Capítulo 8

8.1 (Já vimos no Exemplo 6.36 que a afirmação vale para $p=1$, $q=1$.) Observe que $\frac{(\ln x)^{p}}{x^{q}}=(\frac{(\ln x)^{p/q}}{x})^{q}$. Logo, basta provar a afirmação para $q=1$ e $p>0$ qualquer: $\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^{p}}{x}=0$. Mostremos por indução que se a afirmação vale para $p>0$ ($\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^{p}}{x}=0$), então ela vale para $p+1$. De fato, pela regra de B.H.,

Então, a afirmação estará provada para qualquer $p>0$ se ela for provada para $0<p\leq 1$. Mas para tais $p$, $(\ln x)^{p}\leq\ln x$ para todo $x>1$, logo,

pelo Exemplo 6.36. 8.3 (1) $0$ (2) $0$ (3) $-\infty$ (4) $0$ (5) $0$ (6) $\infty$ (7) $0$ (8) $\infty$ 8.4 (1) A função é a sua própria assíntota oblíqua. (2) Não possui ass. (3) $y=-2$ (vertical), $y=x-2$ em $\pm\infty$. (4) Não possui ass. (5) $y=0$ em $-\infty$, $y=x$ em $+\infty$. (6) $y=x$ em $+\infty$. (7) $y=x-\ln 2$ em $+\infty$, $y=-x-\ln 2$ em $-\infty$. (8) Não possui assíntotas: apesar de $m=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{\sqrt{\ln^{2}x+1}}}{x}$ existir e valer $1$, $\lim_{x\to\infty}\{e^{\sqrt{\ln^{2}x+1}}-x\}=\infty$. 8.5 Em geral, náo. Por exemplo, $f(x)=x+\tfrac{1}{x}\operatorname{sen}(x^{2})$ possui $y=x$ como assíntota oblíqua em $+\infty$, mas $f^{\prime}(x)=1-\frac{\operatorname{sen}x^{2}}{x^{2}}+2\cos(x^{2})$ não possui limite quando $x\to\infty$. Na verdade, uma função pode possuir uma assíntota (oblíqua ou outra) sem sequer ser derivável. 8.6 (1): O domínio de $\bigl{(}\frac{x-1}{x}\bigr{)}^{2}$ é $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$, o sinal é sempre não-negativo, tem um zero em $x=1$. $f$ não é par, nem ímpar. Os limites relevantes são $\lim_{x\to 0^{\pm}}f(x)=+\infty$, logo $x=0$ é assíntota vertical, e

Logo, $y=1$ é assíntota horizontal. $f$ é derivável em $D$, e $f^{\prime}(x)=\frac{2(x-1)}{x^{3}}$.

$f$ possui um mínimo global em $(1,0)$. A segunda derivada é dada por $f^{\prime\prime}(x)=\frac{2(3-2x)}{x^{4}}$. Ela se anula em $x=\tfrac{3}{2}$, e muda de sinal neste ponto:

Logo, $f$ é convexa em $(-\infty,0)$ e $(0,\frac{3}{2})$, côncava em $(\frac{3}{2},\infty)$, e possui um ponto de inflexão em $(\tfrac{3}{2},f(\tfrac{3}{2}))=(\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{9})$.

(2): O domínio de $f(x)=x(\ln x)^{2}$ é $D=(0,+\infty)$, e o seu sinal é: $f(x)\geq 0$ para todo $x\in D$. A função não é par nem ímpar. Como $\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty$, não tem assintota horizontal. Para ver se tem assíntota vertical em $x=0$, calculemos $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{(\ln x)^{2}}{1/x}$. Como ambas funções $(\ln x)^{2}$ e $1/x$ são deriváveis em $(0,1)$ e tendem a $+\infty$ quando $x\to 0^{+}$, apliquemos a regra de B.H.:

Usando a regra de B.H. de novo, pode ser mostrado que esse segundo limite é zero (ver Exemplo 6.37). Logo, $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0$: não tem assíntota vertical em $x=0$. A derivada é dada por $f^{\prime}(x)=\ln x(\ln x+2)$.

O máximo local está em $(e^{-2},f(e^{-2}))=(e^{-2},4e^{-2})$, e o mínimo global em $(1,f(1))=(1,0)$. A segunda derivada de $f$ é dada por $f^{\prime\prime}(x)=\frac{2(\ln x+1)}{x}$.

Logo, $f$ é côncava em $(0,e^{-1})$, possui um ponto de inflexão em $(e^{-1},f(e^{-1}))=(e^{-1},e^{-1})$, e é convexa em $(e^{-1},+\infty)$.

Podemos também notar que $\lim_{x\to 0^{+}}f^{\prime}(x)=+\infty$. 8.7 $D=\mathbb{R}\backslash\{\pm 4\}$. Os zeros de $f(x){:=}\frac{x^{2}-4}{x^{2}-16}$ são $x=-2$, $x=+2$, e o seu sinal:

Como

a reta $y=1$ é assíntota horizontal. Como

as retas $x=-4$ e $x=+4$ são assíntotas verticais. A primeira derivada se calcula facilmente: $f^{\prime}(x)=\frac{-24x}{(x^{2}-16)^{2}}$, logo a variação de $f$ é dada por:

A posição do máximo local é: $(0,f(0))=(0,\tfrac{1}{4})$. O gráfico:

A segunda derivada: $f^{\prime\prime}(x)=24\frac{16+3x^{2}}{(x^{2}-16)^{3}}$, e a convexidade é dada por

8.8 OBS: Para as demais funções, colocamos somente um resumo das soluções, na forma de um gráfico no qual o leitor pode verificar os resultados do seu estudo.

(1) Ass. vert.: $x=0$. Ass. oblíqua: $y=x$.

(2) Ass. vert.: $x=0$. Ass. obl.: $y=x$.

(3)

(4)

(5)

(6), (7), (8):

(9)

(10):

(11):

8.9 (1)

(2)

(3)

(4)

Os pontos de inflexão são soluções da equação $(1-\ln x)^{2}-3x+2x\ln x=0$. Pode ser mostrado que esses satisfazem $x_{1}\simeq 0.58$, $x_{1}\simeq 4.37$.

(5)

(6)

(7) Ass. horiz.: $y=\ln 3$. Ass. obl.: $y=2x$.

(8) Observe que $(e^{|x|}-2)^{3}$ é par, e não é derivável em $x=0$.

(9)

(10)

(11)

Obs: $f^{\prime}(x)=f(x)\varphi(x)$, onde $\varphi(x)=\tfrac{1}{5}(\tfrac{4}{x}+\tfrac{1}{x-1})$. A função não é derivável nem em $x=0$, nem em $x=1$ (apesar de ser contínua nesses pontos). $f^{\prime\prime}(x)=(\varphi(x)^{2}+\varphi^{\prime}(x))f(x)=-\tfrac{4}{25}\frac{f(x)}{x^{2}(x-1)^{2}}$, logo, $f$ é convexa em $(-\infty,0)$ e $(0,1)$, côncava em $(1,\infty)$. Essa função possui uma assíntota oblíqua: $y=x-\tfrac{1}{5}$.