7 Distribuições discretas multivariadas

7.1 Função de massa de probabilidade conjunta de duas variáveis

Definição 7.1 (Função de massa de probabilidade conjunta).

Dadas duas variáveis aleatórias discretas $X$ e $Y$ , definimos a função de massa de probabilidade conjunta de $X$ e $Y$ , denotada por $p_{X,Y}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ , e dada por

p_{X,Y}(x,y)=\mathbb{P}(X=x,Y=y),

ou, mais formalmente, $\mathbb{P}(\{\omega\in\Omega:X(\omega)=x,Y(\omega)=y\})$ .

Exemplo 7.2.

Lance dois dados, e seja $X$ o valor maior e $Y$ o valor menor. Então, $p_{X,Y}(x,y)$ para $x=1,\dots,6$ e $y=1,\dots,6$ é dado pela tabela

\begin{array}[]{r|rrrrrr}&1&2&3&4&5&6\\ \hline\cr 1&\frac{1}{36}&\frac{2}{36}&\frac{2}{36}&\frac{2}{36}&\frac{2}{36}&% \frac{2}{36}\\ 2&\frac{0}{36}&\frac{1}{36}&\frac{2}{36}&\frac{2}{36}&\frac{2}{36}&\frac{2}{36% }\\ 3&\frac{0}{36}&\frac{0}{36}&\frac{1}{36}&\frac{2}{36}&\frac{2}{36}&\frac{2}{36% }\\ 4&\frac{0}{36}&\frac{0}{36}&\frac{0}{36}&\frac{1}{36}&\frac{2}{36}&\frac{2}{36% }\\ 5&\frac{0}{36}&\frac{0}{36}&\frac{0}{36}&\frac{0}{36}&\frac{1}{36}&\frac{2}{36% }\\ 6&\frac{0}{36}&\frac{0}{36}&\frac{0}{36}&\frac{0}{36}&\frac{0}{36}&\frac{1}{36% }\\ \end{array},

e $p(x,y)=0$ se $x$ ou $y$ não pertencerem a $\{1,2,3,4,5,6\}$ .

Observe que

$\displaystyle p_{X}(x)$	$\displaystyle=\mathbb{P}(X=x)$	(7.3)
	$\displaystyle=\sum_{y\in D_{Y}}\mathbb{P}(X=x,Y=y)+\mathbb{P}(X=x,Y\not\in D_{% Y})$	(7.4)
	$\displaystyle=\sum_{y\in D_{Y}}\mathbb{P}(X=x,Y=y)$	(7.5)
	$\displaystyle=\sum_{y\in D_{Y}}p_{X,Y}(x,y)$	(7.6)

para cada $x\in\mathbb{R}$ , onde $D_{Y}$ denota o suporte discreto de $Y$ .

Terminologia (Função de massa de probabilidade marginal).

A fórmula acima para calcular a função de massa de probabilidade de $X$ a partir da função de massa de probabilidade conjunta de $X$ e $Y$ é chamada de função de massa de probabilidade marginal.

Exemplo 7.7.

Uma sacola contém 1 bola vermelha, 2 verdes e 2 azuis. Retiramos 2 bolas da sacola, sem reposição. Seja $X$ o número de bolas verdes retiradas, e $Y$ o número de bolas vermelhas retiradas. Então, a função de massa de probabilidade conjunta de $X$ e $Y$ é dada pela célula central da tabela abaixo:

\begin{array}[]{r|rrr|r}y\backslash x&0&1&2&\text{total}\\ \hline\cr 0&0.1&0.4&0.1&0.6\\ 1&0.2&0.2&0&0.4\\ \hline\cr\text{total}&0.3&0.6&0.1&1\end{array}\ .

Somando cada coluna, encontramos a função de massa de probabilidade marginal de $X$ , que é dada por $p_{X}(0)=0.3$ , $p_{X}(1)=0.6$ , e $p_{X}(2)=0.1$ . Somando cada linha, encontramos a função de massa de probabilidade marginal de $Y$ , que é dada por $p_{X}(0)=0.6$ e $p_{X}(1)=0.4$ .

7.2 Esperança no caso bivariado discreto

Proposição 7.8 (Esperança no caso bivariado).

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias discretas e $g:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ uma função qualquer. Então

\mathbb{E}[g(X,Y)]=\sum_{x\in D_{X}}\sum_{y\ inD_{Y}}g(x,y)\cdot\mathbb{P}(X=x% ,Y=y),

se essa soma convergir absolutamente, e $\mathbb{E}[g(X,Y)]$ é indefinida caso contrário. Os conjuntos $D_{X}$ e $D_{Y}$ na fórmula denotam os suportes discretos de $X$ e $Y$ .

Demonstração.

