Capítulo 1

1.1 (1) $S=\{0\}$ (2) $S=\{\pm 1\}$ (3) Observe primeiro que $0$ não é solução (a divisão por zero no lado esquerdo não é nem definida). Assim, multiplicando por $x$ e rearranjando obtemos $x^{2}+x-1=0$. Como $\Delta=5>0$, obtemos duas soluções: $S=\{\tfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\}$. (Obs: o número $\tfrac{-1+\sqrt{5}}{2}=0.618033989...$ é às vezes chamado de razão áurea. Veja $\verb|http://pt.wikipedia.org/wiki/Propor\c{c}\~{a}o_\'{a}urea|$) (4) Para ter $(x+1)(x-7)=0$, é necessário que pelo menos um dos fatores, $(x+1)$ ou $(x-7)$, seja nulo. Isto é, basta ter $x=-1$ ou $x=7$. Assim, $S=\{-1,7\}$. Obs: querendo aplicar a fórmula $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ de qualquer jeito, um aluno com pressa pode querer expandir o produto $(x+1)(x-7)$ para ter $x^{2}-6x-7=0$, calcular $\Delta=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot(-7)=64$, e obter $S=\{\frac{-(-6)\pm\sqrt{64}}{2\cdot 1}\}=\{-1,7\}$. Mas além de mostrar uma falta de compreensão (pra que expandir uma expressão já fatorada!?), isso implica aplicar uma fórmula e fazer contas, o que cria várias oportunidades de errar!) (5) $S=\mathbb{R}$ (qualquer $x$ torna a equação verdadeira!) (6) $S=\{0,1\}$ (7) $S=\varnothing$ (8) $S=\{-\tfrac{1}{3}\}$ (9) $S=\{\frac{-7\pm\sqrt{29}}{2}\}$. 1.3 Resposta: não. Sejam $a$ e $b$ os catetos do triângulo. Para ter uma área de $7$, é preciso ter $\frac{ab}{2}=7$. Para ter um perímetro de $12$, é preciso ter $a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}}=12$ (o comprimento da hipotenusa foi calculada com o Teorema de Pitágoras). Essa última expressão é equivalente a $12-a-b=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, isto é (tomando o quadrado em ambos lados) $144-24(a+b)+2ab=0$. Como $b=\frac{14}{a}$, esta equação se reduz a uma equação da única incógnita $a$: $6a^{2}-43a+84=0$. Como essa equação tem $\Delta=-167<0$, não existe triângulo retângulo com aquelas propriedades. 1.4 $A=[-2,2]$, $B=[0,1)$, $C=(-\infty,0)$, $D=\varnothing$, $E=\mathbb{R}$, $F=\{1\}$, $G=\{0\}$, $H=\mathbb{R}_{+}$. 1.5 (1) $(-1,\infty)$ (2) $(-\infty,\tfrac{1}{2}]$ (3) $(-\tfrac{3}{4},\infty)$ (4) $(0,\infty)$ (5) $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ (6) $\varnothing$ (7) $\varnothing$ (8) $\mathbb{R}$ (9) $(-\infty,0]\cup[1,\infty)$ Obs: aqui, um erro comum é de começar dividindo ambos lados de $x\leq x^{2}$ por $x$, o que dá $1\leq x$. Isso dá somente uma parte do conjunto das soluções, $[1,\infty)$, porque ao dividir por $x$, é preciso considerar também os casos em que $x$ é negativo. Se $x$ é negativo, dividir por $x$ dá $1\geq x$ (invertemos o sentido da desigualdade), o que fornece o outro pedaço das soluções: $(-\infty,0]$. (10) $(-\infty,2)\cup(3,\infty)$ (11) $(-\infty,-7]\cup\{0\}$ (12) $(-1,+1)\cup(2,+\infty)$ (13) $[0,+\infty[$ (14) $S=(-\infty,-1]\cup(1,3]$. Cuidado: tem que excluir o valor $x=1$ para evitar a divisão por zero e a inequação ser bem definida. (15) Primeiro observemos que os valores $x=0$ e $x=-2$ são proibidos. Em seguida, colocando no mesmo denominador, queremos resolver $\frac{2}{x(x+2)}\geq 0$. Isso é equivalente a resolver $x(x+2)\geq 0$, cujo conjunto de soluções é dado por $(-\infty,-2]\cup[0,\infty)$. Logo, $S=(-\infty,-2)\cup(0,\infty)$ (tiramos os dois valores proibidos). (7) $S=(-\infty,0)\cup(2,\infty)$. (17) $S=(-\infty,-2]\cup[0,\tfrac{4}{3}]\cup[3,+\infty)$. 