11.2 As integrais ∫a∞d⁢xxp\int_{a}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}

Consideremos as funções f⁢(x)=1xpf(x)=\frac{1}{x^{p}}, onde pp é um número positivo. Sabemos (lembre da Seção 2.2.1) que quanto maior pp, mais rápido 1xp\tfrac{1}{x^{p}} tende a zero (lembre sa Seção 2.2.1):

Logo, é razoável acreditar que para valores de pp suficientemente grandes, a integral imprópria ∫a∞d⁢xxp\int_{a}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}} deve convergir. O seguinte resultado determina exatamente os valores de pp para os quais a integral converge ou diverge, e mostra que o valor p=1p=1 é crítico:

Teorema 11.1.

Seja a>0a>0. Então

∫a∞d⁢xxp⁢{converge se p>1diverge se p≤1.\int_{a}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}\begin{cases}\text{converge se $p>1$}\\ \text{diverge se $p\leq 1$.}\end{cases} (11.4)
Demonstração.

O caso crítico p=1p=1 já foi considerado no Exemplo (11.2): para todo a>0a>0,

∫a∞d⁢xx=limL→∞∫aLd⁢xx=limL→∞{ln⁡L−ln⁡a}=∞.\int_{a}^{\infty}\frac{dx}{x}=\lim_{L\to\infty}\int_{a}^{L}\frac{dx}{x}=\lim_{% L\to\infty}\bigl{\{}\ln L-\ln a\big{\}}=\infty\,.

Por um lado, quando p≠1p\neq 1,

∫aLd⁢xxp=x−p+1−p+1|aL=11−p⁢{1Lp−1−1ap−1}\int_{a}^{L}\frac{dx}{x^{p}}=\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\Big{|}_{a}^{L}=\frac{1}{1-p% }\Bigl{\{}\frac{1}{L^{p-1}}-\frac{1}{a^{p-1}}\Bigr{\}}

Lembra que pelo Exercício 4.6 que se p>1p>1 então p−1>0p-1>0, logo limL→∞1Lp−1=0\lim_{L\to\infty}\frac{1}{L^{p-1}}=0, e a integral

∫a∞d⁢xxp=limL→∞∫aLd⁢xxp=1(p−1)⁢ap−1<∞,\int_{a}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}=\lim_{L\to\infty}\int_{a}^{L}\frac{dx}{x^{p}% }=\frac{1}{(p-1)a^{p-1}}<\infty\,,

logo converge. Por outro lado se p<1p<1, então 1−p>01-p>0, limL→∞1Lp−1=∞\lim_{L\to\infty}\frac{1}{L^{p-1}}=\infty e

∫a∞d⁢xxp=limL→∞∫aLd⁢xxp=∞,\int_{a}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}=\lim_{L\to\infty}\int_{a}^{L}\frac{dx}{x^{p}% }=\infty\,,

isto é diverge. ∎

Exercício 11.7.

Estude as seguintes integrais impróprias em função do parâmetro α\alpha:

  1. 1.
    ​

    ∫a∞d⁢xxα\int_{a}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}^{\alpha}}

  2. 2.
    ​

    ∫1∞1xα2−3⁢𝑑x\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{\alpha^{2}-3}}\,dx

  3. 3.
    ​

    ∫a∞d⁢x(ln⁡x)2⁢α⁢x\int_{a}^{\infty}\frac{dx}{(\ln x)^{2\alpha}x}

Exercício 11.8.

Fixe q>0q>0 e considere o sólido de revolução obtido rodando a curva y=1xqy=\frac{1}{x^{q}}, x≥1x\geq 1, em torno do eixo xx. Determine para quais valores de qq esse sólido tem volume finito.