Capítulo 5

5.1 Em qualquer ponto $a\neq 0$, os limites laterais nem existem, então $f$ é descontínua. Por outro lado vimos que $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=0$. Logo, $\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)$: $f$ é contínua em $0$. 5.2 $D=\mathbb{R}$, $C=\mathbb{R}_{*}$. 5.3 Considere um $a\neq 2$. $f$ sendo uma razão de polinómios, e como o denumerador não se anula em $a$, a Proposição 5.1 implica que $f$ é contínua em $a$. Na verdade, quando $x\neq 2$, $f(x)=\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1$. Logo, $\lim_{x\to 2}f(x)=\lim_{x\to 2}(x-1)=1$. Como $1\neq f(2)=0$, $f$ é descontínua em $2$. Para tornar $f$ contínua na reta toda, é so redefiní-la em $x=2$, da seguinte maneira:

Agora, $\tilde{f}(x)=x-1$ para todo $x\in\mathbb{R}$. 5.4 Como $\lim_{x\to 1}f(x)=1-a$ e que $f(1)=5+a$, é preciso ter $1-a=5+a$, o que implica $a=-2$. 5.5 Por um lado, como $\tanh\tfrac{1}{x}$ é a composição de duas funções contínuas, ela é contínua em todo $a\neq 0$. Um raciocínio parecido implica que $g$ é contínua em todo $a\neq 0$. Por outro lado, vimos no item (6) do Exercício 4.27 que $\lim_{x\to 0^{\pm}}\tanh\frac{1}{x}=\pm 1$, o que implica que $f$ é descontínua em $a=0$. Vimos no item (7) do mesmo exercício que $\lim_{x\to 0^{\pm}}x\tanh\frac{1}{x}=0$, logo $\lim_{x\to 0}g(x)$ existe e vale $g(0)$. Logo, $g$ é contínua em $a=0$.

5.6 (Esboçar os gráficos de $f,g,h$ ajuda a compreensão do exercício).

Temos $f(-1)=1$, $f(2)=4$. Como $f$ é contínua, o Teorema (5.1) se aplica: se $1\leq h\leq 4$, o gráfico de $f$ corta a reta horizontal de altura $y=h$ pelo menos uma vez. Na verdade, ele corta a reta exatamente uma vez se $1<h\leq 4$, e duas vezes se $h=1$.

Temos $g(-1)=-1$, $g(1)=1$. Como $g$ é descontínua em $x=0$, o teorema não se aplica. Por exemplo, o gráfico de $g$ nunca corta a reta horizontal $y=\frac{1}{2}$.

Temos $h(0)=-1$, $h(2)=1$. Apesar de $h$ não ser contínua, ela satisfaz à propriedade do valor intermediário. De fato, o gráfico de $h$ corta a reta $y=h_{*}$ duas vezes se $-1\leq h_{*}<1$, e uma vez se $h_{*}=1$. 5.7 $a=1$, $b=3$, $c=\pm 2$. 5.8 Seja $y\in\mathbb{R}$ fixo, qualquer. Como $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$, existe $b>0$ grande o suficiente tal que $f(b)>y$. Como $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$, existe $a<0$ grande o suficiente tal que $f(a)<y$. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $c\in[a,b]$ tal que $f(c)=y$. Isto implica que $y\in\operatorname{Im}(f)$. 5.9 Considere $\lim_{x\to 0^{-}}f(x)$. Chamando $y{:=}-x$, $x\to 0^{-}$ corresponde a $y\to 0^{+}$. Logo,

Portanto, para uma função ímpar ser contínua em $0$, é preciso ter $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)=0$ (não pode ser $L>0$).