathcal{F}\to[0,1]$ satisfaz as propriedades (1.2a) - (1.2c). Agora, vamos generalizar o conceito de espaço de probabilidade para permitir o seguinte:

•

Espaços amostrais arbitrários $\Omega$ .
•

Espaços de eventos que refletem informações parciais - não é necessário, e às vezes nem é possível, que $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$ .
•

Probabilidade definida em um espaço de eventos geral.

3.1 Espaço amostral e espaço de eventos

Definição 3.1.

Um espaço amostral $\Omega$ é o conjunto de todos os possíveis resultados de um processo aleatório (ou experimento), ou seja, um processo cujo resultado não pode ser determinado antecipadamente. Pode ser qualquer conjunto.

Exemplo 3.2.

Qual é o espaço amostral correspondente aos seguintes processos?

•

O lançamento de uma moeda: $\Omega=\{Cara,Coroa\}$ .
•

O lançamento de um dado: $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ .
•

O número de e-mails enviados por um endereço @google.com em um ano: $\Omega=\mathbb{N}$ .
•

O peso de uma maçã: $\Omega=[0,1]$ .
•

A posição de um dardo lançado em um tabuleiro quadrado de tamanho 1: $\Omega=[0,1]\times[0,1]$ .
•

O preço das ações do Twitter em um ano: $\Omega=\mathbb{R}$ .
•

As flutuações de temperatura em Coventry em 2023: neste caso, o espaço amostral é uma função completa, mapeando o tempo $t$ para um número em $[-50,50]$ .
•

O estado do mundo em um ano! Neste caso, o espaço amostral não pode ser descrito, mas existe como conceito e pode ser parcialmente observado por meio de sua interação com processos que podem ser medidos (por exemplo, afetará as taxas de juros ou o número de internações hospitalares em um determinado dia no futuro, a frequência de eventos climáticos extremos, etc).

Observação 1.

Embora $\Omega$ possa ser qualquer conjunto em teoria, em ST120, consideraremos apenas os casos em que a cardinalidade de $\Omega$ é igual a $n$ , para algum $n\in\mathbb{N}$ (espaço amostral finito), $|\Omega|=|\mathbb{N}|$ (espaço amostral contável) ou $|\Omega|=|\mathbb{R}|$ (espaço amostral não contável ou contínuo - para incluir intervalos ou produtos cartesianos de $\mathbb{R}$ e seus intervalos).

Como já vimos no caso do espaço de probabilidade uniforme, eventos são subconjuntos de $\Omega$ . Mais geralmente, um evento é um subconjunto de $\Omega$ quando é possível dizer se algum resultado dado pertence ao conjunto (ou seja, ’o evento ocorreu’) ou não, dadas as informações que temos sobre o resultado - observe que nem sempre temos informações completas sobre o resultado e o espaço de eventos reflete as informações que temos. O exemplo a seguir demonstra exatamente essa propriedade do espaço de eventos.

Exemplo 3.3.

Suponha que eu lance um dado ( $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ ) e relato as seguintes informações a dois alunos: eu digo a James se o resultado é um número par ou não, e digo a Lily o quociente de $(\omega-1)$ dividido por dois (ou seja, relato $0$ para $\{1,2\}$ , $1$ para $\{3,4\}$ e $2$ para $\{5,6\}$ ). Quais são os espaços de eventos correspondentes?

James só sabe se o resultado é ímpar ou par, então ele só pode dizer se pertence a $\{1,3,5\}$ ou $\{2,4,6\}$ . Já que, pela construção de $\Omega$ , todos os resultados estão em $\Omega$ , ele também pode dizer que o resultado está em $\Omega$ e não em $\emptyset$ - observe que tanto $\emptyset$ quanto $\Omega$ são subconjuntos de $\Omega$ . Portanto, a coleção de eventos (ou seja, o espaço de eventos) correspondente às informações que James possui é

\mathcal{F}_{J}=\left\{\emptyset,\{1,3,5\},\{2,4,6\},\Omega\right\}.

(Pense sobre o motivo pelo qual James não pode afirmar com certeza se o resultado está em outro subconjunto).

