11.1 Em intervalos infinitos

Consideremos para começar o problema de integrar uma função num intervalo infinito, $f:[a,\infty)\to\mathbb{R}$ . Vemos imediatamente que não tem como definir somas de Riemann num intervalo infinito: qualquer subdivisão de $[a,\infty)$ contém um número infinito de retângulos. O que pode ser feito é o seguinte: escolheremos um número $L>a$ grande mas finito, calcularemos a integral de Riemann de $f$ em $[a,L]$ , e em seguida tomaremos o limite $L\to\infty$ :

Definição 11.1.

Seja $f:[a,\infty)\to\mathbb{R}$ uma função contínua. Se o limite

\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx{:=}\lim_{L\to\infty}\int_{a}^{L}f(x)\,dx\,,

(11.1)

existir e for finito, diremos que a integral imprópria $\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx$ converge. Caso contrário, ela diverge. Integrais impróprias para $f:(-\infty,b]\to\mathbb{R}$ se definem da mesma maneira:

\int_{-\infty}^{b}f(x)\,dx{:=}\lim_{L\to\infty}\int_{-L}^{b}f(x)\,dx\,.

(11.2)

Exemplo 11.1.

Considere $f(x)=e^{-x}$ em $[0,+\infty)$ :

\int_{0}^{\infty}e^{-x}\,dx=\lim_{L\to\infty}\int_{0}^{L}e^{-x}\,dx=\lim_{L\to% \infty}\bigl{\{}-e^{-x}\bigr{\}}\big{|}_{0}^{L}=\lim_{L\to\infty}\bigl{\{}1-e^% {-L}\bigr{\}}=1\,,

que é finito. Logo, $\int_{0}^{\infty}e^{-x}\,dx$ converge e vale $1$ . Como $e^{-x}$ é uma função positiva no intervalo $[0,\infty)$ todo, o valor de $\int_{0}^{\infty}e^{-x}\,dx$ pode ser interpretado como o valor da área delimitada pela parte do gráfico de $e^{-x}$ contida no primeiro quadrante, pelo eixo $x$ e pelo eixo $y$ :

Observe que apesar dessa área não possuir limitação espacial, ela é finita!

Exemplo 11.2.

Considere $f(x)=\frac{1}{x}$ em $[1,\infty)$ :

\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}=\lim_{L\to\infty}\int_{1}^{L}\frac{dx}{x}=\lim_{% L\to\infty}\bigl{\{}\ln x\bigr{\}}\big{|}_{1}^{L}=\lim_{L\to\infty}\ln L=% \infty\,.

Neste caso, a interpretação de $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}=\infty$ é que a área delimitada pelo gráfico de $f(x)=\tfrac{1}{x}$ é infinita.

Observação 11.1.

As duas funções consideradas acima, $e^{-x}$ e $\frac{1}{x}$ , tendem a zero no infinito. No entanto, a integral imprópria da primeira converge, enquanto a da segunda diverge. Assim, vemos que não basta uma função tender a zero no infinito para a sua integral imprópria convergir! De fato, a convergência de uma integral imprópria depende de quão rápido a função tende a zero. Nos exemplos acima, $e^{-x}$ tende a zero muito mais rápido ¹¹ 1 Por exemplo, usando a Regra de B.H., $\lim_{x\to\infty}\frac{e^{-x}}{\tfrac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{x}}=0$ . que $\tfrac{1}{x}$ . No caso, $e^{-x}$ tende a zero rápido o suficiente para que a área delimitada pelo seu gráfico seja finita, e $\tfrac{1}{x}$ tende a zero devagar o suficiente para que a área delimitada pelo seu gráfico seja infinita.

Exemplo 11.3.

Considere a integral imprópria

\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(x+1)}dx=\lim_{L\to\infty}\int_{1}^{L}\frac{% 1}{\sqrt{x}(x+1)}dx\,.

