11.4 Integrais impróprias em $\mathbb{R}$

Integrais impróprias foram até agora definidas em intervalos semi-infinitos, da forma $[a,\infty)$ ou $(-\infty,b]$ .

Definição 11.2.

Seja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ . Se existir um $a\in\mathbb{R}$ tal que as integrais impróprias

\int_{-\infty}^{a}f(t)\,dt\,,\quad\int_{a}^{\infty}f(t)\,dt

existem, então diz-se que a integral imprópria $\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,dt$ converge, e o seu valor é definido como

\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,dt{:=}\int_{-\infty}^{a}f(t)\,dt+\int_{a}^{\infty% }f(t)\,dt\,.

Exercício 11.10.

Mostre que a função definida por

g(t){:=}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^{2}}{2t}}\,% dx\,,\quad t>0

é bem definida. Isto é: a integral imprópria converge para qualquer valor de $t>0$ . Em seguida, mostre que $g$ é constante ²² 2 Pode ser mostrado (ver Cálculo III) que essa constante é $1$ ..