Com base nas informações fornecidas a ela, Lily poderá dizer se o resultado está em $\{1,2\},\{3,4\}$ ou $\{5,6\}$ . Ela também pode dizer se o resultado estará em $\{1,2,3,4\},\{1,2,5,6\}$ ou $\{3,4,5,6\}$ (por exemplo, $\{1,2,3,4\}$ corresponde ao número informado a Lily sendo $0$ ou $1$ ) e ela pode dizer, por padrão, que o resultado estará em $\Omega$ e não em $\emptyset$ (o $\emptyset$ é definido como o complemento de $\Omega$ em relação a $\Omega$ , então todos os pontos em $\Omega$ que não estão em $\Omega$ , que é, é claro, nenhum! É mais fácil pensar nisso como o evento em que o resultado não está no espaço amostral do que no evento em que nada acontece). Portanto, o espaço de eventos correspondente às informações fornecidas a Lily é

\mathcal{F}_{L}=\left\{\emptyset,\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\},\{1,2,3,4\},\{1,2,5,6% \},\{3,4,5,6\},\Omega\right\}.

Observe que há redundância na forma como as informações são codificadas no espaço de eventos - a informação corresponde a saber simultaneamente a resposta para ’o evento ocorreu ou não’ para todos os eventos no espaço de eventos, mas saber, por exemplo, que tanto $\{1,2\}$ quanto $\{1,2,3,4\}$ aconteceram nos permite deduzir a resposta para tudo o mais. Que suposição estamos fazendo que nos permite dizer isso?

Se $A$ e $B$ são eventos, de acordo com nossa intuição, esperamos que o seguinte também sejam eventos:

•

$A\cap B$ (Ambos $A$ e $B$ aconteceram).
•

$A\cup B$ (Ou $A$ ou $B$ aconteceu).
•

$A^{c}$ ( $A$ não aconteceu).
•

$A\setminus B=A\cap B^{c}$ ( $A$ aconteceu, mas $B$ não aconteceu).

Notação.

Quando escrevemos $A^{c}$ , implicitamente estamos considerando o complemento em relação a um espaço amostral dado $\Omega$ . Uma notação mais explícita é escrever $\Omega\setminus A$ .

Portanto, gostaríamos que o espaço de eventos fosse fechado sob as operações de união, interseção, complemento e diferença (quando dizemos que um conjunto é fechado sob uma operação, queremos dizer que, se aplicarmos a operação a quaisquer elementos do conjunto, o resultado ainda estará no conjunto). Será que isso é suficiente? Vamos considerar o seguinte

Exemplo 3.4.

Considere o caso em que $\Omega=\mathbb{N}$ (ou seja, qualquer número natural pode ser o resultado do processo aleatório que consideramos) e suponha que temos informações suficientes para dizer se o evento $\{n\}$ aconteceu ou não, para qualquer $n\in\mathbb{N}$ . De acordo com nossa intuição, se podemos dizer se qualquer resultado $\omega$ pertence a qualquer conjunto $\{n\}$ ou não (o que você pode dizer para $\omega$ quando $\omega\in\{n\}$ ?), então também deveríamos ser capazes de dizer se $\omega\in\{2n|n\in\mathbb{N}\}$ ou não, ou seja, deveríamos ser capazes de dizer se $\omega$ é par. Portanto, esperamos

\bigcup_{n=0}^{\infty}\{2n\}=\{2n|n\in\mathbb{N}\}

estar no espaço de eventos. Agora estamos fazendo a suposição de que o espaço de eventos não é apenas fechado para uniões, mas também para uniões de conjuntos contáveis (ou seja, infinitos, mas com cardinalidade igual a $|\mathbb{N}|$ ).

Seguindo nossa intuição, definimos o espaço de eventos da seguinte forma

Definição 3.5.

Seja $\Omega$ o espaço amostral e $\mathcal{F}$ uma coleção de subconjuntos de $\Omega$ . $\mathcal{F}$ é um espaço de eventos (também chamado de $\sigma$ -álgebra) se satisfaz as seguintes condições:

(a)

$\Omega\in\mathcal{F}$ .
(b)

se $A\subseteq\Omega$ , $A\in\mathcal{F}\Rightarrow A^{c}\in\mathcal{F}$ ( $\mathcal{F}$ é fechado sob complementos).
(c)

se $\{A_{n}:n\in\mathbb{N}\}$ é tal que $A_{n}\in\mathcal{F}$ $\forall\,n$ , então

$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\in\mathcal{F}\,.$ (3.6)

( $\mathcal{F}$ é fechado sob uniões contáveis.)

