11.3 O critério de comparação

Em geral, nas aplicações, a primeira questão é de saber se uma integral imprópria converge ou não. Em muitos casos, é mais importante saber se uma integral converge do que conhecer o seu valor exato.

O nosso objetivo nesta seção será de mostrar como a convergência/divergência de uma integral imprópria pode às vezes ser obtida por comparação com uma outra integral imprópria, mais fácil de estudar. Comecemos com um exemplo elementar:

Exemplo 11.5.

Pela definição, estudar a integral imprópria ∫1∞d⁢xx3+1\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}+1} significa estudar o limite limL→∞∫1Ld⁢xx3+1\lim_{L\to\infty}\int_{1}^{L}\frac{dx}{x^{3}+1}. Ora, calcular a primitiva de 1x3+1\frac{1}{x^{3}+1} é possível, mas dá um certo trabalho, como visto no Exercício 9.23. Por outro lado, em termos do comportamento em xx para xx grande, a função 1x3+1\frac{1}{x^{3}+1} não é muito diferente da função 1x3\frac{1}{x^{3}}. Na verdade, para todo x>0x>0, x3+1x^{3}+1 é sempre maior que x3x^{3}. Logo, 1x3+1\frac{1}{x^{3}+1} é menor que 1x3\frac{1}{x^{3}} no intervalo [1,∞)[1,\infty), o que se traduz, em termos de integral definida, por

∫1Ld⁢xx3+1≤∫1Ld⁢xx3.\int_{1}^{L}\frac{dx}{x^{3}+1}\leq\int_{1}^{L}\frac{dx}{x^{3}}\,.

Tomando o limite L→∞L\to\infty em ambos lados obtemos

∫1∞d⁢xx3+1≤∫1∞d⁢xx3.\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}+1}\leq\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}}\,. (11.5)

Logo, se a integral do lado direito de (11.5) é finita, a do lado esquerdo é finita também. Ora, a do lado direito é da forma ∫1∞d⁢xxp\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}} com p=3>1p=3>1. Logo, pelo Teorema 11.1, ela converge, portanto (11.5) implica que ∫1∞d⁢xx3+1\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}+1} converge também.

Assim, foi provado com custo mínimo que ∫1∞d⁢xx3+1\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}+1} converge, sem passar pela primitiva de 1x3+1\frac{1}{x^{3}+1}. O leitor interessado em calcular o valor exato de ∫1∞d⁢xx3+1\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3}+1}, poderá usar a primitiva obtida no Exercício 9.23.

Comparação pode ser usada também para mostrar que uma integral diverge:

Exemplo 11.6.

Considere ∫3∞ln⁡xx⁢𝑑x\int_{3}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx. Aqui, podemos lembrar da integral ∫3∞d⁢xx\int_{3}^{\infty}\frac{dx}{x}, que diverge pelo Teorema 11.1. As duas integrais podem ser comparadas observando que ln⁡x≥1\ln x\geq 1 para todo x≥3>ex\geq 3>e, logo ln⁡xx≥1x\frac{\ln x}{x}\geq\frac{1}{x} para todo x∈[3,∞)x\in[3,\infty). Logo, após ter tomado o limite L→∞L\to\infty,

∫3∞ln⁡xx⁢𝑑x≥∫3∞d⁢xx.\int_{3}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx\geq\int_{3}^{\infty}\frac{dx}{x}\,.

Logo, como a integral do lado diverge e vale +∞+\infty, a do lado direito também.

É importante ressaltar que o método usado acima funciona somente se as funções comparadas são ambas não-negativas! O método de comparação pode ser resumido da seguinte maneira:

Proposição 11.1.

Sejam f,g:[a,∞)→ℝf,g:[a,\infty)\to\mathbb{R} contínuas, tais que 0≤f⁢(x)≤g⁢(x)0\leq f(x)\leq g(x) para todo x∈[a,∞)x\in[a,\infty). Então

∫a∞f⁢(x)⁢𝑑x≤∫a∞g⁢(x)⁢𝑑x\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx\leq\int_{a}^{\infty}g(x)\,dx

Em particular, se ∫a∞g⁢(x)⁢𝑑x\int_{a}^{\infty}g(x)\,dx converge, então ∫a∞f⁢(x)⁢𝑑x\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx converge também, e se ∫a∞f⁢(x)⁢𝑑x\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx diverge, então ∫a∞g⁢(x)⁢𝑑x\int_{a}^{\infty}g(x)\,dx diverge também.