1.6 Um só: $n=1$. 1.7 Resolvendo $0\leq 2x-3$ obtemos $S_{1}=[\tfrac{3}{2},\infty)$, e resolvendo $2x-3\leq x+8$ obtemos $S_{2}=(-\infty,11]$. Logo, $S=S_{1}\cap S_{2}=[\tfrac{3}{2},11]$ é solução das duas inequações no mesmo tempo. Mas esse intervalo contém os primos $p=2,3,5,7,11$. Logo, a resposta é: $5$. 1.8 A expressão correta é a terceira, e vale para qualquer $x\in\mathbb{R}$. A primeira está certa quando $x\geq 0$, mas errada quando $x<0$ (por exemplo, $\sqrt{(-3)^{2}}=\sqrt{9}=3(\neq-3)$). A segunda também está certa quando $x\geq 0$, mas $\sqrt{x}$ não é nem definido quando $x<0$. 1.9 (1) Observe que como um valor absoluto é sempre $\geq 0$, qualquer $x$ é solução de $|x+27|\geq 0$. Logo, $S=\mathbb{R}$. (2) Como no item anterior, $|x-2|\geq 0$ para qualquer $x$. Logo, não tem nenhum $x$ tal que $|x-2|<0$, o que implica $S=\varnothing$. (3) Para ter $|2x+3|>0$, a única possibilidade é de excluir $|2x+3|=0$. Como isso acontece se e somente se $2x+3=0$, isto é se e somente se $x=-\tfrac{3}{2}$, temos $S=\mathbb{R}\setminus\{-\tfrac{3}{2}\}=(-\infty,-\tfrac{3}{2})\cup(-\tfrac{3}{2},+\infty)$. (4) Considere primeiro o caso em que $3-x\geq 0$ (isto é $x\leq 3$). A inequação se torna $3<3-x$, isto é $x<0$. Logo, $S_{1}=(-\infty,0)$. No caso em que $3-x\leq 0$ (isto é $x\geq 3$), a inequação se torna $3<-(3-x)$, isto é $x>6$. Assim, $S_{2}=(6,+\infty)$. Finalmente, $S=S_{1}\cup S_{2}=(-\infty,0)\cup]6,+\infty)$. (5) $S=\varnothing$ (6) $S=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$. Observe que por (1.12), $|x^{2}-1|\leq 1$ se e somente se $-1\leq x^{2}-1\leq 1$. Assim, resolvendo separadamente as inequações $-1\leq x^{2}-1$ e $x^{2}-1\leq 1$ leva ao mesmo conjunto de soluções. (LABEL:itt8) $S=(\tfrac{4}{3},2)\cup(2,4)$. 1.10 (1) $<0$ se $x<-5$, $>0$ se $x>-5$, nula se $x=-5$. (2) $>0$ para todo $x\in\mathbb{R}$. (3) $>0$ se $x\in\mathbb{R}\setminus\{5\}$, nula se $x=5$. (4) $>0$ se $x\in(-\infty,-\sqrt{5})\cup(\sqrt{5},\infty)$, $<0$ se $x\in(-\sqrt{5},\sqrt{5})$, nula se $x=\pm\sqrt{5}$ (5) $>0$ se $x\in(-\infty,-8)\cup(2,6)$, $<0$ se $x\in(-8,2)\cup(6,\infty)$, nula se $x\in\{-8,6\}$. Observe que a expressão não é definida em $x=2$. (6) $>0$ se $x\in(-1,1)\cup(1,\infty)$, $<0$ se $x<-1$, nula se $x\in\{-1,1\}$. 1.11 (1) $\{(x,y):y>0\}$, (2) $\{(x,y):x<0\}$, (3) $\{(x,y):|x|\leq\frac{1}{2},|y|\leq\frac{1}{2}\}$, (4) $\{(x,y):x=2\}$, (5) $\{(x,y):y=-5\}$, (6) $\{(x,y):y=-5\}$, (7) $\{(x,y):0\leq x\leq 2\}$, (8) $\{P=(x,y):d(P,(0,0))=1\}=\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\}$, (9) $\{P=(x,y):d(P,(1,-2))\leq 2\}=\{(x,y):(x-1)^{2}+(y+2)^{2}\leq 4\}$, 1.12 $R=(-\frac{391}{3},100)$, $T=(6,-\frac{9}{4})$. 1.13 (1) $y=x$, (2) $y=1$, (3) $x=-3$, (4) $y=-\tfrac{5}{2}x+\tfrac{1}{2}$, (5) $y=\tfrac{2}{3}x+5$. 1.14

