17 Momentos e funções geradoras de momentos

Definição 17.1.

Dada uma variável aleatória $X$ , definimos a função geradora de momentos de $X$ como a função $M_{X}$ dada por

M_{X}(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]

para os valores de $t$ para os quais $e^{tX}$ é integrável.

Exemplo 17.2 (Geométrica).

Se $X\sim\mathrm{Geom}(p)$ , então

\displaystyle M_{X}(t)

\displaystyle=\sum_{n=1}^{\infty}e^{tn}p(1-p)^{n-1}=\begin{cases}\frac{p}{e^{-% t}+p-1},&t<\ln\tfrac{1}{1-p},\\ +\infty,&t\geqslant\ln\tfrac{1}{1-p}.\end{cases}

Exemplo 17.3 (Poisson).

Se $X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$ , então

\displaystyle M_{X}(t)

\displaystyle=\sum_{n=0}^{\infty}e^{tn}\frac{e^{-\lambda}\lambda^{n}}{n!}=e^{-% \lambda}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\lambda e^{t})^{n}}{n!}=e^{-\lambda}e^{% \lambda e^{t}}=e^{\lambda(e^{t}-1)}.

Exemplo 17.4 (Normal).

Seja $X$ uma variável aleatória normal com parâmetros $\mu$ e $\sigma^{2}$ , ou seja,

f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\cdot e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{% 2}}},\quad x\in\mathbb{R}.

A função geradora de momentos de $X$ pode ser calculada da seguinte forma:

$\displaystyle M_{X}(t)$	$\displaystyle=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\cdot f_{X}(x)\;\mathrm{d}x$
	$\displaystyle=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}% }\cdot e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\;\mathrm{d}x$
	$\displaystyle=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\cdot\exp% \left\{-\frac{1}{2\sigma^{2}}[(x-\mu)^{2}-2\sigma^{2}tx]\right\}\;\mathrm{d}x$	(17.5)

Agora, completamos o quadrado:

	$\displaystyle(x-\mu)^{2}-2\sigma^{2}tx$	$\displaystyle=x^{2}-2(\mu+\sigma^{2}t)\cdot x+\mu^{2}$
		$\displaystyle=x^{2}-2(\mu+\sigma^{2}t)\cdot x+\mu^{2}\;\pm(2\mu\sigma^{2}t+% \sigma^{4}t^{2})$
		$\displaystyle=(x-\mu-\sigma^{2}t)^{2}-2\mu\sigma^{2}t-\sigma^{4}t^{2}.$

Isso dá

-\frac{1}{2\sigma^{2}}[(x-\mu)^{2}-2\sigma^{2}tx]=-\frac{(x-\mu-\sigma^{2}t)^{% 2}}{2\sigma^{2}}+t\mu+\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}.

A integral em (17.5) então se torna

\exp\left\{t\mu+\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}\right\}\cdot\int_{-\infty}^{\infty}% \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\cdot\exp\left\{-\frac{(x-\mu-\sigma^{2}t^{2})^% {2}}{2\sigma^{2}}\}\right\}\;\mathrm{d}x.

Agora, observe que a função sendo integrada é a função de densidade de probabilidade de $\mathcal{N}(\mu+\sigma^{2}t,\;\sigma^{2})$ , então a integral é igual a $1$ . Em conclusão,

M_{X}(t)=\exp\left\{t\mu+\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}\right\},\quad t\in\mathbb{R}.

Definição 17.6 (Momentos).

Definimos o $k$ -ésimo momento de uma variável aleatória $X$ como $\mathbb{E}[X^{k}]$ se $X^{k}$ for integrável.

O nome "função geradora de momentos"vem do seguinte fato.

Proposição 17.7.

Se $M_{X}(t)$ é definido em $(-a,a)$ para algum $a>0$ , então $X$ tem todos os momentos e eles são dados por

\mathbb{E}[X^{k}]=M_{X}^{(k)}(0),

onde $M_{X}^{(k)}$ denota a $k$ -ésima derivada da função $M_{X}$ .