Observação 11.2.

O método de comparação é útil em certos casos, mas ele não diz qual deve ser a função usada na comparação. Em geral, a escolha da função depende da situação. Por exemplo, a presença de x3x^{3} no denominador levou naturalmente a comparar 1x3+1\frac{1}{x^{3}+1} com 1x3\frac{1}{x^{3}}, cuja integral imprópria é finita. Portanto, para mostrar que uma integral imprópria ∫a∞f⁢(x)⁢𝑑x\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx converge, é preciso procurar uma função gg tal que 0≤f⁢(x)≤g⁢(x)0\leq f(x)\leq g(x) e cuja integral imprópria é finita; para mostrar que ∫a∞f⁢(x)⁢𝑑x\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx diverge, é preciso procurar uma função hh tal que f⁢(x)≥h⁢(x)≥0f(x)\geq h(x)\geq 0 e cuja integral imprópria é infinita.

Exercício 11.9.

Quando for possível, estude as seguintes integrais via uma comparação.

  1. 1.
    ​

    ∫1∞d⁢xx2+x\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+x}

  2. 2.
    ​

    ∫1∞d⁢xx⁢(x+1)\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}(x+1)}

  3. 3.
    ​

    ∫0∞d⁢x1+ex\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+e^{x}}

  4. 4.
    ​

    ∫2∞exex−1⁢𝑑x\int_{2}^{\infty}\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\,dx

  5. 5.
    ​

    ∫0∞d⁢x2⁢x2+1\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{2x^{2}+1}

  6. 6.
    ​

    ∫3∞d⁢xx2−1\int_{3}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}-1}

  7. 7.
    ​

    ∫1∞x2+1x2⁢𝑑x\int_{1}^{\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}}dx

  8. 8.
    ​

    ∫1∞x2−1x4+1⁢𝑑x\int_{1}^{\infty}\frac{x^{2}-1}{x^{4}+1}dx

  9. 9.
    ​

    ∫1∞x2+1+sen⁡xx⁢𝑑x\int_{1}^{\infty}\frac{x^{2}+1+\operatorname{sen}x}{x}dx

  10. 10.
    ​

    ∫e2∞e−(ln⁡x)2⁢𝑑x\int_{e^{2}}^{\infty}e^{-(\ln x)^{2}}\,dx

Consideremos agora um resultado contraintuitivo, decorrente do manuseio de integrais impróprias:

Exemplo 11.7.

Considere o sólido de revolução obtido rodando o gráfico da função f⁢(x)=1xqf(x)=\frac{1}{x^{q}} em torno do eixo xx, para x≥1x\geq 1 (o sólido obtido é às vezes chamado de “vuvuzela”). O seu volume é dado por

V=∫1∞π⁢f⁢(x)2⁢𝑑x=π⁢∫1∞d⁢xx2⁢q,V=\int_{1}^{\infty}\pi f(x)^{2}\,dx=\pi\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2q}}\,,

que é convergente se p>12p>\tfrac{1}{2}, divergente caso contrário. Por outro lado, como f′⁢(x)=−qxq+1f^{\prime}(x)=\frac{-q}{x^{q+1}}, a área da sua superfície é dada por

A=∫1∞2⁢π⁢f⁢(x)⁢1+f′⁢(x)2⁢𝑑x=2⁢π⁢∫1∞1xq⁢1+q2x2⁢(q+1)⁢𝑑xA=\int_{1}^{\infty}2\pi f(x)\sqrt{1+f^{\prime}(x)^{2}}\,dx=2\pi\int_{1}^{% \infty}\tfrac{1}{x^{q}}\sqrt{1+\tfrac{q^{2}}{x^{2(q+1)}}}\,dx

Como 1+q2x2⁢(q+1)≥1\sqrt{1+\tfrac{q^{2}}{x^{2(q+1)}}}\geq 1, temos A≥2⁢π⁢∫1∞d⁢xxqA\geq 2\pi\int_{1}^{\infty}\tfrac{dx}{x^{q}}, que é divergente se q≤1q\leq 1. Logo, é interessante observar que quando 12<q≤1\tfrac{1}{2}<q\leq 1, o sólido de revolução considerado possui um volume finito, mas uma superfície infinita.