Seja $Z=g(X,Y)$ . Primeiro, observamos que, para cada $z\in\mathbb{R}$ ,

$\displaystyle\mathbb{P}(Z=z)$	$\displaystyle=\mathbb{P}\big{(}g(X,Y)=z\big{)}$	(7.9)
	$\displaystyle=\mathbb{P}\big{(}(X,Y)\in g^{-1}(z)\big{)}$	(7.10)
	$\displaystyle=\sum_{(x,y)\in g^{-1}(z)\cap D}\mathbb{P}\big{(}X=x,Y=y\big{)},$	(7.11)

onde $D=\{(x,y):\mathbb{P}(X=x,Y=y)>0\}$ . O suporte de $Z$ é dado pela imagem $D_{Z}=g(D)$ , que é contável. Finalmente,

$\displaystyle\text{Esperan\c{c}a}[Z]$	$\displaystyle=\sum_{z\ inD_{Z}}z\cdot\mathbb{P}(Z=z)$	(7.12)
	$\displaystyle=\sum_{z\in D_{Z}}\sum_{(x,y)\ ing^{-1}(z)\cap D}z\cdot\mathbb{P}% \big{(}X=x,Y=y\big{)}$	(7.13)
	$\displaystyle=\sum_{z\in D_{Z}}\sum_{(x,y)\ ing^{-1}(z)\cap D}g(x,y)\cdot% \mathbb{P}\big{(}X=x,Y=y\big{)}$	(7.14)
	$\displaystyle=\sum_{(x,y)\ inD}g(x,y)\cdot\mathbb{P}\big{(}X=x,Y=y\big{)}$	(7.15)
	$\displaystyle=\sum_{x\ inD_{X}}\sum_{y\ inD_{Y}}g(x,y)\cdot\mathbb{P}(X=x,Y=y),$	(7.16)

e a soma converge absolutamente se e somente se $Z$ for integrável. Isso conclui a prova. ∎

Prova da Proposição 6.32.

Se tomarmos $Y=0$ e aplicarmos a Proposição 7.8 com $\tilde{g}(x,y)=g(x)$ , obtemos

$\displaystyle\text{Esperan\c{c}a}[X]$	$\displaystyle=\text{Esperan\c{c}a}[\tilde{g}(X,Y)]$	(7.17)
	$\displaystyle=\sum_{x\ inD_{X}}\sum_{y\ in\{0\}}\tilde{g}(x,y)\cdot\mathbb{P}(% X=x,Y=y)$	(7.18)
	$\displaystyle=\sum_{x\ inD_{X}}{g}(x)\cdot\mathbb{P}(X=x),$	(7.19)

e as somas convergem absolutamente se e somente se $\text{Esperan\c{c}a}[X]$ estiver definida. Isso conclui a prova da Proposição 6.32. ∎

Corolário 7.20.

A esperança é linear.

Demonstração.

Suponhamos que $X$ e $Y$ são integráveis, e que $a,b\in\mathbb{R}$ . Usando a Proposição 7.8 com $g(x,y)=ax+by$ , $g(x,y)=x$ e $g(x,y)=y$ , obtemos

	$\displaystyle\mathbb{E}[aX+bY]=\sum_{x\in D_{X}}\sum_{y\in D_{Y}}(ax+by)\cdot% \mathbb{P}(X=x,Y=y)$		(7.21)
	$\displaystyle=a\sum_{x\in D_{X}}\sum_{y\in D_{Y}}x\cdot\mathbb{P}(X=x,Y=y)+b% \sum_{x\in D_{X}}\sum_{y\in D_{Y}}y\cdot\mathbb{P}(X=x,Y=y)$		(7.22)
	$\displaystyle=a\,\mathbb{E}[X]+b\,\mathbb{E}[Y],$		(7.23)

o que é o que queríamos provar. ∎

7.3 Variáveis aleatórias discretas independentes

Definição 7.24 (Independência).

Duas variáveis aleatórias discretas $X$ e $Y$ são independentes se

p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)

para todo $x,y\in\mathbb{R}$ .

Exemplo 7.25.

Lance uma moeda justa 5 vezes. Seja $X$ o número de Caras nos três primeiros lances e $Y$ o número de Caras nos dois últimos lances. Então, a função de massa de probabilidade conjunta é mostrada na tabela

\begin{array}[]{c|cccc|c}y\backslash x&0&1&2&3&\text{total}\\ \hline\cr 0&1/32&3/32&3/32&1/32&1/4\\ 1&2/32&6/32&6/32&2/32&1/2\\ 2&1/32&3/32&3/32&1/32&1/4\\ \hline\cr\text{total}&1/8&3/8&3/8&1/8&1\\ \end{array}

Observe como cada entrada no meio da tabela é dada pelo produto de sua soma de coluna e soma de linha, o que significa exatamente que $p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)$ .

Definição 7.26 (Independência par a par).

