9.1 Introdução

Como calcular, em geral, a área de uma região limitada do plano? Para sermos um pouco mais específicos, faremos a mesma pergunta para áreas delimitadas pelo gráfico de uma função. Dada uma função positiva $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ , como calcular a área debaixo do seu gráfico, isto é, a área da região $R$ , delimitada pelo gráfico de $f$ , pelo eixo $x$ , e pelas retas $x=a$ , $x=b$ ?

Para as funções elementares a seguir, a resposta pode ser dada sem muito esforço. Por exemplo, se $f$ é constante, $f(x)=h>0$ , $R$ é um retângulo, logo

Por outro lado, se o gráfico de $f$ for uma reta, por exemplo $f(x)=mx$ com $m>0$ , e se $0<a<b$ , então $R$ é um trapézio, e a sua área pode ser escrita como a diferença das áreas de dois triângulos (lembre o Exercício 2.19):

O nosso último exemplo “simples” será $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ , com $a=0$ , $b=1$ . Neste caso reconhecemos a região $R$ como a sendo o quarto do disco de raio $1$ centrado na origem, contido no primeiro quadrante:

Consideremos agora $f(x)=1-x^{2}$ , também com $a=0$ , $b=1$ :

Apesar da função $f(x)=1-x^{2}$ ser elementar, não vemos um jeito simples de decompor $R$ em um número finito de regiões simples do tipo retângulo, triângulo, ou disco.

No entanto, o que pode ser feito é aproximar $R$ por regiões mais simples, a começar com retângulos ²² 2 Já encontramos esse tipo de construção, mas com triângulos, no Exercício 4.32.. Começemos aproximando $R$ de maneira grosseira, usando uma região $R_{2}$ formada por dois retângulos, da seguinte maneira:

A área de $R_{2}$ é a soma das áreas dos dois retângulos de bases iguais $\tfrac{1}{2}$ mas de alturas diferentes: o canto esquerdo superior do primeiro retângulo está em $(0,1)$ , e o do segundo foi escolhido no gráfico de $1-x^{2}$ , no ponto $(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4})$ . Logo, $\text{\'{a}rea}(R_{2})=\tfrac{7}{8}$ . É claro que $\text{\'{a}rea}R_{2}$ somente dá uma estimativa: $\text{\'{a}rea}(R)<\text{\'{a}rea}R_{2}$ .

Tentaremos agora melhorar essa aproximação: fixemos um inteiro $n\in\mathbb{N}$ , e aproximemos $R$ pela região $R_{n}$ formada pela união de $n$ retângulos de larguras iguais a $1/n$ , mas com alturas escolhidas tais que o canto superior esquerdo esteja sempre na curva $1-x^{2}$ . Por exemplo, se $n=5$ , ${15}$ e ${25}$ ,

Vemos que quanto maior o número de retângulos $n$ , melhor a aproximação da verdadeira área de $R$ . Logo, tentaremos calcular $\text{\'{a}rea}(R)$ via um limite:

\text{\'{a}rea}(R)=\lim_{n\to\infty}\text{\'{a}rea}(R_{n})\,.

Olhemos os retângulos de mais perto. Por exemplo, para calcular $\text{\'{a}rea}(R_{5})$ , calculemos a soma das áreas de $5$ retângulos:

	$\displaystyle\text{\'{a}rea}(R_{5})$	$\displaystyle=\tfrac{1}{5}\big{(}1-(\tfrac{0}{5})^{2})+\tfrac{1}{5}\big{(}1-(% \tfrac{1}{5})^{2})+\tfrac{1}{5}\big{(}1-(\tfrac{2}{5})^{2})+\tfrac{1}{5}\big{(% }1-(\tfrac{3}{5})^{2})+\tfrac{1}{5}\big{(}1-(\tfrac{4}{5})^{2})$
		$\displaystyle=1-\tfrac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}}{5^{3}}(=0.76)\,.$

Para um $n$ qualquer,

	$\displaystyle\text{\'{a}rea}(R_{n})$	$\displaystyle=\tfrac{1}{n}\big{(}1-(\tfrac{0}{n})^{2})+\tfrac{1}{n}\big{(}1-(% \tfrac{1}{n})^{2})+\dots+\tfrac{1}{n}\big{(}1-(\tfrac{n-2}{n})^{2})+\tfrac{1}{% n}\big{(}1-(\tfrac{n-1}{n})^{2})$
		$\displaystyle=1-\tfrac{1^{2}+2^{2}+\dots+(n-2)^{2}+(n-1)^{2}}{n^{3}}\,.$		(9.1)

Pode ser mostrado (ver Exercício 9.1) que para todo $k\geq 1$ ,

1^{2}+2^{2}+\dots+k^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\,.

