10 Desigualdade de Chebyshev

Agora veremos como a média e o desvio padrão de uma variável aleatória nos permitem fazer algumas estimativas sobre probabilidades envolvendo a variável aleatória.

10.1 Desigualdade de Markov

Para chegarmos lá, começamos com algo mais modesto: a Desigualdade de Markov. Ela nos permite dizer algo sobre a distribuição de uma variável aleatória com base no conhecimento de sua expectativa.

Teorema 10.1 (Desigualdade de Markov).

Seja $X$ uma variável aleatória discreta integrável não negativa. Então,

\mathbb{P}(X>x)\leqslant\frac{\mathbb{E}[X]}{x}

para todo $x>0$ .

Demonstração.

Fixe $x>0$ . Defina a variável aleatória

\displaystyle Y:=\begin{cases}x&\text{se }X\geqslant x;\\ 0&\text{caso contr\'{a}rio.}\end{cases}

(10.2)

Temos que $X\geqslant Y$ , porque:

•

se $X\geqslant x$ , então $Y=x$ , então $X\geqslant Y$ ;
•

se $X\in[0,x)$ , então $Y=0$ , então $X\geqslant Y$ .

Isso também nos dá $\mathbb{E}[X]\geqslant\mathbb{E}[Y]$ . Em seguida, observe que $Y$ é uma variável aleatória discreta (ela assume apenas os valores 0 e $x$ ) com

\displaystyle p_{Y}(x)=\mathbb{P}(X\geqslant x),\qquad p_{Y}(0)=\mathbb{P}(X<x).

(10.3)

Portanto,

\mathbb{E}[X]\geqslant\mathbb{E}[Y]=0\cdot p_{Y}(0)+x\cdot p_{Y}(x)=x\cdot p_{% Y}(x)=x\cdot\mathbb{P}(X\geqslant x).

Rearranjando isso, obtemos a desigualdade desejada. ∎

Exemplo 10.4.

Suponha que uma empresa produza em média 50 itens por semana. Você pode estimar a probabilidade de que a produção de uma semana específica exceda 75 itens? Seja $X$ o número de itens que a empresa produz a cada semana. Pela afirmação, sabemos que $X\geqslant 0$ e $\mathbb{E}[X]=50$ . Portanto, as premissas da Desigualdade de Markov são satisfeitas e podemos deduzir uma estimativa sobre a probabilidade solicitada, que é $\mathbb{P}(X\geqslant 75)$ . Portanto,

\mathbb{P}(X\geqslant 75)\leqslant\frac{\mathbb{E}[X]}{75}=\frac{50}{75}=\frac% {2}{3}\,.

(10.5)

É interessante notar que a Desigualdade de Markov nem sempre fornece uma limitação útil. De fato, se $X$ for uma variável aleatória não negativa com expectativa igual a $\mu$ , e $x\in(0,\mu]$ , então na desigualdade

\mathbb{P}(X\geqslant x)\leqslant\frac{\mu}{x},

o lado direito é maior que 1, então a limitação apenas nos diz que a probabilidade é menor ou igual a 1, mas já sabíamos disso!

10.2 Desigualdade de Chebyshev

Enquanto a Desigualdade de Markov fornece uma limitação sobre a probabilidade de uma variável aleatória ser grande, a Desigualdade de Chebyshev fornece uma limitação sobre a probabilidade de uma variável aleatória estar longe de sua expectativa.

Teorema 10.6 (Desigualdade de Chebyshev).

Seja $X$ uma variável aleatória discreta de variância quadrática integrável. Então,

\mathbb{P}(|X-\mathbb{E}[X]|\geqslant a)\leqslant\frac{\mathrm{Var}(X)}{a^{2}}

para todo $a>0$ .

É importante destacar que aqui não fazemos suposições quanto ao sinal de $X$ .

Demonstração.

Seja $a>0$ . Defina $Y:=\left(X-\mathbb{E}[X]\right)^{2}$ . Portanto, $Y$ é não negativa e

\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}\left[\left(X-\mathbb{E}[X]\right)^{2}\right]=\mathrm{% Var}(X).

Em particular, $Y$ é integrável. A seguir, observe que os seguintes eventos são os mesmos:

\{|X-\mathbb{E}[X]|\geqslant a\}=\{(X-\mathbb{E}[X])^{2}\geqslant a^{2}\}=\{Y% \geqslant a^{2}\}.

Portanto, pela Desigualdade de Markov, temos

\mathbb{P}(|X-\mathbb{E}[X]|\geqslant a)=\mathbb{P}(Y\geqslant a^{2})\leqslant% \frac{\mathbb{E}[Y]}{a^{2}}=\frac{\mathrm{Var}(X)}{a^{2}}.

Isso conclui a prova do teorema. ∎

Exemplo 10.7.

Suponha que $\mathbb{E}[X]=10$ e $\sigma(X)=2$ . Vamos encontrar uma estimativa da probabilidade de que $6\leqslant X\leqslant 14$ . Tomando $x=4$ na Desigualdade de Chebyshev,

\mathbb{P}(6\leqslant X\leqslant 14)\geqslant\mathbb{P}(6<X<14)=1-\mathbb{P}(|% X-\mathbb{E}[X]|\geqslant 4)\geqslant 1-\frac{2^{2}}{4^{2}}=\frac{3}{4}.

10.3 Prova da lei das médias

Lembrando que $X_{1},X_{2},X_{3},\dots$ são variáveis aleatórias discretas de variância quadrática integrável independentes duas a duas com a mesma média $\mu$ e mesma variância $\sigma^{2}$ .

Queremos mostrar que, para todo $a>0$ e $n\in\mathbb{N}$ ,

\mathbb{P}\Big{(}\mu-a\leqslant\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}\leqslant\mu+a\Big{)% }\geqslant 1-\frac{\sigma^{2}}{a^{2}\,n}.

Usando a linearidade da expectativa e o fato de que todos os $X_{k}$ têm a mesma média $\mu$ ,

\mathbb{E}\Big{[}\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}\Big{]}=\frac{1}{n}\mathbb{E}\big{% [}X_{1}+\dots+X_{n}\big{]}=\frac{1}{n}\cdot\big{(}\mathbb{E}[X_{1}]+\dots+% \mathbb{E}[X_{n}]\big{)}=\mu.

Usando o Corolário 9.24 e o fato de que todos os $X_{k}$ têm a mesma variância $\sigma^{2}$ ,

$\displaystyle\mathrm{Var}\Big{(}\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}\Big{)}$	$\displaystyle=\frac{1}{n^{2}}\mathrm{Var}\big{(}X_{1}+\dots+X_{n}\Big{)}$	(10.8)
	$\displaystyle=\frac{1}{n^{2}}\big{(}\mathrm{Var}(X_{1})+\dots+\mathrm{Var}(X_{% n})\big{)}$	(10.9)
	$\displaystyle=\frac{1}{n^{2}}\cdot n\sigma^{2}$	(10.10)
	$\displaystyle=\frac{\sigma^{2}}{n}.$	(10.11)

Usando a Desigualdade de Chebyshev, obtemos:

$\displaystyle\mathbb{P}\Big{(}\mu-a\leqslant\tfrac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}% \leqslant\mu+a\Big{)}$	$\displaystyle=1-\mathbb{P}\Big{(}\Big{\|}\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}-\mu\Big{\|}% >a\Big{)}$	(10.12)
	$\displaystyle\geqslant 1-\frac{\mathrm{Var}(\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n})}{a^{2}}$	(10.13)
	$\displaystyle=1-\frac{\sigma^{2}}{a^{2}\cdot n},$	(10.14)

o que conclui a prova.