13 Variáveis aleatórias contínuas ‣ Introdução à Probabilidade Notas de Aula

13.1 Função de densidade de probabilidade

Considere a variável aleatória $X$ definida informalmente da seguinte maneira: "Seja $X$ um número escolhido no intervalo $(0,1)$ de forma uniforme ao acaso."Ao pensarmos com cuidado, percebemos que essa descrição é um pouco desconcertante. A palavra "uniforme"deveria significar que qualquer número $x\in(0,1)$ tem igual probabilidade de ser escolhido, ou seja, $\mathbb{P}(X=x)$ deveria ser o mesmo para cada $x$ . No entanto, existem infinitos $x\in(0,1)$ , o que forçaria $\mathbb{P}(X=x)$ a ser zero. Isso de fato acontecerá para todas as variáveis aleatórias com distribuições contínuas, que definimos agora.

Definição 13.1.

Dizemos que uma variável aleatória $X$ é contínua, com função de densidade de probabilidade $f_{X}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , se

\mathbb{P}(a\leqslant X\leqslant b)=\int_{a}^{b}f_{X}(x)\,\mathrm{d}x

(13.2)

para todo $a<b\in\mathbb{R}$ .

Uma densidade $f_{X}$ especifica a "probabilidade por unidade de comprimento."É algo análogo à função de probabilidade de massa, mas não exatamente. A probabilidade de $X$ estar em um pequeno intervalo de comprimento $\Delta x$ é dada por $f_{X}(x)\Delta x$ , em vez de $f_{X}(x)$ , e $f_{X}$ em si pode assumir valores muito grandes em pequenos intervalos. Portanto, é " $f_{X}(x)\Delta x$ "que é análogo a $p_{X}(x)$ .

Uma função de densidade deve satisfazer necessariamente

\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(x)\,\mathrm{d}x=1.

13.2 Variáveis Uniformes

Sejam $a$ e $b$ em $\mathbb{R}$ com $a<b$ . Uma variável aleatória $X$ tem a distribuição uniforme (contínua) em $(a,b)$ se

f_{X}(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}&\text{se }a<x<b,\\ 0&\text{caso contr\'{a}rio.}\end{cases}

Escrevemos $X\sim\mathcal{U}(a,b)$ .

Observe que, para qualquer intervalo $[c,d]\subseteq[a,b]$ , temos

\mathbb{P}(X\in[c,d])=\int_{c}^{d}\frac{1}{b-a}\,\mathrm{d}x=\frac{d-c}{b-a},

ou seja, o intervalo $[c,d]$ tem uma probabilidade dada pela proporção do seu comprimento dentro do intervalo $[a,b]$ . Por outro lado, se $c<a$ e $d\in[a,b]$ , então

\mathbb{P}(X\in[c,d])=\frac{d-a}{b-a}

porque a parte do intervalo $[c,d]$ que não se sobrepõe com $[a,b]$ não conta.

13.3 Distribuição Normal

Seja $\mu\in\mathbb{R}$ e $\sigma>0$ . Uma variável aleatória $X$ tem distribuição normal (ou gaussiana) com parâmetros $\mu$ e $\sigma^{2}$ se tiver uma função de densidade de probabilidade dada por

f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\cdot e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{% 2}}}

para todo $x\in\mathbb{R}$ . Escrevemos $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})$ .

O parâmetro $\mu$ dá o centro da função de densidade, e o parâmetro $\sigma^{2}$ especifica a escala com que essa densidade está sendo alongada. Através de uma mudança de variáveis na integral, podemos ver que $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})$ é equivalente a $X=\mu+\sigma\cdot Z$ com $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ . De fato, definindo $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ ,

$\displaystyle\mathbb{P}(a\leqslant Z\leqslant b)$	$\displaystyle=\mathbb{P}(\mu+a\sigma\leqslant X\leqslant\mu+b\sigma)$	(13.3)
	$\displaystyle=\int_{\mu+a\sigma}^{\mu+a\sigma}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}% \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\,\mathrm{d}x$	(13.4)
	$\displaystyle=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{z^{2}}{2}}\,% \mathrm{d}z.$	(13.5)

Observação 6.

Não é fácil ver que $\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(x)\,\mathrm{d}x=1$ . Ao substituir, obtemos

\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\cdot e^{-\frac{(x-\mu)% ^{2}}{2\sigma^{2}}}\,\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi}}% \cdot e^{-u^{2}}\,\mathrm{d}u.

