Apêndice B Exponenciais superam polinômios

Para todo $x\geqslant 0$ e $n\in\mathbb{N}$ ,

e^{x}\geqslant 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3!}+\dots+\frac{x^{n}}{n!}

Para $n=0$ , já sabemos que $e^{x}\geqslant 1$ . Para $n=1$ ,

e^{x}=1+\int_{0}^{x}e^{x}\,\mathrm{d}x\geqslant 1+\int_{0}^{x}1\,\mathrm{d}x=1+x

Para $n=2$ ,

e^{x}=1+\int_{0}^{x}e^{x}\,\mathrm{d}x\geqslant 1+\int_{0}^{x}(1+x)\mathrm{d}x% =1+x+\tfrac{x^{2}}{2}

Para $n=3$ ,

e^{x}=1+\int_{0}^{x}e^{x}\,\mathrm{d}x\geqslant 1+\int_{0}^{x}(1+x+\tfrac{x^{2% }}{2})\mathrm{d}x=1+x+\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{3}}{3!}.

O padrão é claro. ∎

Isso implica que

\frac{a_{0}+a_{1}x+\dots+a_{n}x^{n}}{e^{ax}}

tende a $0$ à medida que $x\to+\infty$ , para todo $a>0$ .

De fato, como $e^{ax}\geqslant\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}x^{n+1}$ , cada termo em

\frac{a_{0}}{e^{ax}}+\frac{a_{1}x}{e^{ax}}+\dots+\frac{a_{n}x^{n}}{e^{ax}}

está se aproximando de zero à medida que $x$ aumenta. ∎

Isso é útil ao calcular integrais impróprias que incluem polinômios e funções exponenciais.