Exercício 3.1.

Seja $\Omega$ um conjunto não vazio e $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$ , ou seja, o conjunto de todos os subconjuntos de $\Omega$ . Então, $\mathcal{F}$ é um espaço de eventos em $\Omega$ .

Solução.

Precisamos mostrar que $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$ satisfaz as três propriedades da 3.5.

(a)

$\Omega\subseteq\Omega$ e, portanto, $\Omega\in\mathcal{P}(\Omega)=\mathcal{F}$ .
(b)

Suponha que $A\subseteq\Omega$ , $A\in\mathcal{F}$ . Então, $A^{c}=\Omega\setminus A\subseteq\Omega$ . Assim, $A^{c}\in\mathcal{P}(\Omega)=\mathcal{F}$ .
(c)

Suponha que $A_{n}$ são tais que $A_{n}\subseteq\Omega$ , $\forall n\in\mathbb{N}$ . Então

$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}\Omega=\Omega% \Rightarrow\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\in\mathcal{P}(\Omega)=\mathcal{F}\,.$ (3.7)

Exercício 3.2.

Seja $A\subseteq\Omega$ um subconjunto não vazio de $\Omega$ . Então

\{\emptyset,A,A^{c},\Omega\}

(3.8)

é um espaço de eventos em $\Omega$ .

Solução.

Precisamos mostrar que $\{\emptyset,A,A^{c},\Omega\}$ satisfaz as três propriedades da 3.5.

(a)

$\Omega\in\mathcal{F}$ por definição.
(b)

Verificamos que a propriedade é satisfeita para cada evento: $\emptyset^{c}=\Omega\in\mathcal{F}$ , $A^{c}\in\mathcal{F}$ , $(A^{c})^{c}=A\in\mathcal{F}$ , $\Omega^{c}=\emptyset\in\mathcal{F}$ .
(c)
Seja $\{B_{n}:n\in\mathbb{N}\}$ uma sequência de subconjuntos de $\Omega$ tal que $B_{n}\in\mathcal{F}$ $\forall\,n$ . Vamos considerar todas as possibilidades:
- •
  
  Se todos os conjuntos $B_{n}$ forem idênticos e iguais a $B$ (ou seja, $B\in\mathcal{F}$ ), ou existe uma subsequência $B_{n_{k}}$ de conjuntos que são idênticos a $B$ e o restante é todo $\emptyset$ , então $\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}=B\in\mathcal{F}$ .
- •
  
  Se pelo menos um dos conjuntos for o espaço amostral (por exemplo, $B_{i}=\Omega$ , para algum $i\in\mathbb{N}$ ), então
  
  $\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}=\Omega$
  
  e, portanto, $\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}\in\mathcal{F}$ .
- •
  
  Se houver pelo menos um conjunto $A$ e um conjunto $A^{c}$ , então
  
  $\Omega=A\cup A^{c}\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}\subseteq\Omega,$
  
  onde o último relacionamento segue do fato de que todos os eventos são subconjuntos de $\Omega$ . Portanto, $\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}=\Omega$ e, assim, $\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}\in\mathcal{F}$ .

Proposição 3.9.

Seja $\mathcal{F}$ um espaço de eventos em $\Omega$ . Então

(a)

$\mathcal{F}$ é fechado sob uniões finitas.
(b)

$\mathcal{F}$ é fechado sob interseções finitas.
(c)

$\mathcal{F}$ é fechado sob interseções contáveis.

Demonstração.