Dizemos que uma coleção de variáveis aleatórias discretas $X_{1},X_{2},X_{3},\dots$ é independente par a par se $X_{j}$ e $X_{k}$ forem independentes para todo $j\neq k$ .

Definição 7.27 (Independência mútua).

Dizemos que uma coleção de variáveis aleatórias discretas $X_{1},X_{2},X_{3},\dots$ é mutuamente independentes se, para todo $k$ e todo $x_{1},x_{2},\dots,x_{k}$ , tivermos

\mathbb{P}(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\dots,X_{k}=x_{k})=\mathbb{P}(X_{1}=x_{1})% \cdot\mathbb{P}(X_{2}=x_{2})\cdots\mathbb{P}(X_{k}=x_{k}).

Teorema 7.28 (Esperança de variáveis aleatórias independentes).

Se $X$ e $Y$ são variáveis aleatórias discretas independentes integráveis, então $XY$ é integrável e

\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\cdot\mathbb{E}[Y].

Demonstração.

Usando a Proposição 7.8, temos:

$\displaystyle\mathbb{E}[XY]$	$\displaystyle=\sum_{x\in D_{X}}\sum_{y\in D_{Y}}xy\cdot\mathbb{P}(X=x,Y=y)$	(7.29)
	$\displaystyle=\sum_{x\in D_{X}}x\cdot\left(\sum_{y\in D_{Y}}y\cdot\mathbb{P}(X% =x)\mathbb{P}(Y=y)\right)$	(7.30)
	$\displaystyle=\sum_{x\in D_{X}}x\cdot\mathbb{P}(X=x)\cdot\left(\sum_{y\in D_{Y% }}y\cdot\mathbb{P}(Y=y)\right)$	(7.31)
	$\displaystyle=\left(\sum_{y\in D_{Y}}y\cdot\mathbb{P}(Y=y)\right)\cdot\left(% \sum_{x\in D_{X}}x\cdot\mathbb{P}(X=x)\right)$	(7.32)
	$\displaystyle=\mathbb{E}[X]\cdot\mathbb{E}[Y].$	(7.33)

Para usar a Proposição 7.8, deveríamos ter sabido que $XY$ era integrável desde o início. Isso pode ser verificado usando exatamente o mesmo desenvolvimento com $|x|$ em vez de $x$ e $|y|$ em vez de $y$ . Isso prova o teorema. ∎

Exemplo 7.34.

Lance um dado justo duas vezes e multiplique os valores observados.

	$\displaystyle\mathbb{E}[X]=\frac{1}{36}\big{(}1\cdot 1+2\cdot 2+3\cdot 2+4% \cdot 3+5\cdot 2+6\cdot 4+8\cdot 2+9\cdot 1+10\cdot 2+$		(7.35)
	$\displaystyle\quad+12\cdot 4+15\cdot 2+16\cdot 1+18\cdot 2+20\cdot 2+24\cdot 2% +25\cdot 1+30\cdot 2+36\cdot 1\big{)}$		(7.36)
	$\displaystyle=\frac{49}{4}.$		(7.37)

Uma solução mais simples é observar que $X=YZ$ , onde $Y$ e $Z$ representam o primeiro e o segundo lançamento do dado. Usando o teorema acima,

\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[Y]\cdot\mathbb{E}[Z]=\frac{7}{2}\cdot\frac{7}{2}=% \frac{49}{4}.

Observe como o cálculo foi simplificado.

Proposição 7.38.

Se $X_{1},\dots,X_{n}$ são variáveis aleatórias discretas integráveis independentes duas a duas, então

\mathrm{Var}\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(X_{i})\,.

(7.39)

Demonstração.

Seja $\mu_{i}:=\mathbb{E}[X_{i}],\,\,i=1,2,\dots,n$ e defina $\mu:=\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}=\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right]$ pela linearidade da esperança. Então,

$\displaystyle\mathrm{Var}\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)$	$\displaystyle=\mathbb{E}\left[\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}-\mu\right)^{2}\right]$	(7.40)
	$\displaystyle=\mathbb{E}\left[\left(\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu_{i})\right)^{2}\right]$	(7.41)
	$\displaystyle=\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(X_{i}-\mu_{i})(X_{j% }-\mu_{j})\right]$	(7.42)
	$\displaystyle=\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu_{i})^{2}\right]+\mathbb% {E}\left[\sum_{i\neq j}(X_{i}-\mu)(X_{j}-\mu_{j})\right]$	(7.43)
	$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}[(X_{i}-\mu_{i})^{2}]+\sum_{i\neq j}% \mathbb{E}[(X_{i}-\mu_{i})(X_{j}-\mu_{j})]$	(7.44)
	$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n}\text{Var}(X_{i})+\sum_{i\neq j}\Big{(}\mathbb{E}[% X_{i}X_{j}]-\mu_{i}\mu_{j}\Big{)}$	(7.45)
	$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n}\text{Var}(X_{i}).\qed$	(7.46)