Não temos as ferramentas para provar esta proposição, mas se estivermos dispostos a ser atrevidos, podemos fazer:

\left.\tfrac{\mathrm{d}^{k}}{\mathrm{d}t^{k}}M_{X}(t)\right.=\left.\tfrac{% \mathrm{d}^{k}}{\mathrm{d}t^{k}}\,\mathbb{E}[e^{tX}]\right.=\mathbb{E}\left[% \left.\tfrac{\mathrm{d}^{k}}{\mathrm{d}t^{k}}\,e^{tX}\right.\right]=\mathbb{E}% [X^{k}e^{tX}]

e, avaliando em $t=0$ , obtemos a proposição.

Exemplo 17.8 (Geométrica).

Se $X\sim\mathrm{Geom}(p)$ , então

\mathbb{E}[X]=M_{X}^{\prime}(0)=\tfrac{1}{p},\ \mathbb{E}[X^{2}]=M_{X}^{\prime% \prime}(0)=\tfrac{2}{p^{2}}-\tfrac{1}{p},\ \mathrm{Var}[X]=\mathbb{E}[X^{2}]-(% \mathbb{E}[X])^{2}=\tfrac{1-p}{p^{2}}.

Exemplo 17.9 (Poisson).

Se $X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$ , então

\mathbb{E}[X]=M_{X}^{\prime}(0)=\lambda,\ \mathbb{E}[X^{2}]=M_{X}^{\prime% \prime}(0)=\lambda^{2}+\lambda,\ \mathrm{Var}[X]=\mathbb{E}[X^{2}]-(\mathbb{E}% [X])^{2}=\lambda.

Exemplo 17.10 (Normal).

Seja $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})$ . Vamos calcular sua média (ou seja, sua esperança) e variância. No exemplo anterior, provamos que $M_{X}(t)$ está definido para todos $t\in\mathbb{R}$ , com

M_{X}(t)=\exp\left\{\frac{t^{2}\sigma^{2}}{2}+\mu t\right\}.

Em seguida, usamos o teorema acima para calcular

\displaystyle\mathbb{E}[X]

\displaystyle=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}M_{X}(t)\right|_{t=0}=\left[% (t\sigma^{2}+\mu)\cdot\exp\left\{\frac{t^{2}\sigma^{2}}{2}+\mu t\right\}\right% ]_{t=0}=\mu

\displaystyle\mathbb{E}[X^{2}]

\displaystyle=\left.\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}^{2}t}M_{X}(t)\right|_{t=0% }=\cdots=\sigma^{2}+\mu^{2}.

Portanto,

\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-(\mathbb{E}[X])^{2}=\sigma^{2}+\mu^{2}-\mu^{% 2}=\sigma^{2}.

Esta é a razão pela qual $X$ é dito ser uma variável aleatória normal com média $\mu$ e variância $\sigma^{2}$ .

Proposição 17.11.

Para todos $a,b\in\mathbb{R}$ ,

M_{aX+b}(t)=e^{tb}\cdot M_{X}(at)

para todo $t$ no qual as funções geradoras de momentos estão definidas.

Demonstração.

Nós calculamos

M_{aX+b}(t)=\mathbb{E}[e^{t(aX+b)}]=e^{tb}\cdot\mathbb{E}[e^{t(aX)}]=e^{tb}% \cdot M_{X}(at).\qed

Proposição 17.12.

Quando $X$ e $Y$ são independentes,

M_{X+Y}(t)=M_{X}(t)\cdot M_{Y}(t)

para todo $t$ no qual as funções geradoras de momentos estão definidas.

Demonstração.

Se $X$ e $Y$ são independentes, então $e^{tX}$ e $e^{tY}$ também são. Portanto,

M_{X+Y}(t)=\mathbb{E}[e^{t(X+Y)}]=\mathbb{E}[e^{tX}\cdot e^{tY}]=\mathbb{E}[e^% {tX}]\cdot\mathbb{E}[e^{tY}]=M_{X}(t)\cdot M_{Y}(t).\qed

Exemplo 17.13 (Soma de variáveis de Poisson independentes).

