15 Distribuições Conjuntas e Independência ‣ Introdução à Probabilidade Notas de Aula

15.1 Função de Densidade Conjunta

Agora explicaremos o que significa para duas variáveis aleatórias seguirem uma distribuição conjunta contínua.

Definição 15.1 (Densidade Conjunta).

Duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$ definidas no mesmo espaço de probabilidade são chamadas de conjuntamente contínuas com uma função de densidade conjunta $f_{X,Y}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}_{+}$ se

\mathbb{P}(a_{1}\leqslant X\leqslant a_{2},\;b_{1}\leqslant Y\leqslant b_{2})=% \int_{a_{1}}^{a_{2}}\Big{(}\int_{b_{1}}^{b_{2}}f_{X,Y}(x,y)\;\mathrm{d}y\Big{)% }\mathrm{d}x

para todo $a_{1}<a_{2}$ e $b_{1}<b_{2}$ .

As funções de densidade marginal são dadas por:

f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}y\qquad\text{e}\qquad f_% {Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x.

Em resumo, densidades marginais são obtidas da densidade conjunta "integrando"a outra variável.

Exemplo 15.2.

Considere o quadrado $Q=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:|x|+|y|<1\}$ , e suponha que a função de densidade conjunta de $X$ e $Y$ seja $f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2}\mathds{1}_{Q}(x,y)$ . Podemos determinar a função de densidade marginal de $X$ integrando:

f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\tfrac{1}{2}\mathds{1}_{Q}(x,y)\,\mathrm{d}y=% (1-|x|)\mathds{1}_{[-1,1]}(x).

Se integrarmos em relação a $x$ , obtemos $f_{Y}(y)=(1-|y|)\mathds{1}_{[-1,1]}(y)$ .

15.2 Função de Distribuição Conjunta

Definição 15.3.

Sejam $X,Y$ variáveis aleatórias. A função de distribuição conjunta de $(X,Y)$ é a função $F_{X,Y}:\mathbb{R}^{2}\to[0,1]$ dada por

F_{X,Y}(x,y)=\mathbb{P}(X\leqslant x,\;Y\leqslant y)

para todo $x,y\in\mathbb{R}$ .

Para variáveis discretas, essa definição se reduz a

F_{X,Y}(x,y)=\sum_{s\leqslant x}\sum_{t\leqslant y}p_{X,Y}(s,t)

para todo $x,y\in\mathbb{R}$ . Para variáveis aleatórias conjuntamente contínuas, a função de distribuição conjunta é dada por

F_{X,Y}(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f_{X,Y}(s,t)\;\mathrm{d}t\;% \mathrm{d}s.

De qualquer forma, é possível recuperar a função de massa de probabilidade conjunta e a função de densidade de probabilidade conjunta a partir da função de distribuição conjunta, mas não entraremos em detalhes sobre isso.

15.3 Independência

Definição 15.4 (Independência de Duas Variáveis Aleatórias).

Dadas duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$ , dizemos que $X$ e $Y$ são independentes se

\mathbb{P}(X\in A,Y\in B)=\mathbb{P}(X\in A)\mathbb{P}(Y\in B)

para todos os conjuntos $A,B\in\mathcal{B}$ .

Para variáveis aleatórias discretas, essa definição é equivalente a

p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)

para todos os valores $x,y\in\mathbb{R}$ , conforme explicado na Seção 7.3.

Surpreendentemente, a função de distribuição conjunta é capaz de capturar se duas variáveis aleatórias são independentes ou não.

Proposição 15.5.

Duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$ são independentes se e somente se

F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)

para todo $x,y\in\mathbb{R}$ .

Fragmento da prova.

Para $A=(a,b]$ e $B=(c,d]$ , expandimos para obter

	$\displaystyle\mathbb{P}(a<X\leqslant b,c<Y\leqslant d)=\mathbb{P}(a<X\leqslant b% ,Y\leqslant d)-\mathbb{P}(a<X\leqslant b,Y\leqslant c)$		(15.6)
	$\displaystyle=\mathbb{P}(X\leqslant b,Y\leqslant d)-\mathbb{P}(X\leqslant a,Y% \leqslant d)-\mathbb{P}(a<X\leqslant b,Y\leqslant c)$		(15.7)
	$\displaystyle=F_{X,Y}(b,d)-F_{X,Y}(a,d)-[F_{X,Y}(b,c)-F_{X,Y}(a,c)]$		(15.8)
	$\displaystyle=F_{X}(b)F_{Y}(d)-F_{X}(a)F_{Y}(d)-[F_{X}(b)F_{Y}(c)-F_{X}(a)F_{Y% }(c)]$		(15.9)
	$\displaystyle=[F_{X}(b)-F_{X}(a)]\cdot[F_{Y}(d)-F_{Y}(c)]$		(15.10)
	$\displaystyle=\mathbb{P}(a<X\leqslant b)\mathbb{P}(c<Y\leqslant d).$		(15.11)