1.15 (1) $r^{\prime}:\,y=5x+10$. (2) $r^{\prime}:\,y=\tfrac{4}{3}x-9$ 1.16 Comecemos com um exemplo: considere a reta $r_{1}$ de inclinação $m_{1}=\tfrac{1}{3}$ que passa pela origem. Qual é a equação da reta $r_{2}$, perpendicular a $r_{1}$, que passa pela origem?

Observe que se $P_{1}=(3,1)\in r_{1}$, então o ponto $P_{2}=(-1,3)\in r_{2}$, já que o segmento $OP_{1}$ precisa ser perpendicular a $OP_{2}$. Logo, a inclinação de $r_{2}$ pode ser obtida usando o ponto $P_{2}$: $m_{2}=\frac{0-3}{0-(-1)}=-3$, o que prova $m_{2}=-\frac{1}{m_{1}}$. Escolhendo qualquer outro ponto $P_{1}=(x,y)$ em $r_{1}$, obteríamos um ponto $P_{2}=(-y,x)$, e $m_{2}$ seria calculada da mesma maneira.

Para uma reta de inclinação $m_{1}$ qualquer, podemos escolher $P_{1}=(1,m_{1})$ e $P_{2}=(-m_{1},1)$, assim $m_{2}=\frac{0-1}{0-(-m_{1})}=-\frac{1}{m_{1}}$ é sempre verificada. 1.17 $r_{2}$ e $r_{4}$ são paralelas, e ambas são perpendiculares a $r_{3}$. 1.18 (1) $C=(0,-1)$, $R=3$. (2) não é círculo: $-1$ não é um quadrado. (3) $C=(3,0)$, $R=3$. (4) não é círculo: depois de ter completado o quadrado obtemos $(x+\frac{1}{2})^{2}+(y+\frac{1}{2})^{2}=-\frac{1}{2}$, que não é um quadrado. (5) não é círculo: depois de ter completado o quadrado obtemos $(x+1)^{2}+y^{2}=0$ (que poderia ser interpretado como um círculo de raio $R=0$ centrado em $(-1,0)$). (6) não é círculo ($x^{2}-y^{2}=1$ é uma hipérbole). 1.19 Durante uma hora e quinze minutos, o ponteiro dos segundos dá $75$ voltas. Como uma volta representa uma distância percorrida (pela ponta) de $2\times\pi\times 20\simeq 125.66$ centímetros, a distância total é de $\simeq 9424.5$ centímetros, o que corresponde a $\simeq 94.25$ metros. 1.21

1.22 $H=\frac{d(\tan\beta-\tan\alpha)}{\tan\alpha\tan\beta}$. 1.23 Todas essas identidades seguem da observação do círculo trigonométrico. Por exemplo, o desenho

mostra que $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$ e $\operatorname{sen}(\pi-\alpha)=\operatorname{sen}\alpha$. Como consequência,

Deixemos o leitor provar as identidades parecidas com $\pi+\alpha$. Por outro lado, o desenho

mostra que $\cos(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)=\operatorname{sen}\alpha$ e $\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha$. Como consequência,

1.25 (1.26) segue de (1.25) trocando $\beta$ por $-\beta$ e usando (1.19). Para provar (1.27), basta usar (1.26) da seguinte maneira:

Para (1.28),

A última igualdade foi obtida dividindo o numerador e o denominador por $\cos\alpha\cos\beta$. 1.26 As duas primeiras seguem das identidades anteriores, com $\beta=\alpha$. A terceira obtem-se escrevendo:

Será que você consegue provar (1.33) somente a partir do círculo trigonométrico?

A última, (1.34), se obtem facilmente a partir de $\cos(\alpha\pm\beta)$. Observe que a relação (1.34) é a base da técnica chamada ring modulation em música eletrônica. 1.27 A inclinação é dada por $\tan 60^{o}=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$ (Exercício 1.21). Logo, a equação é $y=\sqrt{3}x-1-2\sqrt{3}$. 1.28 Observe que boa parte das equações desse exercício possuem infinitas soluções! As soluções obtêm-se essencialmente olhando para o círculo trigonométrico. (1) $S=\{\tfrac{\pi}{2}\pm k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\}$. (2) $S=\{\tfrac{\pi}{6}\pm k2\pi\}\cup\{\tfrac{5\pi}{6}\pm k2\pi\}$ (3) $S=\{\tfrac{\pi}{4}\pm k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\}$. (4) $S=\{\pm k\pi\}\cup\{\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\}$. (5) Observe que $z{:=}\operatorname{sen}x$ satisfaz $z^{2}+\tfrac{3}{2}z-1=0$, isto é $z=\tfrac{1}{2}$ ou $-2$. Como o seno somente toma valores entre $-1$ e $1$, $\operatorname{sen}x=-2$ não possui soluções. Por outro lado, $\operatorname{sen}x=\frac{1}{2}$ possui as soluções $\{\tfrac{\pi}{6}\pm k2\pi\}\cup\{\tfrac{5\pi}{6}\pm k2\pi\}$, como visto em (2). Portanto, $S=\{\tfrac{\pi}{6}\pm k2\pi\}\cup\{\tfrac{5\pi}{6}\pm k2\pi\}$. (6) $S=[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}]$ e as suas translações de $\pm 2k\pi$. (7) $S=(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4})\cup(\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4})$ e as suas translações de $\pm 2k\pi$. (8) Rearranjando obtemos $\operatorname{sen}(2x)=-\tfrac{1}{2}$, o que significa $2x\in\{\frac{7\pi}{6}\pm 2k\pi\}\cup\{\frac{11\pi}{6}\pm 2k\pi\}$. Logo, $S=\{\frac{7\pi}{12}\pm k\pi\}\cup\{\frac{11\pi}{12}\pm k\pi\}$ (9) $S=\{k\pi,k\in\mathbb{Z}\}\cup\{\tfrac{\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}\}\cup\{\tfrac{5\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}\}$.