Portanto, é suficiente verificar que $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^{2}}=\sqrt{\pi}$ . Na maioria dos livros didáticos, isso é feito usando coordenadas polares para integrais em $\mathbb{R}^{2}$ , mas não queremos usar esse método. Em vez disso, usamos um truque diferente: trocamos as integrais iteradas em

\int_{0}^{+\infty}\left(\int_{0}^{+\infty}ye^{-(1+x^{2})y^{2}}\mathrm{d}y% \right)\mathrm{d}x=\int_{0}^{+\infty}\left(\int_{0}^{+\infty}ye^{-x^{2}y^{2}}e% ^{-y^{2}}\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y,

o que podemos fazer porque o integrando é não-negativo. A primeira integral pode ser calculada como

\lim_{z\to{+\infty}}\int_{0}^{z}ye^{-(1+x^{2})y^{2}}\mathrm{d}y=\lim_{z\to{+% \infty}}\frac{-1}{2(1+x^{2})}\Big{[}e^{-(1+x)^{2}y^{2}}\Big{]}_{0}^{z}=\frac{1% }{2(1+x^{2})}

e

\int_{0}^{+\infty}\left(\int_{0}^{+\infty}ye^{-(1+x^{2})y^{2}}\mathrm{d}y% \right)\mathrm{d}x=\lim_{z\to{+\infty}}\int_{0}^{z}\frac{1}{2(1+x^{2})}\mathrm% {d}x=\lim_{z\to{+\infty}}\frac{\arctan z}{2}=\frac{\pi}{4}.

A segunda integral pode ser reescrita como

\int_{0}^{+\infty}\left(\int_{0}^{+\infty}e^{-u^{2}}\mathrm{d}u\right)e^{-y^{2% }}\mathrm{d}y.

Desta forma, concluímos que $\int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ . Por simetria, $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^{2}}=\sqrt{\pi}$ , que era o que queríamos.

13.4 Tempo de Vida Exponencial

Seja $\lambda>0$ . Uma variável aleatória $X$ tem distribuição exponencial com parâmetro $\lambda$ se

f_{X}(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&\text{se }x>0,\\ 0&\text{se }x\leqslant 0.\end{cases}

Escrevemos $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$ .

Observe que

\mathbb{P}(X>t)=e^{-\lambda t}.

A distribuição exponencial é comumente usada para modelar a vida útil de entidades que têm a propriedade de falta de memória, normalmente objetos inanimados que não sofrem efeitos de envelhecimento. Para explicar o que isso significa, vamos pensar nas lâmpadas. Suponhamos que a vida útil das lâmpadas de uma determinada marca tem uma distribuição Exponencial( $\lambda$ ) (vamos assumir que ligamos a luz e não a desligamos até a lâmpada queimar). Então, a propriedade de falta de memória significa que, independentemente de a lâmpada ter sido ativada recentemente ou ter estado ativa por um certo período de tempo, a distribuição do tempo restante de vida é a mesma. Matematicamente, isso é expresso pela seguinte identidade, que vale para todos $s,t\geqslant 0$ :

\mathbb{P}(X>t+s\,|\,X>t)=\mathbb{P}(X>s).

13.5 Esperança

Definição 13.6 (Esperança).

Seja $X$ uma variável aleatória contínua com densidade $f_{X}$ . Definimos a esperança de $X$ , denotada por $\mathbb{E}[X]$ , como o número real dado por

\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{+\infty}x\,f_{X}(x)\,\mathrm{d}x,

desde que esta integral convirja absolutamente. Se a integral convergir absolutamente, dizemos que $X$ é integrável; caso contrário, $\mathbb{E}[X]$ não está definida.

Exemplo 13.7 (Uniforme).

Se $X\sim\mathcal{U}[a,b]$ , então

\mathbb{E}[X]=\int_{a}^{b}x\,\frac{1}{b-a}\,\mathrm{d}x=\frac{a+b}{2}.

Isso significa que a esperança de uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo $[a,b]$ é o ponto médio do intervalo.

Exemplo 13.8 (Exponencial).

Se $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$ , então, integrando por partes,

\mathbb{E}[X]=\int_{0}^{+\infty}x\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x=\lim_{u% \to{+\infty}}\Big{[}{-x}e^{-\lambda x}-\tfrac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\Big{]}% _{0}^{u}=\frac{1}{\lambda}.

Exemplo 13.9 (Normal).

Suponha que $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ , Então, substituindo $u=x^{2}/2$ ,

\int_{0}^{+\infty}x\frac{e^{-x^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{d}x=\lim_{z\to{+% \infty}}\Big{[}\frac{-e^{-x^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}\Big{]}_{0}^{z}=\frac{1}{\sqrt% {{2\pi}}}.

Por simetria,

\int_{-\infty}^{0}x\frac{e^{-x^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{d}x=-\frac{1}{\sqrt% {{2\pi}}}

e, portanto, $\mathbb{E}[X]=0$ .

Exemplo 13.10 (Cauchy).

Suponha que $X$ é uma variável aleatória com densidade

f_{X}(x)=\frac{1}{\pi\cdot(1+x^{2})}.

Então

\int_{0}^{+\infty}xf_{X}(x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\pi\cdot(1% +x^{2})}\mathrm{d}x\geqslant\int_{1}^{+\infty}\frac{x}{\pi\cdot(1+x^{2})}% \mathrm{d}x,

e assim

\int_{0}^{+\infty}xf_{X}(x)\,\mathrm{d}x\geqslant\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{2% \pi x}\mathrm{d}x=\frac{1}{2\pi}\lim_{z\to\infty}\ln z=+\infty.