Com $u=\sqrt{x}$ temos $dx=2u\,du$ . Logo,

\displaystyle\int_{1}^{L}\frac{1}{\sqrt{x}(x+1)}dx=2\int_{1}^{\sqrt{L}}\frac{1% }{u^{2}+1}du=\bigl{\{}2\arctan u\big{\}}_{1}^{\sqrt{L}}

Tomando o limite $L\to\infty$ ,

\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(x+1)}dx=2\lim_{L\to\infty}\big% {\{}\arctan(\sqrt{L})-\tfrac{\pi}{4}\big{\}}=2\bigl{\{}\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{% \pi}{4}\bigr{\}}=\tfrac{\pi}{2}\,,

que é finito. Logo, a integral imprópria acima converge, e o seu valor é $\tfrac{\pi}{2}$ .

A função integrada, numa integral imprópria, não precisa ser positiva:

Exemplo 11.4.

Considere $\int_{0}^{\infty}e^{-x}\operatorname{sen}x\,dx$ . Usando integração por partes (veja o Exercício 9.19),

\int_{0}^{\infty}e^{-x}\operatorname{sen}x\,dx=\lim_{L\to\infty}\bigl{\{}-% \tfrac{1}{2}e^{-x}(\operatorname{sen}x+\cos x)\bigr{\}}\Big{|}_{0}^{L}=\tfrac{% 1}{2}\lim_{L\to\infty}\bigl{\{}1-e^{-L}(\operatorname{sen}L+\cos L)\bigr{\}}=% \tfrac{1}{2}\,.

Logo, a integral converge. Apesar do valor $\frac{1}{2}$ ser $>0$ , a sua interpretação em termos de área não é possível neste caso, já que $x\mapsto e^{-x}\operatorname{sen}x$ é negativa em infinitos intervalos:

Exercício 11.1.

Estude a convergência das seguintes integrais impróprias.

1.

$\int_{3}^{\infty}\frac{dx}{x-2}$
2.

$\int_{2}^{\infty}x^{2}\,dx$
3.

$\int_{1}^{\infty}\tfrac{dx}{x^{7}}$
4.

$\int_{0}^{\infty}\cos x\,dx$
5.

$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1}$
6.

$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+x}$
7.

$\int_{-\infty}^{0}e^{t}\operatorname{sen}(2t)dt$
8.

$\int_{3}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx$
9.

$\int_{0}^{\infty}\frac{x}{x^{4}+1}\,dx$

Exercício 11.2.

Se $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ , a transformada de Laplace de $f(x)$ é a função $L(s)$ definida pela integral imprópria

L(s){:=}\int_{0}^{\infty}e^{-sx}f(x)\,dx\,,\quad s\geq 0\,.

(11.3)

Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções $f(x)$ :

1.

$k$ (constante)
2.

$x$
3.

$\operatorname{sen}x$
4.

$e^{-\alpha x}$

Exercício 11.3.

Estude $f(x){:=}\frac{x}{x^{2}+1}$ . Em seguida, calcule a área da região contida no semi-espaço $x\geq 0$ , delimitada pelo gráfico de $f$ e pela sua assíntota horizontal.

Exercício 11.4.

Estude a função $f(x){:=}\frac{e^{x}}{1+e^{x}}$ . Em seguida, calcule a área da região contida no semi-plano $x\geq 0$ delimitada pelo gráfico de $f$ e pela sua assíntota.

Intuitivamente, para uma função $f$ contínua possuir uma integral imprópria convergente no infinito, ela precisa tender a zero. Vejamos que precisa de mais do que isso, no seguinte exercício:

Exercício 11.5.

Dê um exemplo de uma função contínua positiva $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}_{+}$ que não tende a zero no infinito, e cuja integral imprópria $\int_{0}^{\infty}f(x)\,dx$ converge.

Exercício 11.6.

Considere a função Gamma, definida da seguinte maneira:

\forall z>0\,,\quad\Gamma(z){:=}\int_{0}^{\infty}x^{z}e^{-x}\,dx\,.

Verifique que $\Gamma(0)=1$ , $\Gamma(1)=1$ , $\Gamma(2)=2$ , $\Gamma(3)=6$ . Mostre que para todo inteiro $n$ ,

\Gamma(n)=n\cdot\Gamma(n-1)\,.

Conclua que nos inteiros, $\Gamma(n)=n!$ .