(a)

Sejam $A_{1},\dots,A_{n}\in\mathcal{F}$ . Defina $A_{j}=\emptyset\in\mathcal{F}\,\,\forall\,\,j>n$ , portanto $A_{n}\in\mathcal{F}\,\forall\,n\geqslant 1$ . Como os conjuntos vazios não contribuirão para a união, podemos mostrar que

$\bigcup_{j=1}^{n}A_{j}=\bigcup_{j=1}^{\infty}A_{j}\in\mathcal{F},$

pois $\mathcal{F}$ é fechado sob uniões contáveis.
(b)

Sejam $A_{1},\dots,A_{n}\in\mathcal{F}$ . Queremos mostrar que $\bigcap_{j=1}^{n}A_{j}\in\mathcal{F}$ . Pela lei de De Morgan (mostrando que cada elemento de um conjunto precisa pertencer ao outro conjunto também)

$\bigcap_{j=1}^{n}A_{j}=\left(\bigcup_{j=1}^{n}A_{j}^{c}\right)^{c}.$

Como o espaço de eventos $\mathcal{F}$ é fechado sob complementos, $A_{j}^{c}\in\mathcal{F}$ , para todo $j=1,\dots,n$ . Como é fechado sob uniões finitas (afirmação 1 da proposição, mostrada acima),

$\bigcup_{j=1}^{n}A_{j}^{c}\ \in\mathcal{F}$

Ao tomar o complemento mais uma vez, segue que $\bigcap_{j=1}^{n}A_{j}\in\mathcal{F}$ .
(c)

A prova é semelhante à da afirmação 2 acima, observando que a lei de De Morgan também vale para uniões e interseções contáveis. Ou seja, podemos escrever

$\bigcap_{j=1}^{\infty}A_{j}=\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_{j}^{c}\right)^{c}.$

∎

3.2 Probabilidade

O último elemento da tripla do espaço de probabilidade é a medida de probabilidade $\mathbb{P}$ . Na definição 1.1 do espaço de probabilidade uniforme, definimos a medida de probabilidade como uma função do espaço de eventos para $[0,1]$ , de modo que a probabilidade do evento $\Omega$ (‘o resultado está no espaço amostral’) é $1$ e para dois eventos disjuntos $A,B$ , $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)$ – a última propriedade pode ser generalizada por indução para a aditividade finita: se $A_{1},\dots,A_{n}$ são eventos disjuntos, então

\mathbb{P}(\bigcup_{i=1}^{n}A_{k})=\sum_{k=1}^{n}\mathbb{P}(A_{k}).

Isso é suficiente para espaços de probabilidade infinitos? Vamos considerar o seguinte

Exemplo 3.10.

Seja $\Omega=\mathbb{N}^{*}=\{1,2,\dots\}$ o conjunto dos números naturais positivos e $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$ . Suponha que $\mathbb{P}(\{n\})=\frac{1}{2^{n}}$ , para todo $n\geqslant 1$ . O que esperaríamos que o evento $\{2n|n\geqslant 1\}$ (‘o resultado é um número par’) seja?

Intuitivamente, somaríamos as probabilidades correspondentes ao resultado ser par, ou seja,

\mathbb{P}(\{2n|n\geqslant 1\})=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(\{2n\})=\sum_{n=% 1}^{\infty}\frac{1}{2^{2n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}}=\frac{1}{3}.

(Note que o evento $\{n\}$ corresponde a ‘o resultado é $n$ ’). O cálculo acima não pode ser justificado, a menos que estendamos a propriedade da aditividade finita para valer também para uniões contáveis de eventos disjuntos. De fato, é isso que fazemos!

Definição 3.11 (Medida de Probabilidade).

Dado um espaço amostral $\Omega$ e um espaço de eventos $\mathcal{F}$ , uma função $\mathbb{P}:\mathcal{F}\to\mathbb{R}$ é chamada de medida de probabilidade se satisfaz

(a)

$\mathbb{P}(B)\in[0,1]$ para todo $B\in\mathcal{F}$ ;
(b)

$\mathbb{P}(\Omega)=1$ ;
(c)

(Aditividade Contável) Para todo $A_{n}\in\mathcal{F},\ n\geqslant 1$ eventos disjuntos (ou seja, para todos $m,n\geqslant$ tais que $m\neq n$ , $A_{m}\cap A_{n}=\emptyset$ ,

$\mathbb{P}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{% P}(A_{n}).$ (3.12)

Nós agora apresentamos a definição de um espaço de probabilidade abstrato.

