9.4 Áreas de regiões do plano

Sejam $f$ e $g$ duas funções definidas no mesmo intervalo $[a,b]$ , tais que $g(x)\leq f(x)$ para todo $x\in[a,b]$ . Como calcular a área da região $R$ contida entre os gráficos das duas funções, delimitada lateralmente pelas retas verticais $x=a$ e $x=b$ ?

Por uma translação vertical, sempre podemos supor que $0\leq g\leq f$ . Logo, a área de $R$ pode ser obtida calculando primeiro a área debaixo do gráfico de $f$ , que vale $\int_{a}^{b}f\,dx$ , da qual se subtrai a área debaixo do gráfico de $g$ , que vale $\int_{a}^{b}g\,dx$ .

\text{\'{a}rea}(R)=\int_{a}^{b}f\,dx-\int_{a}^{b}g\,dx\equiv\int_{a}^{b}(f-g)% \,dx\,.

(9.12)

Exemplo 9.6.

Considere a região finita $R$ delimitada pela parábola $y=2-x^{2}$ e pela reta $y=-x$ :

Pode ser verificado que os pontos de interseção entre as duas curvas são $x=-1$ e $x=2$ . Observe também que no intervalo $[-1,2]$ , a parábola está sempre acima da reta. Logo, por (9.12), a área de $R$ é dada pela integral

\int_{-1}^{2}\bigl{(}(2-x^{2})-(-x)\bigr{)}\,dx=\int_{-1}^{2}\bigl{(}-x^{2}+x+% 2\bigr{)}\,dx=\Bigl{(}-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+2x\Bigr{)}\Big{|}_{-1}^% {2}=\tfrac{9}{2}\,.

Exercício 9.10.

Esboce e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo.

1.

$y=-2$ , $x=2$ , $x=4$ , $y=\frac{1}{2}x-1$ .
2.

$y=-2$ , $x=2$ , $x=4$ , $y=\frac{1}{2}(x-2)^{2}$ .
3.

$y=x^{2}$ , $y=-(x+1)^{2}+1$ .
4.

$y=0$ , $x=1$ , $x=e$ , $y=\tfrac{1}{x}$ .
5.

$y=-2$ , $y=4+x-x^{2}$ .

Exemplo 9.7.

Considere a área da região finita delimitada pelas curvas $x=1-y^{2}$ e $x=5-5y^{2}$ .

Neste caso, é mais natural expressar a área procurada como um integral com respeito a $y$ . Como função de $y$ , as curvas são parábolas: $x=f(y)$ com $f(y)=5-5y^{2}$ e $x=g(y)$ com $f(y)=1-y^{2}$ , e o gráfico de $f(y)$ está sempre acima do gráfico de $g(y)$ . Logo, a área procurada é dada por $\int_{a}^{b}[f(y)-g(y)]dy$ , que vale

\int_{-1}^{1}\big{\{}(5-5y^{2})-(1-y^{2})\big{\}}dy=\int_{-1}^{1}\big{\{}4-4y^% {2}\big{\}}dy=\big{\{}4y-\tfrac{4}{3}y^{3}\big{\}}\Big{|}_{-1}^{1}=\tfrac{16}{% 3}\,.

Exercício 9.11.

(3a prova, primeiro semestre de 2011) Calcule a área da região finita delimitada pelo gráfico da função $y=\ln x$ e pelas retas $y=-1$ , $y=2$ , $x=0$ .

Exercício 9.12.

Fixe $\alpha>0$ . Considere $f_{\alpha}(x){:=}\alpha^{-2}e^{-\alpha}(\alpha^{2}-x^{2})$ . Esboce $x\mapsto f_{\alpha}(x)$ para diferentes valores de $\alpha$ (em particular para $\alpha$ pequeno e grande). Determine o valor de $\alpha$ que maximize a área delimitada pelo gráfico de $f_{\alpha}$ e pelo eixo $x$ .

Exercício 9.13.

Se $a>0$ , calcule $I_{n}=\int_{0}^{a}x^{1/n}dx$ . Calcule $\lim_{n\to\infty}I_{n}$ , e dê a interpretação geométrica da solução. (Dica: lembre dos esboços das funções $x\mapsto x^{1/p}$ , no Capítulo LABEL:CAP:Funcoes.)