Neste caso, $\mathbb{E}[X]$ não é definida, apesar da simetria. Finalmente, temos um exemplo de uma variável aleatória que não é integrável!

13.6 Variância

Proposição 13.11.

Seja $X$ uma variável aleatória contínua com densidade $f_{X}$ . Seja $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ uma função piecewise contínua. Então

\mathbb{E}[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\,f_{X}(x)\,\mathrm{d}x

se a integral convergir absolutamente, e $\mathbb{E}[g(X)]$ é indefinida se não convergir absolutamente.

A analogia com a função de massa de probabilidade está resumida na Tabela 1.

Exemplo 13.12 (Uniforme).

Se $X\sim\mathcal{U}[a,b]$ , então

\mathbb{E}[X^{2}]=\int_{a}^{b}\frac{x^{2}}{b-a}\,\mathrm{d}x=\frac{a^{2}+ab+b^% {2}}{3}.

$p_{X}$	$f_{X}$
$p_{X}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$	$f_{X}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
$p_{X}(x)\geqslant 0$ $\forall\,x\in\mathbb{R}$	$f_{X}(x)\geqslant 0$ $\forall\,x\in\mathbb{R}$
$\mathbb{P}(X=x)=p_{X}(x)$	$\mathbb{P}(X=x)=0$
$\mathbb{P}(a\leqslant X\leqslant b)=\sum_{a\leqslant x\leqslant b}p_{X}(x)$	$\mathbb{P}(a\leqslant X\leqslant b)=\int_{a}^{b}f_{X}(x)\mathrm{d}x$
$p_{X}(x)=\mathbb{P}(X=x)$	definido implicitamente acima
$\sum_{x}p_{X}(x)=1$	$\int_{-\infty}^{\infty}f_{X}(x)\,dx=1$
$p_{X}(x)\leqslant 1$ $\forall\,x$	$f_{X}(x)$ pode ser $>1$
$\mathbb{E}[g(X)]=\sum_{x}g(x)p_{X}(x)$	$\mathbb{E}[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f_{X}(x)\mathrm{d}x$

Tabela 1: Função de massa de probabilidade e função de densidade de probabilidade.

Exemplo 13.13 (Exponencial).

Se $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$ , então, integrando por partes duas vezes,

\mathbb{E}[X^{2}]=\int_{0}^{+\infty}x^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x=% \lim_{z\to{+\infty}}\Big{[}{-x^{2}}e^{-\lambda x}-\tfrac{2x}{\lambda}e^{-% \lambda x}-\tfrac{2}{\lambda^{2}}e^{-\lambda x}\Big{]}_{0}^{z}=\frac{2}{% \lambda^{2}}.

Exemplo 13.14 (Normal).

Se $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ , então, integrando por partes,

$\displaystyle\mathbb{E}[X^{2}]$	$\displaystyle=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}\frac{e^{-x^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}% \mathrm{d}x$	(13.15)
	$\displaystyle=2\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{+\infty}x\cdot(x{e^{-x^{2}/% 2}})\,\mathrm{d}x$	(13.16)
	$\displaystyle=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\lim_{u\to+\infty}\Big{[}{-x}{e^{-x^{2}/2}}% +\int_{0}^{u}e^{-x^{2}/2}\,\mathrm{d}x\Big{]}_{0}^{u}$	(13.17)
	$\displaystyle=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{+\infty}{e^{-x^{2}/2}}\,\mathrm{d% }x=1.$	(13.18)

Definição 13.19 (Quadrado-integrável).

Como no caso de variáveis aleatórias discretas, dizemos que uma variável aleatória contínua é quadrado-integrável se $X^{2}$ for integrável.

Assim como no caso discreto, se uma variável aleatória for quadrado-integrável, ela será automaticamente integrável (porque $|x|\leqslant 1+x^{2}$ ).

Definição 13.20 (Variância).

Seja $X$ uma variável aleatória contínua quadrado-integrável com densidade $f_{X}$ e média $\mu=\mathbb{E}[X]$ . Definimos a variância de $X$ como

\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}\big{[}(X-\mu)^{2}\big{]}.

Como fizemos no caso de variáveis aleatórias discretas, podemos expandir a definição de variância para obter uma fórmula alternativa:

\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-(\mathbb{E}[X])^{2},

que usamos nos exemplos a seguir.

Exemplo 13.21 (Uniforme).

Se $X\sim\mathcal{U}[a,b]$ , então

\mathrm{Var}(X)=\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}-\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}=\frac{(b-a)% ^{2}}{12}.

Exemplo 13.22 (Exponencial).

Se $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$ , então

\mathrm{Var}(X)=\frac{2}{\lambda^{2}}-\Big{(}\frac{1}{\lambda}\Big{)}^{2}=% \frac{1}{\lambda^{2}}.

Exemplo 13.23 (Normal).

Se $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ , então

\mathrm{Var}(X)=1-0^{2}=1.