Definição 3.13.

Um espaço de probabilidade é definido como o triplo $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , onde

•

$\Omega$ (o espaço amostral) é o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento (sempre assumimos que não é vazio);
•

$\mathcal{F}$ é um espaço de eventos de subconjuntos de $\Omega$ .
•

$\mathbb{P}$ é uma medida de probabilidade em $\mathcal{F}$ .

Proposição 3.14.

Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade. Então, $\mathbb{P}$ possui as seguintes propriedades

(a)

Se $A,B\in\mathcal{F}$ tal que $A\subseteq B$ , então

$\mathbb{P}(B-A)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A).$

Observe que $B-A=B\cap A^{c}$ e deve ser interpretado como ’todos os elementos de $B$ que não estão em $A^{\prime}$ .
(b)

Para todo $A\in\mathcal{F}$ ,

$\mathbb{P}(A^{c})=1-\mathbb{P}(A).$
(c)

$\mathbb{P}(\emptyset)=0$ .

Demonstração.

(a)

Escrevemos $B$ como a união do conjunto com todos os elementos em $B$ que não estão em $A$ e aqueles que estão, ou seja, $B=(B-A)\cup A$ . Pela aditividade finita,

$\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}((B-A)\cup A)=\mathbb{P}(B-A)+\mathbb{P}(A),$

o que prova a afirmação.
(b)

Usando a propriedade acima,

$\mathbb{P}(A^{c})=\mathbb{P}(\Omega-A)=\mathbb{P}(\Omega)-\mathbb{P}(A)=1-% \mathbb{P}(A).$
(c)

$\mathbb{P}(\emptyset)=\mathbb{P}(\Omega^{c})=1-\mathbb{P}(\Omega)=1-1=0.$

∎

Podemos usar a aditividade contável para calcular a probabilidade de uma união de eventos disjuntos. Como podemos calcular a probabilidade de qualquer união de eventos? A seguinte proposição nos fornece uma maneira de fazer isso.

Proposição 3.15 (Fórmula de Inclusão-Exclusão).

Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade. Então, para qualquer coleção finita $A_{1},\dots,A_{n}$ de eventos em $\mathcal{F}$ , temos

\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\sum_{1% \leqslant i_{1}<\dots<i_{k}\leqslant n}\mathbb{P}(A_{i_{1}}\cap\dots\cap A_{i_% {k}})\,.

(3.16)

Observação 2.

A fórmula 3.16 acima usa uma notação concisa e não é imediatamente fácil de interpretar. Para entendê-la melhor, vamos considerar alguns casos específicos.

•

$n=2$

$\displaystyle\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=1}^{2}A_{k}\right)$	$\displaystyle=\sum_{k=1}^{2}(-1)^{k-1}\sum_{1\leqslant i_{1}<\dots<i_{k}% \leqslant 2}\mathbb{P}(A_{1}\cap\dots\cap A_{k})$	(3.17)
	$\displaystyle=\sum_{1\leqslant i\leqslant 2}\mathbb{P}(A_{i})-\sum_{1\leqslant i% _{1}<i_{2}\leqslant 2}\mathbb{P}(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}})$	(3.18)
	$\displaystyle=\mathbb{P}(A_{1})+\mathbb{P}(A_{2})-\mathbb{P}(A_{1}\cap A_{2})\,.$	(3.19)

•

$n=3$

$\displaystyle\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=1}^{3}A_{k}\right)$	$\displaystyle=\sum_{k=1}^{3}(-1)^{k-1}\sum_{1\leqslant i_{1}<\dots<i_{k}% \leqslant 3}\mathbb{P}(A_{1}\cap\dots\cap A_{k})$	(3.20)
	$\displaystyle=\sum_{1\leqslant i\leqslant 3}\mathbb{P}(A_{i})-\sum_{1\leqslant i% _{1}<i_{2}\leqslant 3}\mathbb{P}(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}})$	(3.21)
	$\displaystyle\hskip 11.38092pt+\sum_{1\leqslant i_{1}<i_{2}<i_{3}\leqslant 3}% \mathbb{P}(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap A_{i_{3}})$	(3.22)
	$\displaystyle=\mathbb{P}(A_{1})+\mathbb{P}(A_{2})+\mathbb{P}(A_{3})-\mathbb{P}% (A_{1}\cap A_{2})-\mathbb{P}(A_{1}\cap A_{3})$	(3.23)
	$\displaystyle\hskip 11.38092pt-\mathbb{P}(A_{2}\cap A_{3})+\mathbb{P}(A_{1}% \cap A_{2}\cap A_{3})\,.$	(3.24)

