9.2 A integral de Riemann

De modo geral, a área da região $R$ delimitada pelo gráfico de uma função $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ pode ser definida via um processo de limite, como visto acima no caso de $f(x)=1-x^{2}$ .

Primeiro, escolhemos um inteiro $n$ , e escolhemos pontos distintos em $(a,b)$ : $x_{0}\equiv a<x_{1}<x_{2}<\dots<x_{n-1}<x_{n}\equiv b$ . Esses pontos formam uma partição de $[a,b]$ . Em seguida, escolhemos um ponto $x_{j}^{*}$ em cada intervalo $[x_{j-1},x_{j}]$ , e definimos a soma de Riemann ⁴⁴ 4 Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826 – 1866. $I_{n}$ por:

$I_{n}$ aproxima a área debaixo do gráfico pela soma das áreas dos retângulos, em que o $j$ -ésimo retângulo tem como base $\Delta x_{j}{:=}x_{j}-x_{j-1}$ , e como altura o valor da função no ponto $x_{j}^{*}$ : $f(x_{j}^{*})$ . (Na imagem acima os pontos $x_{i}$ foram escolhidos equidistantes, $\Delta x_{j}=\tfrac{b-a}{n}$ .)

A integral de $f$ é obtida considerando $I_{n}$ para uma sequência de partições em que o tamanho dos intervalos $\Delta x_{j}$ tendem a zero:

Definição 9.1.

A função $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ é integrável se o limite $\lim_{n\to\infty}I_{n}$ existir, qualquer que seja a sequência de partições em que $\max_{j}\Delta x_{j}\to 0$ , e qualquer que seja a escolha de $x_{j}^{*}\in[x_{j-1},x_{j}]$ . Quando $f$ é integrável, o limite $\lim_{n\to\infty}I_{n}$ é chamado de integral (de Riemann) de $f$ , ou integral definida de $f$ , e denotado

\lim_{n\to\infty}I_{n}\equiv\int_{a}^{b}f(x)dx\,.

(9.4)

Os números $a$ e $b$ são chamados de limites de integração.

Inventada por Newton, a notação “ $\int_{a}^{b}f(x)dx$ ” lembra que a integral é definida a partir de uma soma (o “ $\int$ ” é parecido com um “s”) de retângulos contidos entre $a$ e $b$ , de áreas $f(x^{*}_{j})\Delta x_{j}$ (o “ $f(x)dx$ ”).

Observação 9.2.

É importante lembrar que $\int_{a}^{b}f(x)dx$ é um número, não uma função: a variável “ $x$ ” que aparece em $\int_{a}^{b}f(x)dx$ é usada somente para indicar que $f$ está sendo integrada, com a sua variável varrendo o intervalo $[a,b]$ . Logo, seria equivalente escrever essa integral $\int_{a}^{b}f(t)dt$ , $\int_{a}^{b}f(z)dz$ , etc., ou simplesmente $\int_{a}^{b}f\,dx$ . Por isso, a variável $x$ que aparece em (9.4) é chamada de muda.

Observação 9.3.

A definição de integrabilidade faz sentido mesmo se $f$ não é positiva. Neste caso, o termo $f(x_{j}^{*})\Delta x_{j}$ da soma de Riemann não pode ser mais interpretado como a área do $j$ -ésimo retângulo, e $\int_{a}^{b}f\,dx$ não possui necessariamente uma interpretação geométrica. O Exercício 9.8 abaixo esclarece esse ponto.

Enunciemos algumas propriedades básicas da integral, que podem ser provadas a partir da definição.

Proposição 9.1.

Seja $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ integrável.

1.

Se $\lambda\in\mathbb{R}$ é uma constante, então $\lambda f$ é integrável, e $\int_{a}^{b}\lambda f\,dx=\lambda\int_{a}^{b}f\,dx$ .
2.

Se $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ também é integrável, então $f+g$ é integrável e $\int_{a}^{b}(f+g)dx=\int_{a}^{b}f\,dx+\int_{a}^{b}g\,dx$ .
3.

Se $a<c<b$ , então $\int_{a}^{c}f\,dx+\int_{c}^{b}f\,dx=\int_{a}^{b}f\,dx$ .

Observe que se $f$ é uma constante, $f(x)=c$ , então qualquer soma de Riemann pode ser calculada via um retângulo só, e

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=c(b-a)\,.

(9.5)

Mais tarde precisaremos da seguinte propriedade:

Proposição 9.2.

Se $f$ e $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ são integráveis, e se $f\leq g$ , então

\int_{a}^{b}f\,dx\leq\int_{a}^{b}g\,dx\,.

(9.6)

Em particular, se $f$ é limitada, $M_{-}\leq f(x)\leq M_{+}$ para todo $x\in[a,b]$ , então

M_{-}(b-a)\leq\int_{a}^{b}f\,dx\leq M_{+}(b-a)\,.

(9.7)

Para funções positivas, a interpretação de (9.6) em termos de áreas é imediata: se o gráfico de $f$ está sempre abaixo do gráfico de $g$ , então a área debaixo de $f$ é menor do que a área abaixo de $g$ .

Exercício 9.4.

Justifique as seguintes afirmações:

1.

Se $f$ é par, $\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_{0}^{a}f(x)\,dx$ .
2.

Se $f$ é ímpar, $\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0$ .

Em geral, verificar se uma função é integrável pode ser difícil. O seguinte resultado garante que as maioria das funções consideradas no restante do curso são integráveis.

Teorema 9.1.

Se $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ é contínua, então ela é integrável.

Por exemplo, $f(x)=1-x^{2}$ é contínua, logo integrável, e vimos na introdução que

\int_{0}^{1}(1-x^{2})dx=\tfrac{2}{3}\,.

Sabendo que uma função contínua é integrável, queremos um jeito de calcular a sua integral. Mas como já foi dito, o procedimento de limite descrito acima (calcular a soma de Riemann, tomar o limite $n\to\infty$ , etc.) é díficil de se implementar, mesmo se $f$ é simples.