Sejam $X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$ e $Y\sim\mathrm{Poisson}(\mu)$ independentes. Então

M_{X+Y}(t)=M_{X}(t)\cdot M_{Y}(t)=e^{\lambda(e^{t}-1)}e^{\mu(e^{t}-1)}=e^{(% \lambda+\mu)(e^{t}-1)}=M_{Z}(t),

onde $Z\sim\mathrm{Poisson}(\lambda+\mu)$ . Isso implica que $X+Y\sim\mathrm{Poisson}(\lambda+\mu)$ ?

O exemplo acima nos faz pensar se conhecer a função geradora de momentos de uma variável aleatória nos diz qual é a distribuição da variável aleatória. E, de fato, este é o caso.

Teorema 17.14 (A função geradora de momentos determina a distribuição).

Dadas duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$ , se existe $a>0$ tal que $M_{X}(t)$ e $M_{Y}(t)$ são finitas e coincidem para todo $t\in[-a,a]$ , então $X$ e $Y$ têm a mesma distribuição.

Também omitimos a prova deste teorema, observando que ela requer ferramentas ainda mais difíceis de construir do que outras provas omitidas nestas notas.

Exemplo 17.15 (Soma de variáveis de Poisson independentes).

Se $X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$ e $Y\sim\mathrm{Poisson}(\mu)$ são independentes, então $X+Y\sim\mathrm{Poisson}(\lambda+\mu)$ .

Exemplo 17.16 (Soma de variáveis normais independentes).

Sejam $X$ e $Y$ duas variáveis normais independentes, com médias $\mu_{X}$ e $\mu_{Y}$ e variâncias $\sigma^{2}_{X}$ e $\sigma^{2}_{Y}$ , respectivamente. Também sejam $a$ e $b\in\mathbb{R}$ com $a\neq 0$ . Vamos determinar as distribuições de $aX+b$ e de $X+Y$ . Na última aula, mostramos que

M_{X}(t)=\exp\left\{\frac{t^{2}\sigma_{X}^{2}}{2}+t\mu_{X}\right\},\qquad M_{Y% }(t)=\exp\left\{\frac{t^{2}\sigma_{Y}^{2}}{2}+t\mu_{Y}\right\}.

Temos que

M_{aX+b}(t)=e^{tb}\cdot M_{X}(at)=e^{tb}\cdot\exp\left\{a\mu_{X}t+\frac{a^{2}% \sigma_{X}^{2}t^{2}}{2}\right\}=\exp\left\{(a\mu_{X}+b)t+\frac{a^{2}\sigma_{X}% ^{2}t^{2}}{2}\right\}.

Portanto, $aX+b$ tem a mesma função geradora de momentos que uma variável aleatória $\mathcal{N}(a\mu+b,a^{2}\sigma^{2})$ . Já que esta função geradora de momentos é definida em uma vizinhança da origem (na verdade, em toda a reta real), concluímos que $aX+b\sim\mathcal{N}(a\mu_{X}+b,a^{2}\sigma_{X}^{2})$ .

Em seguida, como $X$ e $Y$ são independentes, temos

	$\displaystyle M_{X+Y}(t)=M_{X}(t)\cdot M_{Y}(t)$	$\displaystyle=\exp\left\{\mu_{X}t+\frac{\sigma_{X}^{2}t^{2}}{2}\right\}\cdot% \exp\left\{\mu_{Y}t+\frac{\sigma_{Y}^{2}t^{2}}{2}\right\}$
		$\displaystyle=\exp\left\{(\mu_{X}+\mu_{Y})t+\frac{(\sigma_{X}^{2}+\sigma^{2}_{% Y})t^{2}}{2}\right\}.$

Isso mostra que $X+Y$ tem a mesma função geradora de momentos que uma variável aleatória $\mathcal{N}(\mu_{X}+\mu_{Y},\sigma_{X}^{2}+\sigma_{Y}^{2})$ . Já que esta função geradora de momentos é definida em um intervalo aberto que contém zero, concluímos que $X+Y\sim\mathcal{N}(\mu_{X}+\mu_{Y},\sigma_{X}^{2}+\sigma_{Y}^{2})$ .