Portanto, a soma $\sum_{1\leqslant i_{1}<\dots<i_{k}\leqslant 2}$ deve ser interpretada como a soma de todos os $k$ -uplas $(i_{1},\dots,i_{k})$ de números $\{1,\dots,n\}$ sem repetição (as desigualdades são estritas). Como vimos na seção 2, existem $\binom{n}{k}$ dessas $k$ -uplas, portanto a soma terá $\binom{n}{k}$ parcelas.

Demonstração.

Vamos provar o resultado apenas para $n=2$ (a prova do passo de indução no caso geral é semelhante, mas mais confusa!). Escrevemos

A_{1}\cup A_{2}=(A_{1}-B)\cup B\cup(A_{2}-B),

onde $B=A_{1}\cap A_{2}$ . Os conjuntos $A_{1}-B$ , $B$ e $A_{2}-B$ são todos disjuntos, então podemos escrever

\mathbb{P}(A_{1}\cup A_{2})=\mathbb{P}\left((A_{1}-B)\cup B\cup(A_{2}-B)\right% )=\mathbb{P}(A_{1}-B)+\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(A_{2}-B)

usando a aditividade finita. Sabemos, pela proposição 3.14, que $\mathbb{P}(A_{1}-B)=\mathbb{P}(A_{1})-\mathbb{P}(B)$ e, da mesma forma, $\mathbb{P}(A_{2}-B)=\mathbb{P}(A_{2})-\mathbb{P}(B)$ . Substituindo esses valores na fórmula acima, obtemos

\mathbb{P}(A_{1}\cup A_{2})=(\mathbb{P}(A_{1})-\mathbb{P}(B))+\mathbb{P}(B)+(% \mathbb{P}(A_{2})-\mathbb{P}(B))=\mathbb{P}(A_{1})+\mathbb{P}(A_{2})-\mathbb{P% }(B),

o que comprova a alegação. ∎

Proposição 3.25.

Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade. Se $A,B\in\mathcal{F}$ e $A\subseteq B$ , então

\mathbb{P}(A)\leqslant\mathbb{P}(B)\,.

(3.26)

Demonstração.

Uma vez que $A\subseteq B$ , segue que $\mathbb{P}(B-A)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A)$ ou, equivalentemente, $\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(B-A)\leqslant\mathbb{P}(B)$ , onde a desigualdade decorre do fato de que as probabilidades são sempre não negativas. ∎

Proposição 3.27 (Desigualdade de Boole).

Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade. Se $A_{1},\dots,A_{n}\in\mathcal{F}$ , então

\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right)\leqslant\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}% (A_{i})\quad{\rm(*)}

(3.28)

Demonstração.

Procedemos por indução. Para $n=2$ , observe que

\mathbb{P}(A_{1}\cup A_{2})=\mathbb{P}(A_{1})+\mathbb{P}(A_{2})-\underbrace{% \mathbb{P}(A_{1}\cap A_{2})}_{\geqslant 0}\leqslant\mathbb{P}(A_{1})+\mathbb{P% }(A_{2})\,.

