11.5 Em intervalos finitos

Consideremos agora o problema de integrar uma função num intervalo finito, por exemplo da forma ]a,b]]a,b]. Aqui, suporemos que f:]a,b]→ℝf:]a,b]\to\mathbb{R} é contínua, mas possui uma descontinuidade, ou uma assíntota vertical em aa.

A integral de ff em ]a,b]]a,b] será definida de maneira parecida: escolheremos um ϵ>0\epsilon>0, calcularemos a integral de Riemann de ff em [a+ϵ,b][a+\epsilon,b], e em seguida tomaremos o limite ϵ→0+\epsilon\to 0^{+}:

Definição 11.3.

Seja f:]a,b]→ℝf:]a,b]\to\mathbb{R} uma função contínua. Se o limite

∫a+bf⁢(x)⁢𝑑x:=limϵ→0+∫a+ϵbf⁢(x)⁢𝑑x\int_{a^{+}}^{b}f(x)\,dx{:=}\lim_{\epsilon\to 0^{+}}\int_{a+\epsilon}^{b}f(x)% \,dx\, (11.6)

existir e for finito, diremos que a integral imprópria ∫a+bf⁢(x)⁢dx\int_{a^{+}}^{b}f(x)\,dx converge. Caso contrário, ela diverge. Integrais impróprias para f:[a,b)→ℝf:[a,b)\to\mathbb{R} se definem da mesma maneira:

∫ab−f⁢(x)⁢𝑑x:=limϵ→0+∫ab−ϵf⁢(x)⁢𝑑x.\int_{a}^{b^{-}}f(x)\,dx{:=}\lim_{\epsilon\to 0^{+}}\int_{a}^{b-\epsilon}f(x)% \,dx\,. (11.7)
Exemplo 11.8.

A função 1x\frac{1}{\sqrt{x}} é contínua no intervalo ]0,1]]0,1], mas possui uma assíntota vertical em x=0x=0.

Para definir a sua integral em ]0,1]]0,1], usemos uma integral imprópria:

∫0+1d⁢xx:=limϵ→0+∫ϵ1d⁢xx=limϵ→0+{2⁢x}|ϵ1=2⁢limϵ→0+{1−ϵ}=2.\int_{0^{+}}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}{:=}\lim_{\epsilon\to 0^{+}}\int_{\epsilon}% ^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\epsilon\to 0^{+}}\bigl{\{}2\sqrt{x}\bigr{\}}% \Big{|}_{\epsilon}^{1}=2\lim_{\epsilon\to 0^{+}}\{1-\sqrt{\epsilon}\}=2\,.

Assim, apesar da função tender a +∞+\infty quando x→0+x\to 0^{+}, ela delimita uma área finita.

Exemplo 11.9.

Suponha que se queira calcular a área da região finita delimitada pelo eixo xx e pelo gráfico da função f⁢(x)=x⁢(ln⁡x)2f(x)=x(\ln x)^{2} (essa função foi estudada no Exercício 8.6):

Como f⁢(x)f(x) não é definida em x=0x=0, essa área precisa ser calculada via a integral imprópria

∫0+1x⁢(ln⁡x)2⁢𝑑x=limϵ→0+∫ϵ1x⁢(ln⁡x)2⁢𝑑x.\int_{0^{+}}^{1}x(\ln x)^{2}\,dx=\lim_{\epsilon\to 0^{+}}\int_{\epsilon}^{1}x(% \ln x)^{2}\,dx\,.

A primitiva de x⁢(ln⁡x)2x(\ln x)^{2} para x>0x>0 já foi calculada no Exercício 9.20: logo,

∫ϵ1x⁢(ln⁡x)2⁢𝑑x={12⁢x2⁢(ln⁡x)2−12⁢x2⁢ln⁡x+14⁢x2}|ϵ1=14−12⁢ϵ2⁢(ln⁡ϵ)2+12⁢ϵ2⁢ln⁡ϵ−14⁢ϵ2\int_{\epsilon}^{1}x(\ln x)^{2}\,dx=\Bigl{\{}\tfrac{1}{2}x^{2}(\ln x)^{2}-% \tfrac{1}{2}x^{2}\ln x+\tfrac{1}{4}x^{2}\Bigr{\}}\Big{|}_{\epsilon}^{1}=\tfrac% {1}{4}-\tfrac{1}{2}\epsilon^{2}(\ln\epsilon)^{2}+\tfrac{1}{2}\epsilon^{2}\ln% \epsilon-\tfrac{1}{4}\epsilon^{2}

Pode ser verificado, usando a Regra de B.H., que limϵ→0+ϵ2⁢(ln⁡ϵ)2=limϵ→0+ϵ2⁢ln⁡ϵ=0\lim_{\epsilon\to 0^{+}}\epsilon^{2}(\ln\epsilon)^{2}=\lim_{\epsilon\to 0^{+}}% \epsilon^{2}\ln\epsilon=0, logo

∫0+1x⁢(ln⁡x)2⁢𝑑x=14.\int_{0^{+}}^{1}x(\ln x)^{2}\,dx=\tfrac{1}{4}\,.
Exercício 11.11.

Estude as integrais impróprias abaixo. Se convergirem, dê os seus valores.

  1. 1.
    ​

    ∫01−d⁢x1−x{\int_{0}^{1^{-}}\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}

  2. 2.
    ​

    ∫0+1ln⁡(x)x⁢𝑑x{\int_{0^{+}}^{1}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}dx}

  3. 3.
    ​

    ∫0+∞d⁢tet−1\int_{0^{+}}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{e^{t}-1}}