16 Somas de variáveis aleatórias independentes

Somas de variáveis aleatórias independentes surgem em muitos contextos diferentes. Dadas duas variáveis aleatórias independentes $X$ e $Y$ , qual é a distribuição de $X+Y$ ?

Se $X$ e $Y$ são ambas discretas, $X+Y$ é discreta e sua função de massa de probabilidade pode ser calculada usando a Lei da Probabilidade Total:

	$\displaystyle p_{X+Y}(z)$	$\displaystyle=\sum_{x}\mathbb{P}(X=x,Y=z-x)=\sum_{x}\mathbb{P}(X=x)\mathbb{P}(% Y=z-x)$		(16.1)
		$\displaystyle=\sum_{x}p_{X}(x)p_{Y}(z-x).$		(16.2)

Exemplo 16.3.

Suponha que $X\sim\mathrm{Binom}(n,p)$ e $Y\sim\mathrm{Binom}(m,p)$ . A função de massa de probabilidade de $X+Y$ pode ser obtida da seguinte forma:

$\displaystyle p_{X+Y}(k)$	$\displaystyle=\sum_{j=0}^{\infty}\mathbb{P}(X=j)\mathbb{P}(Y=k-j)$	(16.4)
	$\displaystyle=\sum_{j=0}^{k}\tbinom{n}{j}p^{j}(1-p)^{n-j}\tbinom{m}{k-j}p^{k-j% }(1-p)^{m-k+j}$	(16.5)
	$\displaystyle=p^{k}(1-p)^{m+n-k}\sum_{j=0}^{k}\tbinom{n}{j}\tbinom{m}{k-j}$	(16.6)
	$\displaystyle=\tbinom{n+m}{k}p^{k}(1-p)^{m+n-k}.$	(16.7)

Quando as variáveis $X$ e $Y$ são independentes e têm densidades $f_{X}$ e $f_{Y}$ , temos a relação análoga a seguir

f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(x)f_{Y}(z-x)\,\mathrm{d}x.

Exemplo 16.8 (Exponenciais e Gama).

Sejam $X$ e $Y$ independentes, ambas com a distribuição Exponencial com parâmetro $\lambda>0$ , ou seja,

f_{X}(x)=f_{Y}(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&\text{se }x>0;\\ 0&\text{caso contr\'{a}rio.}\end{cases}

Seja $Z:=X+Y$ . Queremos calcular

\displaystyle f_{Z}(z)

\displaystyle=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X}(x)\cdot f_{Y}(z-x)\;\mathrm{d}x.

Agora, observe que o produto dentro da integral é igual a zero quando $x<0$ (pois $f_{X}(x)=0$ nesse caso) e quando $x>z$ (pois $f_{Y}(z-x)=0$ nesse caso). A integral é então igual a

\displaystyle\int_{0}^{z}\lambda e^{-\lambda x}\cdot\lambda e^{-\lambda(z-x)}% \;\mathrm{d}x

\displaystyle=\lambda^{2}\cdot\int_{0}^{z}e^{-\lambda z}\;\mathrm{d}x=\lambda^% {2}\cdot z\cdot e^{-\lambda z}.

A distribuição acima corresponde a uma distribuição Gama com parâmetros $2$ e $\lambda$ . Em geral, $Z$ tem distribuição Gama com parâmetros $n$ e $\lambda$ se a sua densidade for dada por $f_{Z}(z)=\frac{\lambda^{n}}{(n-1)!}\cdot z^{n-1}\cdot e^{-\lambda x}$ para $z\geqslant 0$ .

O caso em que $X$ e $Y$ são normais é tão importante que o apresentamos como uma proposição.

Proposição 16.9.

Se $X_{1}\sim\mathcal{N}(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$ e $X_{2}\sim\mathcal{N}(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$ são independentes. Então $X_{1}+X_{2}\sim\mathcal{N}(\mu_{1}+\mu_{2},\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})$ .

Demonstração.

Como $X_{1}-\mu_{1}\sim\mathcal{N}(0,\sigma_{1}^{2})$ e $X_{2}-\mu_{2}\sim\mathcal{N}(0,\sigma_{2}^{2})$ , podemos supor que $\mu_{1}=\mu_{2}=0$ . Após manipulações algébricas longas e trabalhosas, é possível obter

\displaystyle f_{X+Y}(z)=\frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}}\int_{-\infty}^{+% \infty}e^{-\frac{(z-x)^{2}}{2\sigma_{2}^{2}}}e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma_{1}^{2}}% }\,\mathrm{d}x=\cdots=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})}}% \cdot e^{-\frac{z^{2}}{2(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})}}.

(16.10)

Portanto, $f_{X+Y}$ é a densidade correspondente à distribuição $\mathcal{N}(0,\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})$ , que era o que queríamos mostrar. ∎