(3.29)

Portanto, (*) vale para $n=2$ . Suponha agora que (*) vale $\forall\,j\leqslant n$ , então precisamos provar que vale para $n+1$ eventos. Seja $A_{1},\dots,A_{n+1}\in\mathcal{F}$ , então, argumentando como acima, temos

$\displaystyle\mathbb{P}\left(\bigcup_{j=1}^{n+1}A_{j}\right)$	$\displaystyle=\mathbb{P}\left(\left(\bigcup_{j=1}^{n}A_{j}\right)\cup A_{n+1}\right)$	(3.30)
	$\displaystyle=\mathbb{P}\left(\bigcup_{j=1}^{n}A_{j}\right)+\mathbb{P}\left(A_% {n+1}\right)-\mathbb{P}\left(\left(\bigcup_{j=1}^{n}A_{j}\right)\cap A_{n+1}\right)$	(3.31)
	$\displaystyle\leqslant\mathbb{P}\left(\bigcup_{j=1}^{n}A_{j}\right)+\mathbb{P}% (A_{n+1})$	(3.32)
	$\displaystyle\leqslant\sum_{j=1}^{n}\mathbb{P}(A_{j})+\mathbb{P}(A_{n+1})=\sum% _{j=1}^{n+1}\mathbb{P}(A_{j})\,.\qed$	(3.33)

Revisão de espaços de probabilidade

$\Omega$ – espaço amostral: elementos $\omega\in\Omega$ são resultados, $\Omega$ é um conjunto não vazio.

$\mathcal{F}$ – espaço de eventos: elementos $A\in\Omega$ são eventos ( $A\subseteq\Omega$ )

Deve satisfazer três condições:

•

$\mathcal{F}\neq\emptyset$
•

$A^{c}\in\mathcal{F}$ para todo $A\in\mathcal{F}$
•

$(\cup_{n=1}^{\infty}A_{n})\in\mathcal{F}$ para toda sequência de eventos $A_{1},A_{2},A_{3},\dots$

Consequências dessas condições:

•

$\Omega\in\mathcal{F}$ (de fato, tome $A\in\mathcal{F}$ , $A\cup A^{c}=\Omega$ )
•

$\emptyset\in\mathcal{F}$ (de fato, $\Omega^{c}=\emptyset$ )
•

$(\cap_{n=1}^{\infty}A_{n})\in\mathcal{F}$ para cada sequência de eventos $A_{1},A_{2},A_{3},\dots$
(de fato, $\cap_{n=1}^{\infty}A_{n}=(\cup_{n=1}^{\infty}A_{n}^{c})^{c}$ )

$\mathbb{P}$ – medida de probabilidade: $\mathbb{P}:\mathcal{F}\to\mathbb{R}$ .

Deve satisfazer três condições:

•

$\mathbb{P}(A)\geqslant 0$ para todo $A\in\mathcal{F}$
•

$\mathbb{P}(\Omega)=1$
•

$\mathbb{P}$ é aditiva contável: $\mathbb{P}(\cup_{n=1}^{\infty}A_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_{n})$
para cada sequência de eventos disjuntos $A_{1},A_{2},A_{3},\dots$

O triplo $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ é chamado de espaço de probabilidade.

Exemplo 3.34 (Espaços de probabilidade uniformes).

$\Omega$ é um conjunto finito, $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$ , $\mathbb{P}(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$ .

Exemplo 3.35.

Não existe um espaço de probabilidade para modelar o experimento "escolher um número inteiro aleatoriamente". Por mais que gostaríamos de dizer que um número inteiro $X$ escolhido aleatoriamente será par com probabilidade $\frac{1}{2}$ e o último dígito em sua representação decimal será $7$ com probabilidade $\frac{1}{10}$ , não existe um espaço de probabilidade que possa modelar isso. Mais precisamente, para $\Omega=\mathbb{Z}$ , $\mathcal{F}=\mathbb{P}(\mathbb{Z})$ , não existe uma medida de probabilidade $\mathbb{P}:\mathcal{F}\to\mathbb{R}$ tal que $\mathbb{P}(\{j\})=\mathbb{P}(\{k\})$ para todos $j,k\in\mathbb{Z}$ . De fato, se $\mathbb{P}(\{j\})>0$ , então $\mathbb{P}(\mathbb{Z})=\sum{x\in\mathbb{Z}}\mathbb{P}(\{x\})=+\infty$ , e se $\mathbb{P}(\{j\})=0$ , então $\mathbb{P}(\mathbb{Z})=\sum{x\in\mathbb{Z}}\mathbb{P}(\{x\})=0$ , e em ambos os casos $\mathbb{P}$ viola os requisitos para ser uma medida de probabilidade, ou seja, $\mathbb{P}(\mathbb{Z})=1$ .