Portanto, $\mathbb{P}(X\in A,Y\in B)=\mathbb{P}(X\in A)\mathbb{P}(Y\in B)$ quando tanto $A$ quanto $B$ são compostos por uma união de intervalos finitos desse tipo (abertos à esquerda e fechados à direita). O caso de conjuntos mais gerais $A$ e $B$ requer ferramentas que atualmente não possuímos. ∎

Para variáveis aleatórias conjuntamente contínuas, a situação é um pouco mais complicada. Suponha que $X$ e $Y$ tenham $f_{X}$ e $f_{Y}$ como funções de densidade. Então, elas são independentes se e somente se forem conjuntamente contínuas com uma função de densidade conjunta dada por

f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)

para todo $x,y\in\mathbb{R}$ . No entanto, se nos for fornecida uma função de densidade conjunta $f_{X,Y}$ e desejarmos mostrar que $X$ e $Y$ não são independentes, não basta encontrar um único ponto $(x,y)$ tal que $f_{X,Y}(x,y)\neq f_{X}(x)f_{Y}(y)$ . Precisamos verificar que $f_{X,Y}(x,y)\neq f_{X}(x)f_{Y}(y)$ para todos os $x\in[a,b]$ e todos os $y\in[c,d]$ para alguns intervalos não degenerados $[a,b]$ e $[c,d]$ . Isso ocorre porque, ao contrário da função de massa de probabilidade, as funções de densidade de probabilidade não são únicas, e podemos modificá-las em um único ponto, fazendo com que a identidade mostrada acima deixe de ser válida.

Teorema 15.12.

Se $X$ e $Y$ são variáveis aleatórias independentes integráveis, então $XY$ é integrável e

\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\cdot\mathbb{E}[Y].

Em particular, variáveis aleatórias independentes quadrado-integráveis são não correlacionadas.

Nós fornecemos uma prova assumindo que $X$ e $Y$ são discretas. Uma prova que funcione no caso geral requer ferramentas que atualmente não temos. Quanto à linearidade da esperança, ela se baseia no fato de que qualquer variável aleatória pode ser aproximada por variáveis aleatórias discretas, reduzindo o problema ao caso que já conhecemos.

Definição 15.13 (Independência par a par).

Dizemos que uma coleção de variáveis aleatórias $X_{1},X_{2},X_{3},\dots$ é independente par a par se $X_{j}$ e $X_{k}$ forem independentes para todo $j\neq k$ .

Definição 15.14 (Independência mútua).

Dizemos que uma coleção de variáveis aleatórias discretas $X_{1},X_{2},X_{3},\dots$ é mutuamente independentes se, para todo $k$ e todo $A_{1},\dots,A_{k}\in\mathcal{B}$ , tivermos

\mathbb{P}(X_{1}\in A_{1},\dots,X_{k}\in A_{k})=\mathbb{P}(X_{1}\in A_{1})% \cdots\mathbb{P}(X_{k}\in A_{k}).

Existem condições análogas para independência mútua quando as variáveis aleatórias são contínuas ou discretas, e também uma condição equivalente em termos de funções de distribuição cumulativa conjunta. Mas não entraremos em detalhes sobre isso.

15.4 Covariância e a lei das médias

Como mencionado na seção anterior, se $X_{1},\dots,X_{n}$ são variáveis aleatórias não correlacionadas, então

\mathrm{Var}(X_{1}+\dots+X_{n})=\mathrm{Var}(X_{1})+\dots+\mathrm{Var}(X_{n}).

Usando isso e a desigualdade de Chebyshev, podemos novamente provar a lei das médias para qualquer sequência de variáveis aleatórias não correlacionadas com a mesma média $\mu$ e a mesma variância $\sigma^{2}$ , sem assumir que sejam discretas. A prova é idêntica à vista na Seção 10.3.

O Teorema do Limite Central também se aplica a qualquer sequência de variáveis aleatórias quadrado-integráveis mutuamente independentes com a mesma distribuição, sem assumir que sejam discretas.