(9.2)

Usando essa expressão em (9.1) com $k=n-1$ , obtemos

	$\displaystyle\text{\'{a}rea}(R)=\lim_{n\to\infty}\text{\'{a}rea}(R_{n})$	$\displaystyle=1-\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)((n-1)+1)(2(n-1)+1)}{6n^{3}}$
		$\displaystyle=1-\lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)(2n-1)}{6n^{3}}$
		$\displaystyle=1-\tfrac{1}{3}$
		$\displaystyle=\tfrac{2}{3}\,.$

Observação 9.1.

É interessante observar que no limite $n\to\infty$ , o número de retângulos que aproxima $R$ tende ao infinito, mas que a área de cada um tende a zero. Assim podemos dizer, informalmente, que depois do processo de limite, a área exata de $R$ é obtida “somando infinitos retângulos de largura zero”.

Exercício 9.1.

Mostre por indução que para todo $n\geq 1$ ,

1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}\,,\quad 1^{2}+2^{2}+\dots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n% +1)}{6}\,.

Exercício 9.2.

Considere a aproximação da área $R$ tratada acima, usando retângulos cujo canto superior direito sempre fica na curva $y=1-x^{2}$ , e mostre que quando $n\to\infty$ , o limite é o mesmo: $\tfrac{2}{3}$ .

O método usado para calcular a área debaixo de $1-x^{2}$ funcionou graças à fórmula (9.2), que permitiu transformar a soma dos $k$ primeiros quadrados em um polinômio de grau $3$ em $k$ . Essa fórmula foi particularmente bem adaptada à função $1-x^{2}$ , mas não será útil em outras situações. Na verdade, são poucos casos em que a conta pode ser feita ne maneira explícita.

Exemplo 9.1.

Considere $f(x)=\cos(x)$ entre $a=0$ e $b=\pi/2$ .

Neste caso, uma aproximação da área $R$ debaixo do gráfico por retângulos de largura $\tfrac{1}{n}$ dá:

\displaystyle\text{\'{a}rea}(R_{n})

\displaystyle=\tfrac{1}{n}\cos(\tfrac{1}{n})+\tfrac{1}{n}\cos(\tfrac{2}{n})+% \dots+\tfrac{1}{n}\cos(\tfrac{\frac{n\pi}{2}}{n})\,.

(9.3)

Para calcular o limite $n\to\infty$ desta soma, o leitor interessado pode começar verificando por indução ³³ 3 Fonte: Folhetim de Educação Matemática, Feira de Santana, Ano 18, Número 166, junho de 2012. que para todo $a>0$ e todo inteiro $k$ ,

\tfrac{1}{2}+\cos(a)+\cos(2a)+\cos(3a)+\dots+\cos(ka)=\frac{\operatorname{sen}% (\frac{2k+1}{2}a)}{2\operatorname{sen}(\frac{a}{2})}\,.

Usando esta fórmula com $a$ e $n$ bem escolhidos, pode mostrar que $\lim_{n\to\infty}\text{\'{a}rea}(R_{n})=1$ . Portanto, $\text{\'{a}rea}(R)=1$ .

Exercício 9.3.

Considere $f(x)=e^{x}$ entre $a=0$ e $b=1$ . Monte $\text{\'{a}rea}(R_{n})$ usando retângulos de largura $\tfrac{1}{n}$ . Usando

1+r+r^{2}+\dots+r^{n}=\frac{1-r^{n}}{1-r}\,,

calcule $\lim_{n\to\infty}\text{\'{a}rea}(R_{n})$ .

O que foi feito nesses últimos exemplos foi calcular uma área por um procedimento chamado integração. Mais tarde, desenvolveremos um método que permite calcular integrais usando um método completamente diferente. Mas antes disso precisamos definir o que significa integrar de maneira mais geral.